Aufgabenblatt 1 S. 1 SS15

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1 Aufgabenblatt 1 S. 1 SS15 A1: Welche Mengen sind gleich? a) {r, s, t} b) {s, t, r, s} c) {t, s, t, r} d) {s, r, s, t} A2: Sei M = {r, s, t}. Welche Aussagen sind wahr? a) r M b) r M c) {r} M d) {r} M A3: Zeigen Sie: A A = A4: Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, falls A B =. Zeigen Sie: Für je zwei Mengen A, B sind die folgenden Mengen paarweise disjunkt: A\B, A B, B\A und es gilt: A B = (A\B) (A B) (B\A) A5: Sei Ω Grundgesamtheit, A, B, C Ω. Machen Sie sich klar: a) A = A, A =, A Ω = Ω, A Ω = A. b) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). c) A A c = Ω, A A c =. d) (A c ) c = A, c = Ω, Ω c =. e) A A B, B A B. f) A B A, A B B. g) A\B A, B\A B. h) A A = A A = A. i) A B A B = A und A B = B. A6: Sei A = {a, b, c, d}. Listen Sie lexikographisch alle 2- und 3-Permutationen auf! A7: Bestimmen Sie alle Permutationen von M = {1, 2, 3}! A8: Bestimmen Sie alle 3-Kombinationen aus M = {1, 2, 3, 4, 5}! A9: Angenommen, drei Männer und zwei Frauen wollen sich nebeneinander in eine Reihe setzen. a) Wie viele Sitzplatzverteilungen sind insgesamt möglich? b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sowohl die Männer als auch die Frauen zusammensitzen möchten?

2 Aufgabenblatt 1 S. 2 SS15 c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn nur die Frauen zusammensitzen möchten? d) Beantworten Sie dieselben Fragen für zwei Männer und zwei Frauen und listen Sie hier zur Kontrolle die Möglichkeiten auf! e) Wie wahrscheinlich sind die entsprechenden Ereignisse, falls die Sitzplätze zufällig verteilt werden? A10: Auf wie viele Arten kann man beim Skat Karten geben? (Beim Skatspiel erhalten drei Spieler je 10 von 32 Karten, 2 Karten bleiben übrig. Es kommt hier nur auf das Ergebnis, nicht auf die Austeilprozedur an.) A11: Ein Psychologe plant ein Experiment mit zwei Experimentalgruppen und einer Kontrollgruppe. Ihm stehen 30 Vpn zur Verfügung, die er per Zufall so auf die drei Untersuchungsbedingungen aufteilen möchte, daß unter jeder Bedingung 10 Personen untersucht werden. Wie viele Aufteilungsmöglichkeiten bestehen? A12: Aus einer Urne mit 10 Kugeln werden 4 Kugeln mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten! A13: a) Wie viele k-tupel aus {0, 1} gibt es, in denen r-mal (r k) die Eins vorkommt? b) Wie viele Möglichkeiten des Ziehens mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge aus {0, 1} gibt es, in denen siebenmal die 0 und dreimal die 1 vorkommt? c) Eine Münze (Kopf, Zahl) werde 10-mal geworfen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei einer solchen Sequenz von 10 Würfen ein Ergebnis zu erhalten, bei dem 4-mal Kopf auftritt? A14: Ein Kaninchenzüchterverein bestehe aus 9 Männern und 3 Frauen. Er soll eine Abordnung von 4 Mitgliedern auf eine Fachtagung entsenden. a) Wie viele Abordnungen sind insgesamt möglich? b) Wie viele von ihnen enthalten wenigstens eine Frau? c) Wie viele von ihnen enthalten genau eine Frau? A15: Bestimmen Sie (a + b) 3, (x + y) 5, (2u + v 2 ) 4. A16: Berechnen Sie ( ) ( 5 3, 14 ) ( 11, 99 ( 96), 99 ) 3.

3 Aufgabenblatt 2 S. 1 SS15 A1: Zeigen Sie: H(n, m, k) = H(n, k, m) (H ist die hypergeometrische Verteilung). A2: Zeigen Sie die De Morgan schen Regeln: (A B) c = A c B c und (A B) c = A c B c A3: Sei Ω = {1, 2, 3}. Bilden Sie P(Ω) und bestimmen Sie Ω und P(Ω). A4: Ω sei eine Grundgesamtheit, A, B, C P(Ω) seien Ereignisse. Schreiben Sie die folgenden Ereignisse als Mengen: Von den drei Ereignissen A, B, C ereignen sich a) nur A b) A und B, aber nicht C c) alle drei Ereignisse d) wenigstens eines der Ereignisse e) wenigstens zwei der Ereignisse f) genau eines der Ereignisse g) genau zwei der Ereignisse h) keines der Ereignisse i) nicht mehr als zwei Ereignisse. A5: Sei Ω = {1,..., 6} {1,..., 6} die Ergebnismenge eines Werfens mit zwei symmetrischen und unabhängigen Würfeln. Seien folgende Ereignisse gegeben: D : Augensumme = 6, E : Augensumme = 7, F : Pasch, d.h. gleiche Zahl auf beiden Würfeln. Listen Sie diese Ereignisse als Mengen auf und veranschaulichen Sie sie sich in einem geeigneten Diagramm. Sei G die Menge der geraden, U die Menge der ungeraden Würfelzahlen. Berechnen Sie das Wahrscheinlichkeitsmaß P von D, E, F, G U, U G. Listen Sie auch die letzten beiden Mengen auf und veranschaulichen Sie sie sich. Wie würde man diese Ereignisse mit Worten beschreiben? A6: Zwei unterscheidbare Würfel werden geworfen. Bekanntlich läßt sich dieses Zufallsexperiment beschreiben durch die Grundgesamtheit Ω = {1,..., 6} 2. Sei A das Ereignis ungerade Augensumme, B das Ereignis mindestens einer der Würfel zeigt eine 6. Beschreiben Sie die Ereignisse A B, A B, A B c. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A, B, A B, A B, A B c unter der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse.

4 Aufgabenblatt 3 S. 1 SS15 A1: Sei < Ω, P > W-Raum mit Ω = {1,..., 6} und P ({1}) = q, P ({2}) = 2q,..., P ({6}) = 6q; q ist geeignet zu wählen. a) Wie groß ist P ({1})? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer geraden Zahl? A2: In einem W-Raum < Ω, P > sei: P (A) = 1, P 3 (Bc ) = 1, A, B P(Ω). 4 Können die Ereignisse A und B disjunkt sein? A3: Auf einem Notizzettel eines Studenten finden sich die folgenden Ausführungen: Ω = {a, b, c, d, e} Grundgesamtheit, P sei W-Maß mit P ({a}) := 0.34, P ({b}) := 0.17, P ({c}) := 0.09, P ({d}) := 0.36 Sei A := {a, d, e}, B := {a, c, b}, C := {d, e}; P (A B) = 0.34; P (B C) = 0; P (A C) = 0.43 Was ist hier fehlerhaft? Korrigieren Sie! A4: Ein Spielautomat besitzt zwei Scheiben, die beide Zahlen zwischen 1 und 4 anzeigen können (Die Grundgesamtheit ist also {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}). Der Mechanismus führt dazu, daß die möglichen Kombinationen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auftreten (die Zeilen entsprechen wie üblich den Zahlen auf der ersten Scheibe, die Spalten denen auf der zweiten): Es sei A das Ereignis Beide Scheiben zeigen die gleiche Zahl, B das Ereignis Die Summe ist (echt) größer als 3 und C das Ereignis Die zweite Scheibe zeigt eine gerade Zahl. a) Geben Sie folgende Ereignisse (durch Aufzählen ihrer Elemente) an und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeiten: P (A B), P ((A C c ) B)

