16 Risiko und Versicherungsmärkte

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Caroline Christa Glöckner
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1 16 Risiko und Versicherungsmärkte Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen, die mehrere mögliche Auswirkungen haben. Kauf eines Lotterieloses Kauf einer Aktie Mitnahme eines Regenschirms Abschluss einer Versicherung Versicherung Ein Haushalt besitzt ein Vermögen in Höhe von m [ ]. Er erleidet möglicherweise einen Schaden in Höhe von d [ ]. Er kann eine Versicherung abschließen, die ihm im Schadensfall K [ ] ersetzt. Dies kostet pro des zu ersetzenden Schadens eine Prämie in Höhe von γ [ pro Versicherungssumme]. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 1

in Höhe von m [ ]. Er erleidet möglicherweise einen Schaden in Höhe von d [ ].

2 Bedingter Konsum Die beiden möglichen Ereignisse Schaden und Kein Schaden beschreiben zwei Naturzustände. Konsum in den beiden Naturzuständen wird als zwei unterschiedliche Konsumgüter betrachtet. Dieser Konsum ist bedingt darauf, dass der jeweilige Naturzustand eintritt. m 1 = m - d Ausstattung im Naturzustand Schaden m 2 = m Ausstattung im Naturzustand kein Schaden c 1 Konsum im Naturzustand Schaden c 2 Konsum im guten Naturzustand kein Schaden Die Versicherung erlaubt einen Kaufkrafttransfer zwischen beiden Naturzuständen: c c 1 2 = m = m 1 γk + K γk 2 Elimination von K aus diesen Gleichungen liefert die Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 2

m 1 = m - d Ausstattung im Naturzustand Schaden m 2 = m Ausstattung im Naturzustand kein Schaden c 1 Konsum im Naturzustand Schaden c 2 Konsum im guten Naturzustand

3 Budgetgleichung γc ( 1 γ c2 = γm1 + ( γ m Vgl. Budgetgleichung mit m 1, m 2 Anfangsausstattung (Kap. 10: p + 1 c1 + p2c2 = p1m1 p2m2 als Beide Formulierungen sind äquivalent, wenn p 1 = γ ; p 2 = 1-γ. c 2 m 2 Ausstattung Prämie c 2 = m 2 -γk Konsum bei Versicherungssumme K Steigung = γ /(1 γ m 1 c 1 = m 1 -γk+k c 1 Versicherungsleistung - Prämie Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 3

10: p + 1 c1 + p2c2 = p1m1 p2m2 als Beide Formulierungen sind äquivalent, wenn p 1 = γ ; p 2 = 1-γ.

4 p 1 / p 2 = γ / (1-γ ist das Tauschverhältnis zwischen Konsum in beiden Naturzuständen. Für eine zusätzliche Einheit Konsum im Schadensfall muß man im Naturzustand ohne Schaden auf γ / (1-γ Einheiten Konsum verzichten. Präferenzen Die Wünsche des Haushalts über bedingten Konsum lassen sich ebenso wie beim Konsum anderer Güter allgemein durch eine Präferenzrelation oder eine Nutzenfunktion darstellen, die durch Indifferenzkurven im c 1 c 2 Diagramm illustriert wird. Es ist plausibel, dass die Bewertung des Konsums in verschiedenen Naturzuständen davon abhängt, für wie wahrscheinlich der Haushalt die Naturzustände hält. π 1 Wahrscheinlichkeit des Naturzustands 1 π 2 Wahrscheinlichkeit des Naturzustands 2 Bei nur zwei Naturzuständen gilt π 1 + π 2 =1. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 4

Präferenzen Die Wünsche des Haushalts über bedingten Konsum lassen sich ebenso wie beim Konsum anderer Güter allgemein durch eine Präferenzrelation oder eine Nutzenfunktion darstellen, die durch

