Der vierseitige DNA-Würfel

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1 Der vierseitige DN-Würfel enomische Datenanalyse 2. Kaitel In der letzten Vorlesung haben wir mit statistischen Untersuchungen an der humanen enomsequenz die Islands entdeckt. Normale enomsequenz meidet die Basenfolge. Einzelne bschnitte des enoms tun dies aber gerade nicht: Die Islands. Weitere Untersuchungen an den -reichen Sequenzen konnten diese mit molekularen Eigenschaften von umoren in Verbindung bringen. Die molekularen Eigenschaften von umoren aufzuklären gehört zu den vornehmsten ufgaben eines Bioinformatikers! Bemerkenswert ist, daß diese Folge von Entdeckungen ihren logischen nfang in einer statistischen Untersuchung an der enomsequenz hat. Nur war diese Untersuchung so einfach, daß man wirklich keine Statistik lernen muß um sie durchzuführen. Wozu also eine ganze Vorlesung? Die ersten Beobachtungen waren mehr als deutlich. Was aber wenn die Eigenschaften der Sequenzen, die uns interessieren, subtiler werden? Wir hatten zunächst nur einzelne Buchstaben betrachtet. Da war der Unterschied zwischen Island und normalem enom nicht so klar. Unser Befund war, daß Islands Sequenzabschnitte mit einem hohem nteil an & sind.

2 Hier noch einmal der Barlot, der die relativen Häufigkeiten der s in 10 Islands mit denen in 10 Exons vergleicht. Islands haben in der Regel mehr s, aber nicht immer. Eine Sequenz mit mehr als 25% ist eher ein Island, aber nicht unbedingt. Die Daten geben uns einiges an Evidenz für eine Schlußfolgerung wie etwa: Islands: Viel Exons: Wenig Islands haben in der Regel mehr s, aber nicht immer. Es bleibt aber auch ein Rest an Ungewißheit. Dies ist genau die Situation in der zur Statistik gegriffen werden muß. Eine Sequenz mit mehr als 25% s ist eher ein Island, aber nicht unbedingt. Statistik bedeutet Schlußfolgerungen aus Beobachtungen ziehen, obwohl ein Rest an Ungewißheit übrig bleibt. ut man dies, muß man Evidenz und Ungewißheit quantifizieren. Dazu brauchen wir ein geeignetes Maß! Ein Maß für Ungewißheit: Wir können unsere Beobachtungen an -Islands auch mit anderen Worten beschreiben: Hat man ein Island und ein Exon, so ist es wahrscheinlich, daß das - Island mehr s enthält als das Exon. und Hat man eine der 20 Sequenzen und beobachtet darin mehr als 25% s, so ist es wahrscheinlicher, daß es sich um ein -Island handelt, als daß es ein Exon ist. In unserer Umgangssrache scheinen wir über ein Maß für Ungewißheit zu verfügen: Wahrscheinlichkeit Wir benutzen sie in Sätzen wie: Die Wahrscheinlichkeit, die Klausur zu bestehen. Die Wahrscheinlichkeit, im Lotto zu gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit, daß ich mich irre. Wahrscheinlichkeit In der Umgangssrache drücken wir Wahrscheinlichkeiten in der Regel als Prozentzahlen aus: Die Wahrscheinlichkeit, daß ich die Klausur bestehe, ist höchstens 50% Die Wahrscheinlichkeit, daß ich mich irre, ist höchstens 1% Wir benutzen den Begriff Wahrscheinlichkeit wie ein Maß. Wir quantifizieren sie mit Zahlen. Vergleichen wir das mit dem quantifizieren von Längen in Metern oder von Zeit in Sekunden: Wo liegt der Unterschied? Was ist die Einheit? Was entsricht dem Urmeter oder der Sekunde?

3 Wahrscheinlichkeit Vorschlag: Man unterteilt die Ungewißheit zwischen einem unmöglichen Ereignis (Wahrscheinlichkeit Null) und einem sicheren Ereignis (Wahrscheinlichkeit Eins) in gleich große eile ein. Problem: Wir haben noch keine klare Vorstellung davon, was es bedeutet auf dem halben Weg zwischen sicher und unmöglich zu liegen. Und da helfen... Zufallsexerimente Klassiker sind: Der Münzwurf Der Würfel (mit 6 Flächen) Die Urne mit bunten Kugeln Das Kartensiel Um den Kontext zur Bioinformatik zu halten, werden wir zwei andere Zufallsexerimente untersuchen 1. Den vierseitigen DN-Würfel (Bio-) 2. Den Zufallszahlengenerator unseres omuters (-informatik) Elementare Mengenlehre Nehmen wir einen dieser Würfel (etraeder würde die geometrische Form besser beschreiben) und werfen ihn einmal. Eine der vier Flächen wird unten liegen, diese trägt entweder ein,, oder. Dies ist die einfachste Form eines Zufallsexeriments. Den tatsächlichen usgang, also entweder,, oder nennt man Elementarereignis. Vor dem Exeriment weiß man zwar, welche Ergebnisse eintreten können, aber nicht welches tatsächlich eintreten wird. Das wird im Exeriment vom Zufall entschieden. Das Ergebnis kann zum Beisiel ein Pyrimidin (,) oder ein Purin (,) sein. Der usgang Purin ist ein Ereignis, das aus den beiden Elementarereignissen und zusammengesetzt ist. Wir können alle Ereignisse als Mengen von Elementarereignissen schreiben. Die atsache, daß allgemeine Ereignisse als Mengen von Elementarereignissen aufgefasst werden können führt dazu, daß wir elementare Begriffe der Mengenlehre auch für Ereignisse verwenden können: Beim den vierseitigen DN-Würfel sind die Elementarereignisse { },{ },{ },{ }... also Mengen mit nur jeweils einem Element. Komliziertere Ereignisse können als Mengen mit mehreren Elementen beschrieben werden: Purin{, }... srich oder. llgemein sind Ereignisse Mengen von Elementarereignissen. Man sagt das Ereignis tritt ein, wenn eines der Elementarereignisse, die es enthält, eingetreten ist.