5 Aufgabenblatt 3 S. 2 SS15 b) Berechnen Sie P (C A) und P (B c C). A5: An einer unbeleuchteten Tankstelle stehen vier Zapfsäulen: A, B, C und D. Ein Autofahrer, der tanken will, muß eine zufällig auswählen. Die Anordnung der Säulen ist so, daß die Säule A mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ausgewählt wird, die Säulen B und C mit 40% bzw. 30% Wahrscheinlichkeit. Das Benzin hat eine unterschiedliche Qualität: Benzin aus A führt in 10% der Fälle zu einem Motorschaden (und damit zum Stillstand des Automobils), bei B beträgt diese Wahrscheinlichkeiten 20%, und bei C und D kommt ein Schaden in 40% der Fälle vor. a) Wie wahrscheinlich ist es, daß ein Auto nach dem Tanken einen Motorschaden bekommt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Auto von Säule A getankt hat, wenn es stehenbleibt? Wie groß sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für B, C und D? c) Zwei Statistiker schlagen Entscheidungsregeln für die Frage vor, aus welcher Säule gezapft wurde: Der erste vermutet bei Motorschaden die Säule B und andernfalls die Säule C, der zweite vermutet bei Motorschaden die Säule C und sonst die Säule A. Bei welcher Entscheidungsregel ist die Wahrscheinlichkeit einer falschen Entscheidung geringer? (Für ganz Schlaue - ohne Wertung: Wissen Sie eine noch bessere Regel?) d) Eine weitere ebenfalls unbeleuchtete Tankstelle verkauft die gleichen Sorten Benzin (die (bedingten) Wahrscheinlichkeiten für Motorschaden ändern sich also nicht), nur hat sie die entsprechenden Säulen anders aufgestellt, so daß die Wahrscheinlichkeiten, eine bestimmte Säule auszuwählen, anders sind als bei der ersten Tankstelle. Bei dieser Tankstelle sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten, aus A, B, C oder D getankt zu haben, falls das Auto stehenbleibt, alle gleich groß. Wie wahrscheinlich ist bei dieser Tankstelle ein Motorschaden? A6: Drei äußerlich nicht unterscheidbare Kästen enthalten jeweils zwei Münzen. Der erste enthalte zwei Goldmünzen, der zweite zwei Silbermünzen, der dritte sowohl eine Gold als auch eine Silbermünze. Nun wird zufällig ein Kasten gezogen und daraus blind zufällig eine Münze entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die zurückbleibende Münze aus Gold ist, wenn die entnommene aus Gold war? A7: Ein amerikanisches TV-Unterhaltungsquiz hat als Höhepunkt folgendes Spiel: Der Kandidat wird vor drei Garagentüren geführt, von denen hinter einer

6 Aufgabenblatt 3 S. 3 SS15 ein Auto steht (hinter den beiden anderen eine Ziege). Der Kandidat darf eine Tür auswählen. Diese wird jedoch nicht geöffnet, vielmehr öffnet der Quizmaster eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Daraufhin darf der Kandidat nochmal zwischen den beiden verbliebenen Türen wählen. Falls er die Tür mit dem Auto wählt, gehört das Auto ihm. Vergleichen Sie die Erfolgsaussichten der beiden folgenden Strategien mit Hilfe der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit: 1) Der Kandidat bleibt bei seiner ersten Wahl 2) Der Kandidat wählt die andere Tür A8: Für zwei Ereignisse A und B gelte P (A) = 1/4, P (B) = 1/3. a) Wie groß ist P (A B), falls A und B unabhängig sind? b) Wie groß ist P (A c B), falls A und B disjunkt sind? c) In einem anderen W-Raum gelte für zwei Ereignisse A und B P (A) =.8, P (B) =.5, P (A B) =.9 Sind die Ereignisse A und B unabhängig? d) In einem weiteren W-Raum seien drei Ereignisse A, B und C (gemeinsam) unabhängig und es gelte: P (A B) =.3, P (A C) =.2, P (C) =.4 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau zwei dieser Ereignisse eintreten? A9: a) Für zwei unabhängige Ereignisse A und B gelte: P (A) =.3 und P (B) =.6. Wie groß ist P (A B)? b) Wie groß ist für die beiden Ereignisse aus Teil a) die Wahrscheinlichkeit P (A\B)? c) Wie groß ist für diese Ereignisse die Wahrscheinlichkeit P (A c B c ) (E c bezeichnet das Gegenereignis eines Ereignisses E)? d) Für zwei weitere unabhängige Ereignisse C und D gelte P (C D) = 1. Zeigen Sie, daß dann mindestens eines der beiden Ereignisse Wahrscheinlichkeit 1 haben muß. A10: Beweisen Sie: Sind A, B unabhängig und disjunkt, so gilt: P (A) = 0 oder P (B) = 0.

7 Aufgabenblatt 3 S. 4 SS15 A11: Sei Ω := {a, b, c, d} Laplaceraum, seien A := {a, b}, B := {a, c}, C := {b, c} Ereignisse. Zeige: A, B, C sind zwar paarweise unabhängig, aber nicht gemeinsam unabhängig. A12: Für drei Ereignisse A, B und C gelte: A und C sind disjunkt und B und C sind unabhängig. Ferner sei bekannt: P (C) =.6, P (A B) =.1, P (B C) =.3 und P (A B C) = 1. Bestimmen Sie P (B), P (A), P ((A B)\C) und P ((A B) (A B)) (Ein Venn-Diagramm könnte nützlich sein.) A13: Gegeben sei die Situation aus Aufgabe 5 in Aufgabenblatt 2. Bestimmen Sie P (F D), P (D F ), P (D U U), P (U U D), P (U U E). Beschreiben Sie diese Ereignisse auch in Worten.

8 Aufgabenblatt 4 S. 1 SS15 A1: Sei < Ω, P > der W-Raum für das Werfen mit zwei Würfeln. (Ω = {1,..., 6} {1,..., 6}, Laplaceraum). Gegeben seien die Zufallsvariablen X : Ω R; X(ω 1, ω 2 ) := ω 1 + ω 2 (Augensumme), Y : Ω R; Y (ω 1, ω 2 ) := ω 1 (Augenzahl des ersten Würfels), Z : Ω R; Z(ω 1, ω 2 ) := ω 2 (Augenzahl des zweiten Würfels). a) Berechnen Sie P (X > 7.5)! b) Sei C = (1.3, 5.8). Berechnen Sie P (X C)! A2: Sei < Ω, P > der W-Raum für ein Schildkrötenrennen mit Ω = {a, b, c, d, e} (Schildkröten) und der Siegwahrscheinlichkeit P. Sei f die zu P gehörende W-Funktion. Auf den Sieg der Schildkröten können Wetten abgeschlossen werden. Der Wetteinsatz beträgt 1 DM. Es gibt zwei verschiedene Wettmöglichkeiten, die durch die Zufallsvariablen X und Y dargestellt werden: X und Y ordnen jeder Schildkröte den Gelderhalt bei ihrem Sieg zu. Die Werte entnehme man der folgenden Tabelle: ω f(ω) X(ω) Y (ω) a b c d e Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen f X, f Y! A3: Bestimmen Sie zu den Situationen aus Aufgabe 1 und Aufgabe 2 die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X und Y samt Randverteilungen! A4: Gegeben sei die Situation aus Aufgabe 1. Bestimmen Sie a) Die bedingten Verteilungen von X unter den Bedingungen Y = 2 und Y = 5 b) Die bedingten Verteilungen von Y unter den Bedingungen X = 4, X = 7 und X = 10.