5 Dann hängt der Nutzen nicht nur von den in den beiden Naturzuständen konsumierten Mengen ab, sondern auch von den Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Naturzustände eintreten: U (c 1, c 2, π 1, π 2 Eine häufig verwendete spezielle Form von Präferenzen ist gegeben durch die Erwartungsnutzenhypothese Es gibt eine Funktion u (c so dass die Präferenzen des Haushalts über bedingten Konsum c 1 und c 2 durch den erwarteten Nutzen dargestellt werden, d.h. U (c 1, c 2, π 1, π 2 = π 1 u(c 1 + π 2 u(c 2 Die Funktion u (c drückt die Bewertung sicheren Konsums aus. Sie heißt von-neumann- Morgenstern-Nutzenfunktion. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 5

dass die Präferenzen des Haushalts über bedingten Konsum c 1 und c 2 durch den erwarteten Nutzen dargestellt werden, d.h. U (c 1, c 2, π 1, π 2 = π 1 u(c 1 + π 2 u(c 2 Die Funktion u (c drückt die Bewertung sicheren Konsums aus.

6 Positiv affine Transformation v(u = au + b mit a > 0 Die Funktion v drückt dieselben Präferenzen aus wie die Funktion u und genügt ebenfalls der Erwartungsnutzenhypothese. Diskussion der Erwartungsnutzenhypothese Die Grenzrate der Substitution zwischen dem Konsum zweier Naturzustände hängt nicht vom Konsum in einem dritten Naturzustand ab. Beispiel: U (c 1, c 2, c 3, π 1, π 2, π 3 = π 1 u (c 1 + π 2 u ( c 2 + π 3 u ( c 3 U / c1 π1u'( c1 MRS2,1 = = U / c π u'( c hängt nicht von c 3 ab Motivation: Die Naturzustände 3 und 2 schließen sich gegenseitig aus. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 6

Diskussion der Erwartungsnutzenhypothese Die Grenzrate der Substitution zwischen dem Konsum zweier Naturzustände hängt nicht vom Konsum in einem dritten

7 Was geschieht, wenn der Haushalt gar keine Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann? Die Entscheidung wird so getroffen, als seien alle Naturzustände gleich wahrscheinlich. Prinzip des unzureichenden Grundes Risikoaversion Sicherer Konsum wird höher geschätzt als unsicherer Konsum mit demselben Erwartungswert: Beispiel: u(π 1 c 1 + π 2 c 2 > π 1 u(c 1 + π 2 u( c 2 π 1 = π 2 = ½ c 1 = 500, c 2 = 1500 π 1 c 1 + π 2 c 2 = 1000 Ein risikoaverser Haushalt hat lieber 1000 sicher als 500 und 1500 mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 50%. Die von-neumann-morgenstern-nutzenfunktion ist streng konkav, u < 0. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 7

Prinzip des unzureichenden Grundes Risikoaversion Sicherer Konsum wird höher geschätzt als unsicherer Konsum mit demselben Erwartungswert: Beispiel: u(π 1 c 1 + π

8 Nutzen u(c 2 u(π 1 c 1 +π 2 c 2 π 1 u(c 1 +π 2 u(c 2 Risikoaversion: u < 0 u(c u(c 1 c 1 π 1 c 1 +π 2 c 2 c 2 Konsum Nutzen Risikofreude: u > 0 u(c u(c 2 π 1 u(c 1 +π 2 u(c 2 u(π 1 c 1 +π 2 c 2 u(c 1 c 1 π 1 c 1 +π 2 c 2 c 2 Konsum (ohne Grafik: Risikoneutralität: u = 0 Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 8

u(c 1 +π 2 u(c 2 u(π 1 c 1 +π 2 c 2 u(c 1 c 1 π 1 c 1 +π 2 c 2 c 2 Konsum (ohne

9 Der Versicherungsmarkt Vgl. S. 1-3 dieses Kapitels Die Wahrscheinlichkeit des Schadens sei π. Der Haushalt sei risikoavers und habe die von- Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion u. Die nachgefragte Versicherungssumme wird bestimmt durch den Optimierungsansatz max πu c 1 c, c 1 2 u.d.b. ( + ( π u( c 1 2 ( 1 ( 1 γc + γ c = γm + γ m Lösung: MRS = Preisverhältnis, also πu' ( c1 γ = ( 1 π u' ( c ( 1 γ 2 Versicherungsunternehmen Erwarteter Gewinn = γk - πk - (1-π 0 = (γ -π K Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 9