4 Und Oder Es ist umgangssrachlich völlig klar, was es bedeutet, daß ein Ereignis und ein Ereignis B eingetreten sind... Oder, daß oder B eintreten werden... Oder, daß nicht eingetreten ist. Formal entsrechen dem elementare Mengenoerationen: Für zwei beliebige Ereignisse und B ist B das Ereignis, daß sowohl als auch B eintritt. In sind also alle Elementarereignisse, die sowohl in als auch B liegen... also im Schnitt der Mengen und B liegen. D B ist die Vereinigung beider Mengen. D ist also das Ereignis oder B. Sicher- Unmöglich Nicht Ω ist die Menge, die alle Elementarereignisse enthält... also {,,,}. Damit ist Ω das sichere Ereignis. Es tritt immer ein. ist die leere Menge, in der kein einziges Elementarereignis liegt. Damit ist das unmögliche Ereignis. Es tritt nie ein. Für zwei Mengen (Ereignisse) und B enthält \ B (srich ohne B) alle Elemente von, die nicht in B liegen. Für Ereignisse entsricht das aber nicht B. z.b. Purin \ {} {}. c Ω \ enthält alle Elementarereignisse außer denen in. c nennt man auch das Komlement von. Ihm entsricht das Ereignis, daß nicht eintritt. z.b. Purin c Pyrimidin. Folgerung usschluß ufzählung aller Möglichkeiten B Ω und B Enthält alle Elemente, die auch B enthält, dann ist B eine eilmenge von B, dann folgt aus B. Immer wenn B eingetreten ist, ist auch eingetreten. z.b. { } Purin Haben und B keine Elemente gemeinsam: B, dann schließen sich die Ereignisse aus. B Ω \ B Man sagt auch, sie sind disjunkt. Purine und Pyrimidine sind disjunkt. Eine Menge von disjunkten Ereignissen 1,..., n, deren Vereinigung i i Ω ist, heißt eine Partition von Ω. Sie ist eine vollständige ufzählung alternativer Ereignisse. z.b. ΩPurin Pyrimidin und Purin Pyrimidin. Ω c

5 Wie stellt man entweder oder B in Mengenschreibweise da? B ( B) \ ( B) Ω Werfen wir den DN-Würfel oft hintereinander, sagen wir 300 mal, so erzeugen wir zufällige DN-Sequenzen. uf den ersten Blick sehen sie aus wie richtige DN. ber wir haben im letzten Kaitel gelernt, daß richtige DN Struktur enthält, die in diesen zufälligen Sequenzen von,, und nicht zu erwarten ist. Jede mögliche Sequenz der Länge 300 ist nun ein Elementarereignis. Wie viele gibt es davon? e also viele. Man schreibt auch kürzer B und sricht von der symmetrischen Differenz von und B Jetzt können wir auch komliziertere und interessantere Ereignisse formulieren: : Die Sequenz enthält mehr als 100 s B: Die Sequenz enthält mehr -Paare als -Paare : Die Sequenz enthält mindestens ein Wort der Länge 5 zweimal D: Der längste bschnitt, den wir auch genau so im humanen enom finden, hat die Länge 6. Soviel zu Ereignissen und jetzt endlich zu Wahrscheinlichkeiten. Lalace-Model Beim DN-Würfel gibt es vier mögliche Elementarereignisse: und : Die Wahrscheinlichkeit für ein beträgt: ¼ und das gleiche gilt für die drei anderen usgänge. Das haben wir nicht berechnet, sondern einfach so festgelegt. ber die Festlegung scheint vernünftig. enauso vernünftig scheint es festzulegen, daß die Wahrscheinlichkeit, daß ein Purin gewürfelt wird, 1/2 beträgt; von den insgesamt 4 möglichen usgängen sind 2 Purine, also für das Ereignis vorteilhafte usgänge. Hieraus läßt sich ein auf Lalace zurückgehendes Konzet für Wahrscheinlichkeiten ableiten: Die rundidee ist: lle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich. Ist ein Ereignis, dann ist seine Wahrscheinlichkeit P() nzahl der günstigen usgänge / nzahl aller möglichen usgänge / Ω Wobei: die nzahl der Elemente in ist und Ω das sichere Ereignis ist. Pierre Simon Lalace