9 Aufgabenblatt 4 S. 2 SS15 A5: Die Zva en X, Y besitzen eine gemeinsame W-Verteilung, die folgendermaßen festgelegt sei: X\Y /32 1/32 1/ /32 2/32 2/32 3 6/32 1/32 1/32 Bestimmen Sie die Randverteilungen sowie die bedingten W-Verteilungen. Sind die Zva en X und Y voneinander unabhängig? A6: Man werfe gleichzeitig zwei Würfel, einen roten und einen blauen. Bezeichnen Sie mit X 1 die Zva, die jedem Augenpaar die Augenzahl des roten, mit X 2 diejenige, die jedem Augenpaar die Augenzahl des blauen Würfels zuordnet. Definieren Sie weiterhin die Zva en Y 1 := X 1 +X 2, Y 2 := X 1 X 2. Die Würfel seien symmetrisch und unabhängig. a) Beschreiben Sie die zugrundeliegende Grundgesamtheit: welche Werte können die Zva X 1, X 2, Y 1, Y 2 annehmen? Geben Sie für die Zva en X 1, X 2, Y 1, Y 2 jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilungen an; stellen Sie diese Verteilungen graphisch dar! b) Geben Sie die gemeinsame W-Verteilung von X 1 und X 2 sowie die von Y 1 und Y 2 an! c) Sind die Variablen X 1, X 2 stochastisch unabhängig? Sind die Variablen Y 1, Y 2 stochastisch unabhängig? d) Geben Sie die bedingte W-Verteilung von Y 1 an für Y 2 = 0! e) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P (Y 2 = 0) b) P (Y 1 = 12, Y 2 = 0) c) P (2 Y 1 5, 1 Y 2 1) d) P (2 Y 1 12, Y 2 = 0) e) P (2 Y 1 12 Y 2 = 0) f) P ( 5 Y 1 1, 5 Y 2 1) g) P ( 5 Y 1 1 oder 5 Y 2 1) A7: X, Y seien unabhängige Zufallsvariablen mit folgendermaßen definierten W- Verteilungen:

10 Aufgabenblatt 4 S. 3 SS15 X 1 2 P X Y P Y a) Man bestimme die gemeinsame W-Verteilung der Zufallsvariablen X und Y. b) Man bestimme die W-Verteilung der Zufallsvariablen X + Y, X Y. A8: Sei Ω eine Population. Auf Ω seien zwei Zva en X und Y so definiert: { 0, falls Person p Nichtraucher X : Ω R mit X(p) := 1, sonst { 0, falls Person p nicht krebskrank Y : Ω R mit Y (p) := 1, sonst Die gemeinsame W-Verteilung von X und Y sei durch folgende Tafel gegeben: Man bestimme: a) die Randverteilungen P X, P Y b) die bedingten W-Verteilungen. X\Y

11 Aufgabenblatt 5 S. 1 SS15 A1: Unter den Kranken einer psychiatrischen Abteilung kommen die Körperbautypen (K) pyknisch (p), leptosom (l) und athletisch (a) sowie die Erkrankungen (E) Schizophrenie (s), manisch-depressives Irresein (m) und Epilepsie (e) vor. In einer Stichprobe von 20 Patienten findet man: Patient K E Patient K E Patient K E Patient K E 1 p m 6 l e 11 l s 16 a e 2 l m 7 p m 12 a e 17 p s 3 p s 8 a e 13 p e 18 l s 4 l s 9 a m 14 a s 19 a e 5 p e 10 l m 15 a s 20 a m Erstellen Sie die Kontingenztafeln der absoluten und relativen Häufigkeiten der beiden Variablen mit Randverteilungen. Zeichnen Sie Diagramme für die absoluten Häufigkeiten von K und E. Zeichnen Sie die Diagramme für die gemeinsame Verteilung der beiden Variablen (relative Häufigkeiten). Zeichnen Sie ferner alle Diagramme der bedingten relativen Häufigkeiten. Überzeugen Sie sich davon, dass die relativen Randhäufigkeiten die gewichteten Mittel der bedingten relativen Häufigkeiten sind. A2: Wie sehen die unterschiedlichen Diagramme der relativen Häufigkeiten und bedingten relativen Häufigkeiten von zwei Variablen qualitativ aus, wenn Unabhängigkeit vorliegt? Wie sehen sie qualitativ bei vollständiger Abhängigkeit aus? Gibt es Beziehungen zu den Diagrammen der Randverteilungen? A3: Welche der folgenden Aussagen ist richtig? a) Die Anordnung der Variablenstufen in Kontingenztafeln hat einen Einfluß auf den Wert des ϕ 2 -Koeffizienten, da die bedingten relativen Häufigkeiten bei unterschiedlicher Anordnung der Variablenstufen unterschiedlich ausfallen. b) Die Anordnung der Variablenstufen in Kontingenztafeln hat keinen Einfluß auf den Wert des ϕ 2 -Koeffizienten. c) Die Anordnung der Variablenstufen in Kontingenztafeln hat nur dann einen Einfluß auf den ϕ 2 -Koeffizienten, wenn die Zeilenzahl von der Spaltenzahl differiert. A4: Betrachten Sie die Kontingenztafel (mit absoluten Häufigkeiten):

12 Aufgabenblatt 5 S. 2 SS15 B 1 B 2 A 1 a b A 2 c d Zeigen Sie: ϕ 2 = (ad bc) 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) Die Rechnung ist etwas kompliziert; wenn Sie die Lösung nicht in vertretbarer Zeit erreichen, nehmen Sie nur die Formel zur Kenntnis. A5: a) Die Verteilung von zwei Variablen X und Y in einer Stichprobe ist in einer Kontingenztafel mit relativen Häufigkeiten zusammengefaßt, in der leider einige Zahlen unleserlich geworden sind. X\Y Ergänzen Sie die restlichen Zahlen und zeichnen Sie ein Schaubild der bedingten relativen Häufigkeitsverteilung von X für Y = 3 b) Von der Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten von zwei anderen Variablen U und V ist nur folgender kümmerlicher Rest übriggeblieben: U\V Allerdings haben Sie folgende Zusatzinformationen: h(u = 1 V = 1) =.5 und h(v = 2 U = 2) =.25. Ergänzen Sie damit den Rest der Tafel! (Kümmern Sie sich zunächst um h(u = 2)!)

13 Aufgabenblatt 6 S. 1 SS15 A1: In einer Stichprobe von 80 Versuchspersonen wurden zwei Variablen erhoben. Aus der Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten sind die folgenden Zahlen bekannt: a) Vervollständigen Sie die Tafel! b) Berechnen Sie den ϕ 2, ϕ und χ 2! X\Y c) Wie müßte das Innere einer Kontingenztafel aussehen, die die gleichen Randverteilungen hat wie die angegebene und zu einem χ 2 -Wert von 80 führt? d) Eine Kontingenztafel mit 4 bzw. 5 Ausprägungen der beiden Variablen führt zu einem χ 2 -Wert von 150. Wieviele Versuchspersonen wurden dann mindestens erfasst? A2: a) Berechnen Sie den ϕ 2, ϕ und χ 2 für die folgende Kontingenztafel: X\Y b) Ein Forscher entdeckt in seinen Aufzeichnungen die Randverteilungen der absoluten Häufigkeiten einer Kontingenztafel: x y 0 1 n(x = x) n(y = y) 8? Er meint sich dunkel zu erinnern, daß die Variablen in der Stichprobe entweder unabhängig oder vollständig abhängig waren. Kann das sein, oder ist beides unmöglich? A3: Der durchschnittliche IQ einer Gruppe von 40 Personen sei 90, der einer anderen Gruppe von 60 Personen 120. Wie groß ist der durchschnittliche IQ aller 100 Personen? Warum kann die Lösung als gewichtetes Mittel interpretiert werden? A4: Es wäre schön, wenn die folgende Aussage allgemeine Gültigkeit hätte:

14 Aufgabenblatt 6 S. 2 SS15 Zwischen dem ersten und dritten Quartil (jeweils einschließlich) liegen mindestens 50 % der Daten. Ob die Aussage richtig ist, hängt auch von der Anzahl der Elemente der Datenreihe ab. Untersuchen Sie getrennt die Fälle, daß der Rest bei Division der Anzahl der Elemente durch 4 den Wert 0, 1, 2, 3 hat. In welchen von diesen Fällen ist die Aussage immer richtig? Konstruieren Sie für die anderen Fälle Beispiele, in denen die Aussage falsch ist und solche, in denen sie richtig ist. A5: Prüfen Sie für das Beispiel mit den Boxplots für drei Gruppen aus der Veranstaltung nach, ob die Zeichnungen alle korrekt sind (auch die Abbildung mit Mittelwerten ± Standardabweichung). A6: Die Jahreseinkünfte von vier Personen betragen DM, DM, DM und DM. Berechnen Sie Mittelwert und Median. In welchem Sinne ist hier der Median typischer für die vier Einkommen als der Mittelwert? A7: Man gebe diejenige lineare Funktionsgleichung an, deren Gerade durch die Punkte (2, 3) sowie (4, 5) läuft. Wo schneidet diese Gerade die y-achse? Welche Steigung besitzt sie?

15 Aufgabenblatt 7 S. 1 SS15 A1: Wann gilt 1 n n (x i M x ) 2 = 0? i=1 A2: Zeigen Sie, daß für jede Datenreihe mit Mittelwert M und Median Md folgendes gilt: 1 n n x i Md 1 n i=1 n x i M i=1 Wenn Sie mit der allgemeinen Aussage Schwierigkeiten haben, so untersuchen Sie die Datenreihe 1, 2, 3, 10, um eine Idee für den allgemeinen Fall zu bekommen. A3: Es seien a, b R mit a b. Es gelte a x i b für alle 1 i n. Zeigen Sie, dass daraus a M X b folgt. A4: In einer Klausur sitzen 30 Studentinnen und 20 Studenten. Die Ergebnisse werden getrennt ausgewertet: Der Mittelwert der Ergebnisse bei den Studentinnen ist 20 bei einer Streuung von 5, der Mittelwert der Studenten ist dagegen nur 15 bei einer Streuung von 10. a) Wie groß ist der Mittelwert der Gesamtgruppe? b) Wie groß sind Varianz und Streuung in der Gesamtgruppe? (Hinweis: Ermitteln Sie zunächst den Mittelwert der quadrierten Werte!) A5: Es liege folgende Meßwertreihe vor: 8; 2; 10; 8; 4; 0; 2; 6; 2; 14; 6; 10 a) Bestimmen Sie Mittelwert und Varianz! b) Wie groß sind Modus und Median? c) Ein Statistikdozent möchte den Aufwand beim Erstellen einer Statistikklausur geringhalten und übernimmt die Daten einer Aufgabe aus dem letzten Jahr, nachdem er sie der linearen Transformation y = 2x 2 unterworfen hat. Wie groß wären der Mittelwert und die Varianz der früheren Daten gewesen, wenn die transformierten Daten die aus dieser Aufgabe wären? d) Eine Datenreihe liefert einen Mittelwert von 5 und eine Streuung von 6. Die Daten sollen zum Vergleich mit einer anderen Untersuchung so linear transformiert werden, daß der neue Mittelwert gleich 10 und die neue Streuung gleich 3 ist. Wie muß dann die lineare Transformation aussehen? Ist die Lösung eindeutig?

16 Aufgabenblatt 7 S. 2 SS15 A6: Gegeben sei eine Datenreihe mit Mittelwert M X und Streuung S X Man suche solche a, b R, daß M ax+b = 100, S ax+b = 15. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis für M X = 50, S X = 10! (Diese Transformation wird z.b. verwendet, wenn man Intelligenzwerte auf einer T-Skala in solche einer IQ-Skala umrechnet.) A7: a) Forscher haben 51 Jahre lang das Klima in einem Wüstenstaat beobachtet. Die Variable X gibt die Anzahl der Tage im Jahr an, an denen Regen fällt. Der Mittelwert von X war 5. Schätzen Sie die Anzahl der Jahre ab, in denen es an mindestens 20 Tagen geregnet hat! b) Bei einem neu entwickelten Intelligenztest hat eine Stichprobe von 200 Personen einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 10 ergeben. Können Sie die Anzahl der Personen abschätzen, die einen Testwert erreicht haben, der größer als 85 und kleiner als 115 ist? A8: Ein Student A erreicht in einer Klausur 21 Punkte. Der Mittelwert dieser Klausur betrug 17, die Streuung 2 Punkte. Wieviel Punkte muß ein Student in einer zweiten Klausur mit Mittelwert 16 und Varianz 9 mindestens erreichen, um mindestens so gut zu sein wie Student A in der ersten Klausur? A9: a) Geben Sie je ein Beispiel für Meßwertreihen x 1,..., x n und y 1,..., y n, die die folgenden Bedingungen erfüllen: Range (X) < Range (Y) und S 2 X > S2 Y Range (X) = Range (Y) und S 2 X > S2 Y Range (X) > Range (Y) und S 2 X > S2 Y b) Geben Sie zwei Meßwertreihen (n=5) an, die den gleichen Mittelwert und die gleiche Varianz besitzen, ansonsten aber verschieden sind. A10: Die Variablen X und Y seien unabhängig. Welche Aussage ist dann richtig? a) S 2 X Y = S2 X S2 Y b) S 2 X Y = S2 X + S2 Y c) S 2 X Y = S2 X + S2 Y + 2 Kov X,Y A11: An einer Stichprobe seien die Variablen X und Y erhoben worden. Dabei habe man folgende Größen errechnet: M X = 50, S X = 5, M Y = 30, S Y = 10, Kov X,Y = 25 Berechnen Sie:

17 Aufgabenblatt 7 S. 3 SS15 a) S 2 X+Y b) r X,Y c) M X Y A12: Sei rx,y 2 = 0.8, S X = 10, S Y = 15, M X = 100, M Y = 60. Wie groß ist M X Y? A13: In einer Untersuchung an 100 Personen habe man die Meßwerte zweier Variablen X, Y erhoben. Die Ergebnisse seien in der folgenden Häufigkeitstabelle zusammengefaßt: Y \X a) Berechnen Sie die Korrelation zwischen den Variablen X, Y. b) Tragen Sie die Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. c) Berechnen Sie den ϕ 2 - und den χ 2 -Koeffizienten. Was erkennt man an dieser Übungsaufgabe? A14: 10 Erstsemester der Psychologie haben sich 1991 in das Tutorium Grande für Statistik I eingetragen. Jeder Teilnehmer mußte am Ende des Semesters angeben, wie viele Stunden er das Tutorium besucht hat. Gleichzeitig wurde eine Statistik-Klausur geschrieben. Dem Tutor fiel auf, daß drei Studenten, die das Tutorium nie besucht hatten, überdurchschnittlich gute Arbeiten abgegeben hatten, während viele Studenten, die oft anwesend gewesen waren, schlecht abgeschnitten hatten. Den Tutor plagten Selbstzweifel. Er nahm an, daß sein Tutorium so schlecht sei, daß sich häufiger Besuch negativ auf die Klausurergebnisse auswirke. Um dies zu überprüfen, stellte er eine Tabelle auf mit 10 Meßwertpaaren. X = Tutoriumsbesuch in Stunden (max = 12) Y = Klausurergebnis in Punkten (max = 50). X Y a) Berechnen Sie die Korrelation! b) Interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf die Annahme des Tutors!

