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1 Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann April 2009 Risiko und Versicherung 1

2 Das Grundmodell der Entscheidungstheorie Komponenten Aktionsraum (A: die Menge aller zur Verfügung stehenden Handlungsalternativen (a i Zustandsraum (S: die Menge aller vom Entscheidungsträger für möglich gehaltenen und für die Entscheidung relevanten Umweltzustände (s j Ergebnisraum (E: die Menge aller für möglich erachteten Ergebnisse (e ij Ergebnisfunktion f ordnet jedem Paar (a i, s j mit a i A, s j S ein Ergebnis e ij Ezu (vollständige, transitive Präferenzrelation 28. April 2009 Risiko und Versicherung 2

3 Das Grundmodell der Entscheidungstheorie S s 1 s 2... s j... s n a 1 e 11 e e 1j... e 1n a 2 e 21 e e 2j... e 2n A a i e i1 e i2... e ij... e in a m e m1 e m2... e mj... e mn E 28. April 2009 Risiko und Versicherung 3

4 Einige Aussagen über Wahrscheinlichkeiten Eine Wahrscheinlichkeit (meist p ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Schließen sich die einzelnen Ereignisse gegenseitig aus (es kann entweder Ereignis 1 oder Ereignis 2 oder... eintreten, so ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle möglichen Ereignisse immer =1. Schließen sich die einzelnen Ereignisse gegenseitig aus, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für ein kombiniertes Ereignis aus der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Additionssatz. Beispiel Würfeln: 28. April 2009 Risiko und Versicherung 4

5 Einige Aussagen über Wahrscheinlichkeiten Bei unabhängiger Wiederholung eines Zufallsexperiments ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis der Form erste Durchführung des Experiments führt zu Ergebnis 1, zweite Durchführung führt zu Ergebnis 2 durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten. Beispiel Würfeln: P( 1.Wurf=1 und 2.Wurf=2 =? 28. April 2009 Risiko und Versicherung 5

6 Definition Wahrscheinlichkeits-Maß (Axiome Eine Funktion P, die jedem Ereignis Z S eine reelle Zahl zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeits- Maß, und P(Z heißt Wahrscheinlichkeit von Z, wenn gilt: 0 P( Z 1 1. für jedes Z S 2. P( S 1 3. Für abzählbar viele Ereignisse Z 1, Z 2,... mit gilt: Z i Z j = i j P( i1 Z i i1 P(Z i 28. April 2009 Risiko und Versicherung 6

7 Rechenregeln und grundlegende Definitionen Es gilt: P( = 0, P(S =1 P(Z+ P(Z c =1 mit Z c = S \ Z (Komplement von Z P(Z1 Z2 =P(Z1 + P(Z2 - P(Z1 Z2 Zwei Ereignisse Z 1 und Z 2 heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt: P(Z1 Z2 = P(Z1 P(Z2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Z1 Z2 wird definiert als: P(Z 1 Z 2 : P(Z 1 P(Z 2 Z April 2009 Risiko und Versicherung 7

8 Rechenregeln und grundlegende Definitionen Für stochastisch unabhängige Ereignisse Z 1 und Z 2 gilt: P(Z1 Z2 P(Z1 P(Z2 P(Z1 Z2 : P(Z1 P(Z P(Z 2 2 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Z i mit i = 1, 2,... seien abzählbar viele paarweise disjunkte Ereignisse. Für ein Ereignis A i1 Z i gilt: P(A i 1 P(Z i P(A Z i 28. April 2009 Risiko und Versicherung 8

9 Entscheidungsproblem des Versicherungsnehmers a 1 s 1 s 2 p(s 1 p(s 2... p(s j... w 1 w 2... w j... a 2 w w... w x 2 s j j x j w s n p(s n n w n x n s 1,s 2,... s n = Umweltzustände (s 1 = ungestörte Situation a 1 = Handlungsmöglichkeit nicht versichern a 2 = Handlungsmöglichkeit Versicherungsvertrag mit der Prämie und den Versicherungsleistungen x 2,... x n abschließen. w 1,w 2,... w n = Endvermögen des Versicherungsnehmers in Abhängigkeit von möglichen Realisationen des zu versichernden Risikos = Preis für Versicherungsschutz (Prämie x 2,x 3,... x n = Schadenzahlungen des Versicherers 28. April 2009 Risiko und Versicherung 9