Die nachgefragte Versicherungssumme wird be

10 Wenn das Versicherungsunternehmen Nullgewinne macht, folgt γ = π Die Versicherungsprämie ist fair. Einsetzen in die Optimalitätsbedingung des Haushalts liefert πu' ( c1 π = ( 1 π u' ( c2 ( 1 π u' ( c = u' ( c 1 2 Da u < 0 gilt, folgt für den optimalen Konsumplan bzw. c 1 = c 2 K = d Ein risikoaverser Haushalt versichert sich vollständig, wenn ihm eine faire Versicherung angeboten wird. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 10

1 2 Da u < 0 gilt, folgt für den optimalen Konsumplan bzw.

11 Risikoteilung Versicherungsverein auf Gegenseitigkeit: Mehrere Individuen, die ähnlichen Risiken ausgesetzt sind, verpflichten sich vertraglich, gemeinsam für die bei allen Vertragspartnern auftretenden Schäden aufzukommen. Beispiel: 2 Teilnehmer π = 10% d = Die Schadensfälle bei beiden Teilnehmern sind unabhängige Ereignisse. Verteilung der Schäden Mit Wahrscheinlichkeit 1% (= 10% 10% tritt bei beiden ein Schaden auf, jeder trägt dann Mit Wahrscheinlichkeit 81% (= 90% 90% tritt bei keinem ein Schaden auf. Mit Wahrscheinlichkeit 18% (= 2 10% 90% tritt bei einem ein Schaden auf, jeder trägt dann Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 11

Verteilung der Schäden Mit Wahrscheinlichkeit 1% (= 10% 10% tritt bei beiden ein Schaden auf, jeder trägt dann 10 000.

12 Der erwartete Schaden ist nach wie vor 1% von % von = Das Risiko, z.b. gemessen an der Varianz der Schadensverteilung, ist geringer. Wenn die Zahl der Vertragspartner groß ist und die Schadensfälle bei den einzelnen Vertragspartnern voneinander unabhängige Ereignisse sind, dann wird fast sicher der durchschnittliche Schaden eintreten. Deshalb kann ein Versicherungsverein eine faire Versicherung anbieten, auch wenn seine Mitglieder risikoavers sind. Grenzen der Risikoteilung Größe des Marktes Korrelierte Schäden (z.b. Naturkatastrophen Abhilfe: Rückversicherungen versichern Versicherungen. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 12

durchschnittliche Schaden eintreten. Deshalb kann ein Versicherungsverein eine faire Versicherung anbieten, auch wenn seine Mitglieder risikoavers sind.

13 Zusammenfassung Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen mit mehreren möglichen Konsequenzen. Konsum in verschiedenen Naturzuständen kann als Konsum verschiedener Güter angesehen werden. Ein Versicherungsvertrag erlaubt den Tausch zwischen Konsum in verschiedenen Naturzuständen. Präferenzen für bedingten Konsum erfüllen die Erwartungsnutzenhypothese, wenn der Nutzen durch den Erwartungswert des Nutzens des Konsums in den möglichen Naturzuständen gegeben ist. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 13

Ein Versicherungsvertrag erlaubt den Tausch zwischen Konsum in verschiedenen Naturzuständen.

14 Risikoaverse Risikoneutrale Konsumenten haben eine Risikofreudige Streng konkave lineare streng konvexe von-neumann-morgenstern- Nutzenfunktion. Durch gegenseitige Übernahme des Schadens können Individuen ihr Risiko vermindern, wenn ihre Schäden unabhängig voneinander sind. Mikroökonomik II: 16 Risiko und Versicherungsmärkte 14

Durch gegenseitige Übernahme des Schadens können Individuen ihr Risiko vermindern,

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