18 Aufgabenblatt 8 S. 1 SS15 A1: Gegeben seien drei Variable X, Y, Z mit Mittelwerten 2, 3, 5 und Kovarianzmatrix a) Bestimmen Sie die zugehörige Korrelationsmatrix. b) Berechnen Sie die den Mittelwert und die Varianz von U := 2X + 3Y Z + 1. c) Wie groß ist die Korrelation von U und X Y + 2Z + 5? A2: Gegeben sei die Korrelationsmatrix von drei Variablen X, Y, Z mit Mittelwerten 1, 5, 2 und mit S X = 2, S Y = 5, S Z = 1: a) Bestimmen Sie die zugehörige Kovarianzmatrix. b) Jetzt werden zwei neue Variable gebildet: U := X +2Y Z +2 und V := 2X + 3Z 4. Wie groß sind die Mittelwerte und Streuungen der beiden neuen Variablen? Wie groß ist ihre Kovarianz und ihre Korrelation? A3: Zum Thema optimaler Entscheidungsregeln. Gegeben sei eine Krankheit (Ereignisse: Vorliegen: K +, Nichtvorliegen: K ) und ein Test (Ergebnisse: T + : positiv (deutet auf Krankheit hin) und T : negativ). Der Test sei durch folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten charakterisiert: P(T + K + ) =.99, P(T K ) =.9. Der Anteil der Kranken sei p (beispielsweise.05). Gesucht ist nun eine Entscheidungsregel, die optimal ist. Dies Problem wird natürlich erst dann sinnvoll, wenn präzisiert wird, was unter Optimalität zu verstehen ist. Eine Entscheidungsregel sei dabei eine Vorschrift, die jedem möglichen Testergebnis die Diagnose K + (für krank ) oder K (für gesund ) zuordnet; eine weitere Entscheidungsmöglichkeit ( weiß nicht ) sei nicht vorgesehen (unterscheide also: K + bedeutet: Krankheit liegt vor, K + hingegen: Krankheit wird diagnostiziert).

19 Aufgabenblatt 8 S. 2 SS15 Eine mögliche (wohl nicht besonders sinnvolle) Entscheidungsregel wäre beispielsweise (T + K, T K + ). Es liegt dabei die Vermutung nahe, dass (T + K +, T K ) die einzig sinnvolle Entscheidungsregel ist (was schon durch die Bezeichnungen T + und T nahegelegt wird), ob dies stimmt, ist jedoch hier gerade die Frage. Sinnvoll ist es vielleicht, Kurzbezeichnungen für die Regeln einzuführen, beispielsweise, indem nacheinander die Entscheidungen bei T + und T aufgeführt werden, wobei + für K + und für K steht. Dann könnte man die beiden eben betrachteten Regeln beispielsweise mit R + und R+ abkürzen. a) Welches sind die möglichen Entscheidungsregeln und wieviele gibt es? Machen Sie sich klar, dass man die Entscheidungsregeln sozusagen in komplementäre Paare aufteilen kann (gegenteilige Entscheidungen). b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der vier Kombinationen K + T + etc. als Funktion von p in einer Tabelle 1 an (rechnen Sie sie ggf. zunächst für das konkrete p =.05 aus) (Hinweis: es müssen sich lineare Transformationen von p ergeben). Sie können mit Hilfe dieser Tabelle übrigens dann schnell (mit einer zusätzlichen Division, wenn Sie erst noch die Randwahrscheinlichkeiten bestimmen) die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(K + T + ) etc. als Funktion von p oder konkret für p =.05 angeben. c) Nun mögen die Vor- und Nachteile der möglichen Entscheidungen quantitativ fassbar sein (Nutzen und Kosten), beispielsweise durch die Werte in der folgenden Tabelle 2: K + K K K 5 0 Hier ist also der Schaden besonders groß ( 20), wenn ein Kranker als gesund diagnostiziert wird. Der Einfachheit halber seien die Einträge in der Tabelle als Nutzen bezeichnet ein negativer Nutzen sind dann eben entsprechende Kosten. Rechnen Sie nun für alle möglichen Entscheidungsregeln den Erwartungswert des Nutzens aus! Es müssen sich dabei überall lineare Funktionen der Basiswahrscheinlichkeit p ergeben. (Hinweis: Bestimmen Sie zunächst für jede Entscheidungsregel getrennt für alle 4 Zellen der Tabelle 2 die Wahrscheinlichkeiten (also die Wahr-

20 Aufgabenblatt 8 S. 3 SS15 scheinlichkeit für K + K + etc.). Benutzen Sie dazu die Tabelle 1 des vorangehenden Aufgabenteils.) d) Skizzieren Sie grob die Funktionen, die für die jeweiligen Entscheidungsregeln den Erwartungswert des Nutzens in Abhängigkeit von p angeben, in einem gemeinsamen Schaubild (skalieren Sie dabei die y-achse passend). Es sollte nun klar werden, dass die optimale Regel, die den Erwartungswert maximiert, für unterschiedliche Werte von p verschieden ist. Welche Regel in diesem Sinn optimal ist, hängt also von der Basisrate p ab. Bestimmen Sie die Umschlagspunkte, also diejenigen Werte von p, bei denen sich die optimale Entscheidungsregel ändert, und zusätzlich den Erwartungswert des Nutzens der optimalen Regel in diesen Punkten; bestimmen Sie diesen Erwartungswert auch für p = 0 und p = 1. e) Führen Sie dasselbe auch für die folgende Nutzenfunktion durch: K + K K K 0 1 Wie ist der Erwartungswert jetzt zu interpretieren? Beachten Sie, dass die in diesem neuen Sinn optimale Entscheidungsregel nicht notwendig mit der aus dem letzten Aufgabenteil übereinstimmt, immerhin für bestimmte Basisraten für welche? Bemerkenswert wenn auch banal also das Ergebnis: Was optimal ist, hängt davon ab, wie man Optimalität definiert. A4: Wie wahrscheinlich ist es höchstens, bei einer fairen Wette mit Einsatz 1 DM mindestens 10 DM ausgezahlt zu bekommen? (Eine Wette ist fair, wenn der Erwartungswert des Nettogewinns 0 ist.) A5: Wie wahrscheinlich ist es höchstens, bei einem fairen Lotteriespiel mit einem Einsatz von 10 DM mindestens 1 Million DM zu gewinnen? (Vgl. Aufgabe 4 zum Begriff fair.) A6: In der Situation von Aufgabe 7 in Aufgabenblatt 4 bestimme man E(X), E(Y ), E(X + Y ) und E(X Y ). A7: Zwei Zvan X und Y besitzen folgende gemeinsame Verteilung: X\Y

21 Aufgabenblatt 8 S. 4 SS15 a) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion der Variablen Z := Y X! b) Wie groß ist der Erwartungswert von Z? c) Wie groß sind Varianz und Streuung von Z? d) Wie groß sind Erwartungswert und Streuung der Variablen W := 2Z + 3? A8: a) Eine Zufallsvariable hat die Varianz 16. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie einen Wert annimmt, der vom Erwartungswert einen Abstand von mindestens 8 hat, höchstens? b) Ein Morgenmuffel gibt sich bei der Auswahl des Käses, den er zum Frühstück verzehrt, nicht viel Mühe. Er ißt einfach die Sorte, die ihm zufällig in die Hände fällt. Seine Freundin, die sehr auf ihre Figur achtet und deren Lieblingsfach die Statistik ist, beobachtet ihn längere Zeit und kommt zur Überzeugung, daß die Wahrscheinlichkeit, daß der Fettgehalt des Käses mindestens 60 Prozent beträgt, gleich 1/5 ist. Es sei X die Zufallsvariable Fettgehalt (in Prozent) des zufällig gewählten Käses. Können Sie eine Aussage über den Erwartungswert von X machen? A9: Beim Einkaufen hören zwei Tutorinnen zufällig eine russische Unterhaltung, in der es anscheinend um Statistik geht. a) Herr M. glaubt, dass der Erwartungswert der Variable X: an einem Tag verkaufte Schokoriegel gleich 23 ist. Schätzen Sie unter der Voraussetzung, dass Herr M. recht hat die Wahrscheinlichkeit ab, dass X mindestens den Wert 30 annimmt. b) Herr T. hat zusätzlich eine Vorstellung über die Varianz von X; er denkt, dass sie gleich 16 ist. Schätzen Sie unter dieser Voraussetzung die Wahrscheinlichkeit ab, dass die Zahl verkaufter Schokoriegel zwischen 16 und 30 (jeweils einschließlich) liegt. A10: Betrachten Sie die folgenden Meßwertpaare: X Y Die Geraden y = 2 x+2 und y = x+3 werden zur Beschreibung der Daten vorgeschlagen. Fertigen Sie eine Punktwolke an, zeichnen Sie obige Geraden sowie die Regressionsgerade von Y bzgl. X ein und berechnen Sie für jede der drei Fälle die Summe der quadrierten Abweichungen. Vergleichen Sie die Ergebnisse!