10 Entscheidungsproblem des Versicherers a 1 a 2 s 2 p*(s 2... p*(s j k x... s 1 p*(s 1 k k x 2 s j j s n p*(s n 0 k xn p*(s j = a 1 = a 2 = k = (subjektive Wahrscheinlichkeitseinschätzung des Versicherers für den Eintritt des Umweltzustandes j Handlungsmöglichkeit nicht versichern Handlungsmöglichkeit versichern Betriebskosten, die für den Versicherungsvertrag anfallen 28. April 2009 Risiko und Versicherung 10

11 Beispiel Simulation : Aus einer Urne, die 10 Kugeln enthält (1 davon rot, die restlichen schwarz, wird dreimal jeweils eine Kugel gezogen, die anschließend wieder zurückgelegt wird. Die Ziehung einer roten Kugel bedeutet jeweils einen Schaden in Höhe von ,-. Wie sieht die (Gesamt- Schadenverteilung (x i, p i aus? Schadenzahl verteilung: Schadenverteilung : z i p i x i p i Angemessene Prämie/Mindestprämie? 28. April 2009 Risiko und Versicherung 11

12 Stichworte zum Bernoulli-Prinzip Bernoulli-Prinzip: Ein Entscheidungsträger besitzt eine auf dem Ergebnisraum definierte beschränkte, streng monoton wachsende, reellwertige Nutzenfunktion u (Bernoulli-Nutzenfunktion. Der Präferenzwert einer jeden Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Ergebnisraum errechnet sich als Erwartungswert der mit ihrem Nutzen bewerteten Ergebnisse (Erwartungsnutzen. 28. April 2009 Risiko und Versicherung 12

13 Das Sicherheitsäquivalent und die Risikoprämie Das Sicherheitsäquivalent (S(X einer zufälligen Größe ist dasjenige sichere Einkommen, das der Zufallsgröße als gleichwertig erachtet wird. U(S(X = EU(X u( := Nutzenfunktion S(X := Sicherheitsäquivalent EU(... := Erwartungsnutzen X := Lotterie Die Risikoprämie für eine Lotterie, ist das erwartete Einkommen, das ein Individuum aufzugeben bereit ist, um statt der Lotterie die sichere Auszahlung des Erwartungswertes der Lotterie zu erhalten: r X EX SX 28. April 2009 Risiko und Versicherung 13

14 Sicherheitsäquivalent (S(X Nutzen u(x u(x U[E(X] EU(X r(x W1 S(X E[X] W2 Vermögen W 28. April 2009 Risiko und Versicherung 14

15 Einsatz Der Einsatz für eine zufällige Größe ist dasjenige sichere Einkommen, für das ein Entscheidungsträger ein Risiko gerade noch übernehmen würde. U(w = E(U(w-E+ u( := Nutzenfunktion w := Anfangsvermögen E(... := Erwartungswert E := Einsatz := Risiko (Ergebnis der Lotterie Das Sicherheitsäquivalent entspricht im Allgemeinen nicht dem Einsatz. 28. April 2009 Risiko und Versicherung 15

16 Sicherheitsäquivalent Einfache Lotterie (25.000; 0,75; U(w U(w U[E(w+] E[U(w+] U(w U(w S(X r(x E[w+] E[] w w S(X+w E[w+] w w 28. April 2009 Risiko und Versicherung 16

17 Risikoaversion versus Risikoneutralität Ein Entscheidungsträger verhält sich risikoavers (risikoscheu, wenn er stets eine sichere Zahlung einer zufälligen Zahlung mit identischem Erwartungswert vorzieht. Risikoaversion kann als das zentrale Motiv für die Nachfrage nach Versicherungsschutz angesehen werden und ist deshalb in der Versicherungsökonomie von besonderer Bedeutung. Ein Entscheidungsträger heißt risikoneutral, wenn er stets eine zufällige Zahlung genauso beurteilt wie eine sichere Zahlung in Höhe des Erwartungswertes. 28. April 2009 Risiko und Versicherung 17

18 Risikoprospekt im μ-σ-diagramm April 2009 Risiko und Versicherung 18

19 Risikoprospekt im μ-σ-diagramm σ (µ 1, 1 σ 1 Indifferenzkurve VN1 S(X 1 μ1 =E [ 1 ] μ 28. April 2009 Risiko und Versicherung 19

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