22 Aufgabenblatt 9 S. 1 SS15 A1: Angenommen, in zwei unterschiedlichen Untersuchungen habe man jeweils die Variablen X und Y erhoben. In beiden Fällen habe man die gleichen Regressionsgewichte b gefunden. Folgt daraus, daß in beiden Untersuchungen auch die Korrelationen zwischen X und Y identisch waren? A2: In einer Situation der einfachen linearen Regression zeichne man (in Gedanken) Parallelen zur Regressionsgerade, die von dieser einen Abstand (in y-richtung gemessen) von ks Y.X nach oben bzw. unten haben (k > 0 ist vorgegeben). Zeigen Sie: der Anteil der Punkte in dem durch die beiden neuen Geraden begrenzten Streifen ist mindestens 1 1/k 2 (die Begrenzungsgeraden sollen dabei nicht zum Streifen gehören). Hinweis: Tschebyscheffsche Ungleichung für den Fehler. A3: Vier Personen liefern in Variable X die Werte 2, 2, 4, 4 und in Variable Y (in der gleichen Reihenfolge) die Werte 1, 3, 3, 5. Zeichnen Sie zunächst die Punktwolke. Zeigen Sie dann, dass es auf die Frage nach einer optimalen linearen Vorhersagefunktion keine eindeutige Lösung gibt, wenn Sie als Optimalitätskriterium nicht die Summe der quadrierten Abweichungen wählen, sondern die Summe der absoluten Abweichungen. Genauer: Zeigen Sie, dass alle Geraden in diesem Sinn optimal sind, die für x = 2 zwischen y = 1 und y = 3 verlaufen und für x = 4 zwischen y = 3 und y = 5. Welches ist die optimale Gerade im Sinne der kleinsten Quadrate? A4: Welche Aussage ist richtig? Wenn die Schätzfehlervarianz S 2 Y.X = 0, so gilt: a) r 2 X,Y = 1 b) r 2 X,Y = 0 c) S 2 X.Y 0 A5: Ein Psychologe stellt die These auf, daß die Variable Y : Dogmatismus mit der Variablen X : durchschnittlicher täglicher Fernsehkonsum von Informationssendungen zusammenhängt. Dabei sollen Menschen, die mehr Informationssendungen sehen, weniger dogmatisch sein. An sechs Versuchspersonen hat er folgende Werte erhoben: X Y a) Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden (Regression von Y auf X)!

23 Aufgabenblatt 9 S. 2 SS15 b) Stellen Sie die Daten graphisch dar und zeichnen Sie die Regressionsgerade ein! c) Welcher Wert würde für jemanden vorhergesagt, der 5 Stunden täglich Informationssendungen sieht? Wie groß ist der Standardschätzfehler? d) Stellen Sie sich nun vor, alle Versuchspersonen würden 5 Stunden täglich fernsehen, wobei sie in der nach dem Sehen der Informationssendungen verbleibenden Zeit Unterhaltungssendungen anschauen. Die Variable Z gebe den täglichen Konsum an Unterhaltung an. Wie groß ist die Korrelation zwischen X und Z und wie lautet die Regressionsgleichung der Regression von Y auf Z? (Beantworten Sie diese Fragen möglichst ohne nennenswerten Rechenaufwand!) A6: Die folgenden Meßwertpaare werden erhoben: X Y Berechnen Sie: M X, M Y, M X Y, S 2 X, S2 Y, Kov X,Y, r X,Y! Erstellen Sie sowohl die Regressionsgleichungen für Y bzgl. X als auch für X bzgl. Y. Stellen Sie beide graphisch dar (auch die Punktwolke), jeweils in einem eigenen Koordinatensystem. Zeichnen Sie dann zum Vergleich beide Regressionsgeraden im gleichen Koordinatensystem ein. Vergleichen Sie S 2 Y.X mit S2 X.Y. A7: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems: x + y + z = 4 x y + 2z = 4 2x + z = 4 A8: An fünf Personen sind drei Variablen X, Y und Z erhoben worden: X: Y: Z: Zur Vorhersage von Z aus X und Y werden zwei Regeln vorgeschlagen: z = x y + 6 und z = x + y 6. Vergleichen Sie die beiden Regeln über die Summe der quadrierten Abweichungen! Wie lautet die optimale Regel, und wie groß ist hier die Summe der quadrierten Abweichungen?

24 Aufgabenblatt 9 S. 3 SS15 A9: Betrachten Sie die einfache lineare Regression als einen Spezialfall der multiplen mit einem Prädiktor. Wie sehen dann die Normalengleichungen aus? Zeigen Sie, dass sich als Lösung das aus der einfachen Regression bekannte Gewicht ergibt A10: Stellen Sie sich vor, dass man Werte für ein Kriterium Y und potentielle Prädiktoren X 1,..., X m erhoben hat. Nun rechnet man zunächst eine multiple Regression nur mit den Prädiktoren X 1,..., X m 1. Anschließend rechnet man (mit denselben Daten) eine multiple Regression mit allen Prädiktoren X 1,..., X m. Kann es sein, dass der Determinationskoeffizient bei der zweiten Regression kleiner ist als der bei der ersten? (Anders: Kann der Determinationskoeffizient bei Hinzunahme eines weiteren Prädiktors kleiner werden?) Wenn ja, versuchen Sie, ein einfaches Beispiel zu finden, wenn nein, geben Sie eine Begründung.

25 Aufgabenblatt 10 S. 1 SS15 A1: Zwei Prädiktoren X 1, X 2 und ein Kriterium Y liefern (in dieser Reihenfolge) die Mittelwerte 2, 3, 5 und die Kovarianzmatrix a) Stellen Sie die Normalengleichungen auf und bestimmen Sie die optimale Vorhersage. b) Bestimmen Sie die Vorhersagevarianz, R 2, die multiple Korrelation der Prädiktoren mit Y, Schätzfehlervarianz und Standardschätzfehler. c) Bestimmen Sie die β-gewichte über die Normalengleichungen mit den standardisierten Variablen und überzeugen Sie sich, dass die Formeln für diese Gewichte auch hier stimmen. Wie sieht die optimale Vorhersage des standardisierten Kriteriums durch die standardisierten Prädiktoren aus? d) Vergleichen Sie die multiple Regression mit den einfachen Regressionen auf jeweils einen Prädiktor. Was fällt auf? A2: Gegeben seien Werte von Variablen X 1, X 2, X 3, Y : X 1 X 2 X 3 Y a) Bestimmen Sie die Mittelwerte sowie die Kovarianz- und Korrelationsmatrix. Zur Kontrolle: Als Kovarianzmatrix muss sich folgende Matrix ergeben:

26 Aufgabenblatt 10 S. 2 SS15 b) Berechnen Sie die einfachen Regressionen von Y auf X 1, X 2, X 3. c) Berechnen Sie die multiplen Regressionen von Y auf jeweils zwei Prädiktoren (X 1, X 2 ), (X 2, X 3 ), (X 1, X 3 ). d) Berechnen Sie die multiple Regression von Y auf alle drei Prädiktoren (X 1, X 2, X 3 ). e) Berechnen Sie jeweils den Determinationskoeffizienten, den multiplen Korrelationskoeffizienten, den Standardschätzfehler und die β-gewichte. f) Betrachten Sie die Beziehung zwischen den Determinationskoeffizienten für die verschiedenen Regressionen. Gibt es irgendwo Additivität? g) Bei der multiplen Regression verfolgt man oft zwei gegenläufige Ziele: Einerseits möchte man möglichst wenig Prädiktoren haben, andererseits jedoch auch eine möglichst gute Varianzaufklärung. Man könnte sich nun folgendes Verfahren zur Auswahl einer Vorhersageregel denken, die einen möglichst guten Kompromiss liefert: Nimm als ersten Prädiktor denjenigen, der die meiste Varianz aufklärt. Nimm dann denjenigen hinzu, der den größten Gewinn an zusätzlicher Varianzaufklärung bringt. Führe dies so oft durch, bis die Varianzaufklärung befriedigend ist. Das Beispiel zeigt, daß dies Verfahren nicht notwendig die optimale Vorhersageregel liefert (warum?). h) Man beachte auch das Verhalten der Koeffizienten, wenn ein weiterer Prädiktor hinzukommt. Welche Folgerungen sind für die Interpretation von Vorzeichen zu ziehen? i) Welche Merkwürdigkeiten, die bei multiplen Regressionen auftreten können, zeigen sich in dieser Aufgabe? Berücksichtigen Sie: Änderung von Gewichten (b und β) bei Hinzunahme weiterer Prädiktoren, Änderung in der Varianzaufklärung, Diskrepanzen zwischen Gewichten und Korrelationen, Größe der β-gewichte. A3: Diese Aufgabe soll einige Merkwürdigkeiten demonstrieren, die bei Multikollinearität auftreten können. Würdigen Sie die Ergebnisse in dieser Hinsicht! Gegeben sind Werte der Variablen X 1, X 2 und Y für 4 Fälle: X 1 X 2 Y

27 Aufgabenblatt 10 S. 3 SS15 Bestimmen Sie Kovarianzmatrix und Korrelationsmatrix, ermitteln Sie die b-gewichte und daraus die β-gewichte. Geben Sie die Varianzzerlegung und den Determinationskoeffizienten an. Rechnen Sie auch einfache lineare Regressionen von Y auf X 1 und X 2 und vergleichen Sie die multiple Regression mit den einfachen. Beachten Sie insbesondere die Veränderungen, die sich ergeben, wenn zu X 1 als zweiter Prädiktor X 2 hinzugefügt wird; was leistet in diesem Zusammenhang übrigens X 2 als einzelner Prädiktor in einer einfachen linearen Regression? A4: Die Kaufgier ist ein entscheidender Antrieb zum Geldausgeben. Allerdings kann zu große Gier auch zur Unfähigkeit führen, überhaupt sich noch vernünftig zu verhalten, weshalb zu erwarten ist, daß zwischen der Variable Gier (X) und der Variable ausgegebene Geldsumme, in Hundertmarkscheinen gemessen, (Y ) ein umgekehrt U-förmiger Zusammenhang besteht. Für eine Untersuchung wird dies so präzisiert, daß Y durch eine quadratische Funktion von X von der Form ax 2 + bx + c möglichst gut vorhergesagt werden soll. In der Untersuchung hat man bei 7 Versuchspersonen die folgenden Werte von X gefunden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, und in der gleichen Reihenfolge die zugehörigen Y -Werte 11, 27, 27, 32, 28, 22, 14. a) Stellen Sie die Normalengleichungen auf, indem Sie die nötigen Varianzen und Kovarianzen ausrechnen1 b) Lösen Sie die Normalengleichungen! c) Für welchen Wert von X wird ein maximales Y vorhergesagt, und wie groß ist dieser Vorhersagewert? d) Zeichnen Sie die Punktwolke mit der ermittelten Vorhersagefunktion!

28 Aufgabenblatt 11 S. 1 SS15 A1: Jemand denkt sich zur multiplen Regression eine Aufgabe aus: Zwei Prädiktoren sollen unkorreliert sein und mit dem Kriterium jeweils eine Korrelation von.9 haben. Zeigen Sie, daß diese Angaben unsinnig sind! (Berechnen Sie den Determinationskoeffizienten! Berechnen Sie auch die Partialkorrelation der Prädiktoren!) A2: Zu drei Variabeln X, Y, Z seien folgende Korrelationskoeffizienten gegeben: r X,Y r X,Z r Y,Z a) b) c) d) e) Berechnen Sie jeweils die Partialkorrelation r X,Y.Z. Was kann man an dieser Aufgabe erkennen? A3: a) In einer Stichprobe wurden drei Variablen X, Y und Z erhoben. Man fand folgende Kennwerte: Berechnen Sie r XY.Z r XY =.1, r XZ =.4, r Y Z =.5. b) Für drei andere Variablen U, V und W ergab sich Wie groß ist r UV? r UW = r V W = 1/2 und r UV.W = 1/3. A4: Jemand beginnt eine Aufgabe zur multiplen Regression damit, dass zwei Prädiktoren die Korrelation.3 haben und der erste Prädiktor mit dem Kriterium eine Korrelation von.9 besitzt. Bestehen nun Einschränkungen für die Korrelation des Kriteriums mit dem zweiten Prädiktor? A5: Gegeben sei die Situation von Aufgabe 1. Zeigen Sie jetzt auch mit Hilfe der Vektorrepräsentation, dass die Angaben unsinnig sind.

29 Aufgabenblatt 12 S. 1 SS15 A1: Gegeben sind zwei Variable X und Y mit S X = 2, S Y = 1 und r XY =.5. Es wird die Linearkombination Z = 2X + 3Y + 4 gebildet. Bestimmen Sie S Z und r XZ. Repräsentieren Sie die Variablen nun durch Vektoren, bestimmen Sie S Z und r XZ graphisch und vergleichen Sie. A2: Die Kovarianzmatrix von drei Variablen X 1, X 2, Y sei Berechnen Sie zunächst die b- und β-gewichte bei einer Regression von Y auf X 1 und X 2 (die additiven Konstanten sind hier irrelevant). Bestimmen Sie auch die Gewichte bei einfachen Regressionen von Y auf die beiden Prädiktoren und vergleichen Sie die Varianzaufklärung (die Situation ist ähnlich wie die in Aufgabe 3 in Aufgabenblatt 10). Veranschaulichen Sie sich die Lage durch eine Vektorrepräsentation; repräsentieren Sie dazu die beiden Prädiktoren durch Vektoren und tragen Sie in die Zeichnung die Repräsentation von Ŷ ein, wo Ŷ die Vorhersage mit Hilfe beider Prädiktoren ist. Wie liest man die Regressionsgewichte für die einfachen Regressionen in der Zeichnung ab (das veranschaulicht die Änderung der Gewichte beim Hinzufügen des zweiten Prädiktors)? Woran ist in der Zeichnung zu erkennen, dass die Korrelation von X 2 mit dem Kriterium 0 ist? Inwiefern veranschaulicht die Zeichnung den großen Sprung in der Varianzaufklärung bei Hinzunahme des zweiten Prädiktors? (Bemerkungen: 1. In Aufgabe 3 in Aufgabenblatt 10 ist die analoge Zeichnung nicht so gut herstellbar. 2. Man könnte unsicher sein, ob die angegebene Matrix tatsächlich eine Kovarianzmatrix ist; zum Nachweis fehlen uns praktikable Hilfsmittel). A3: Veranschaulichen Sie sich die Ergebnisse von Aufgabe 2 in Aufgabenblatt 11 grob mit Hilfe der Vektorrepräsentation.

30 Aufgabenblatt 13 S. 1 WS15/16 A1: Seien X 1,..., X n unabhängige Versionen einer Zva X, n E(X) = µ, V (X) = 5. Sei X = 1 X n i. Wie groß muß n sein, damit P ( X µ 0, 1) 1%? i=1 A2: Gegeben sei eine Menge von Studenten Ω 0 = {a, b, c, d, e} (Laplaceraum). Die Zufallsvariable X ordnet jedem Studenten aus Ω 0 seinen Testwert für Aggression zu: ω X(ω) a 2 b 2 c 6 d 8 e 12 In einem Experiment werden nun zwei Personen ohne Zurücklegen gezogen. Dieses Experiment wird beschrieben durch den Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {(ω 1, ω 2 ) ω i Ω 0, ω 1 ω 2 } (Laplaceraum). Auf Ω seien folgende Zufallsvariablen ( Statistiken ) definiert: X 1 : Aggressionswert der ersten gezogenen Person X 2 : Aggressionswert der zweiten gezogenen Person M: Mittelwert der beiden Personen (M = X 1+X 2 2 ) S 2 : Varianz der Werte der beiden Personen (S 2 = X2 1 +X2 2 2 M 2 ) S: Streuung der Werte der beiden gezogenen Personen a) Geben Sie die Verteilung (durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion), den Erwartungswert, die Varianz und die Streuung von X an! b) Ermitteln Sie die gemeinsame Verteilung von X 1 und X 2. Sind X 1 und X 2 unabhängig? c) Bestimmen Sie die Korrelation zwischen X 1 und X 2! d) Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Streuung von X 1, X 2, M, S 2, S! e) Vergleichen Sie die Erwartungswerte von X, X 1, X 2 und M! f) Vergleichen Sie den Erwartungswert von S 2 mit der Varianz von X! g) Vergleichen Sie den Erwartungswert von S mit E(S 2 ), d.h. gilt E( S 2 ) = E(S 2 )?

31 Aufgabenblatt 13 S. 2 WS15/16 A3: Seien X 1,..., X n unabhängige Versionen einer Zva X, E(X) = µ, n V (X) = σ 2. Sei X = 1 X n i. i=1 a) Es sei σ = 5. Wie groß muß n mindestens gewählt werden, damit das 95%-Vertrauensintervall (nach Tschebyscheff) eine Länge von höchstens 1 2 besitzt? b) Es sei σ = 10, n = 8. Wie groß ist das 90%-Vetrauensintervall? c) Es sei σ = 10. Wie groß muß n mindestens gewählt werden, damit das 90%-Vertrauensintervall eine Länge von höchstens 4 besitzt? A4: Wie hängt die Länge des Vertrauensintervalls (nach Tschebyscheff) von σ, α und n ab? A5: Von einer Zufallsvariable ist bekannt, daß sie die Varianz 27 besitzt. a) Bei dreimaliger unabhängiger Realisierung ergibt sich ein Mittelwert von 12. Wie sieht das 80%-Vertrauensintervall für µ nach Tschebyscheff aus? b) Erläutern Sie einem Laien kurz, was dies bedeutet! c) Das 99%-Vertrauensintervall nach Tschebyscheff soll nun eine Gesamtbreite von höchstens 1/2 besitzen. Wie groß muß die Stichprobe dann mindestens sein? d) Jetzt soll das Experiment aus a) 15 mal unabhängig durchgeführt werden. Die Anzahl der Fälle, in denen das entsprechende Vertrauensintervall µ enthält, sei mit Y bezeichnet. Wie groß ist der Erwartungswert von Y mindestens? (Zusatzfrage ohne Wertung: Warum steht hier das Wort mindestens?) A6: Folgende Zva X sei gegeben: X P (X = x) 0 1/2 4 1/4 12 1/4 X 1,...X n seien unabhängige Versionen von X und X = 1 n n X i. a) Ermitteln Sie die Stichprobenverteilungen von X für n = 1, n = 2, n = 4! Die Rechnungen für n = 4 können Sie sich erleichtern, wenn Sie berücksichtigen, daß der Mittelwert von vier Realisierungen gleich i=1

32 Aufgabenblatt 13 S. 3 WS15/16 dem Mittelwert der Mittelwerte der ersten beiden und der letzten beiden Ziehungen ist, die unabhängig sind, und deren Verteilung Sie schon für n = 2 ermittelt haben. b) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktionen von X sowie die Verteilungsfunktionen der z-transformierten von X für n = 1, 2, 4 alle im gleichen Maßstab und vergleichen Sie jeweils! A7: Eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ X = 6 weist die folgende Verteilung der Stichprobenvarianzen bei zweimaliger unabhängiger Realisierung von X auf: S 2 : p : a) Wie groß sind Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung der Stichprobenvarianzen? b) Wie sieht die Verteilung der korrigierten Stichprobenstreuung s aus? c) Wie groß ist der Erwartungswert der Verteilung von s? Stimmt er mit der Streuung von X überein? d) Wie sieht die Verteilung von X aus? A8: Ein Pandämonium-Modell für eine Signalentdeckungsaufgabe könnte folgendermaßen aussehen: Die einströmenden Sinnesdaten werden von zwei Dämonen überwacht, die beide die Aufgabe haben, auf einen bestimmten Reiz zu reagieren. Wenn einer der beiden den Reiz bemerkt, fängt er an zu schreien und veranlaßt dadurch den Ober-Dämon, den Befehl Taste drücken an den Bewegungskoordinationsdämon weiterzuleiten. Die beiden Dämonen sind unterschiedlich sensibel: Der eine reagiert mit Wahrscheinlichkeit 0.6 auf den Reiz, der andere nur mit Wahrscheinlichkeit 0.5. Wie wahrscheinlich ist ein Tastendruck als Reaktion auf einen Reiz, wenn man annimmt, daß die beiden völlig unabhängig voneinander reagieren? Wie wahrscheinlich ist es, daß die Versuchsperson, in deren Kopf sich dies abspielt, bei 10 Reizdarbietungen 7 mal die Taste drückt? Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn der Ober-Dämon etwas taub ist, und das Gebrüll nur eines Wächter-Dämons lediglich mit Wahrscheinlichkeit 0.8 bemerkt, jedoch immer aufschreckt, wenn beide zugleich loskreischen? A9: Drachentöter Siegfried hat infolge einer durch einen Jagdunfall erlittenen Rückenverletzung etwas an Kampfkraft eingebüßt und erlegt einen Drachen

33 Aufgabenblatt 13 S. 4 WS15/16 jetzt nur noch mit einer Basiswahrscheinlichkeit von 1/3. In den anderen Fällen muß er leider die Flucht ergreifen. a) Wie wahrscheinlich ist es, daß er von den nächsten 6 Drachen genau die Hälfte erfolgreich bekämpft? b) Wie wahrscheinlich ist es, daß er in genau vier von den sechs Fällen das Weite suchen muß? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens zwei Drachen erlegen? d) Der Wunderheiler Anabol Steroid verschreibt Siegfried ein neues Medikament, nach dessen Einnahme seine Kampfkraft wieder zunimmt. So ist nun z.b. die Wahrscheinlichkeit, daß er mindestens einen der nächsten vier Drachen erlegen wird, gleich Wie groß ist die neue Basiswahrscheinlichkeit pro Drache?