6 Lalace s Definition der Wahrscheinlichkeit P( ) Ω Mit dieser Definition ordnen wir jedem Ereignis eine Zahl zwischen Null und Eins zu. Konsequenzen aus der Lalace Definition: P[ Ω ] 1 P[ ] 0 P[ B] P [ ] + P [ B ] P [ B ] P [] + P [B] falls und B disjunkt sind. Für eine Partition 1,..., n gilt P [ i ] 1 P[ c ] 1- P [ ] Folgt aus bereits B ( B) dann ist P [ ] > P [ B ] Was ist mit P [ B ]? P [ B ] P[] + P [B] 2 P[ B] Was ist mit P [ B ]? Das ist noch völlig unklar! Beisiel Werfen wir den DN-Würfel viermal hintereinander. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nur Purine zu würfeln? Werfen wir den DN-Würfel n-mal, taagcctagtagccgat... dann ist die Wahrscheinlichkeit, nur Purine zu beobachten Es gibt verschiedene Elementarereignisse z.b. accg oder tatc,... ünstig sind Sequenzen (4-uel), die nur aus Purinen bestehen z.b. gaga oder aaag,... davon gibt es also ist die Wahrscheinlichkeit für nur Purine: 16 P ( nur Purine) n 2 P ( nur Purine) 2 n 4 n Die Wahrscheinlichkeit wird bei mehr als 8 Würfen schon sehr klein... und scheint otisch konstant zu werden das ist natürlich falsch, wie die Formel oben zeigt.

7 Exkurs: Logarithmische chsenskalierung Die folgende Sequenz der Länge 10 ist wirklich gewürfelt worden s1: cgcgagtcgg dagegen habe ich die nächste Sequenz selbst konstruiert und dabei nur Purine verwendet. s2: aaggaggaga Scheinbar konstanten Werten ist insbesondere bei der Visualisierung von Daten (dies sind keine) nicht zu trauen. Es emfiehlt sich immer, die Werte logarithmisch abzutragen uf der logarithmischen Skala werden Proortionen zu bständen. z.b. Logarithmus zur Basis 2: Liegt ein Wert auf der Log-Skala einen ick über dem anderen, so ist er zweimal so groß, egal ob es sich um kleine Zahlen oder große Zahlen handelt. Die erste Sequenz stammt tatsächlich von einem Zufallsexeriment und ist damit ein tyischer usgang für das Exeriment. Die zweite Sequenz stammt zwar nicht von dem Zufallsexeriment, stellt aber doch einen möglichen usgang des Exerimentes dar. Erstaunlicherweise sind beide usgänge Elementarereignisse und damit gleich (un-)wahrscheinlich. ndererseits ist doch klar, daß die erste Sequenz viel tyischer für das Exeriment ist, die zweite enthält nur Purine, ein Ereignis mit extrem kleiner Wahrscheinlichkeit bei einer Länge von 10. Das erscheint aradox. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Exeriment in Sequenz s1 endet, ist Das gleiche gilt für Sequenz s2. Dies sind aber Wahrscheinlichkeiten, die nur vor der Durchführung wirklich Sinn machen. Die 2-10 sind also eher als die Wahrscheinlichkeit zu interretieren, daß die nächste Wiederholung des Exeriments genau die gleiche Sequenz nocheinmal liefert. Und dies ist in der at genauso unwahrscheinlich, als daß Sequenz s2 gewürfelt wird In der Bioinformatik ist es sehr wichtig zu unterscheiden ob ein Sequenzmerkmal zufällig ist, oder Struktur wiedersiegelt. - lignment, Datenbanksuche, enexressionsanalyse, etc. Wir müssen in diesem Zusammenhang jetzt eine wichtige Feststellung treffen: Um zu untersuchen, ob eine Sequenz aus dem Zufallsexeriment stammen könnte (keine signifikante Struktur enthält), darf man nur gröbere sekte der Sequenz anschauen: Zum Beisiel - nzahl der Purine - Relative Häufigkeiten aller vier Basen - Länge des längsten Runs (aaaa, ggg, ccccccc) (lignment). Dies sind rößen, die für das Zufallsexeriment tyische Werte annehmen (z.b. 50% Purine), große bweichungen davon (z.b. nur Purine) sind untyisch für das Zufallsexeriment und daher ein Indiz, daß die Sequenz nicht zufällig ist.

8 Beisiel 2: Betrachten wir N zufällige Sequenzen der Länge n (alle gleich wahrscheinlich). Ereignis : Mindestens zwei darunter sind identisch? P [ ]? nzahl möglicher Sequenzen 4 n. nzahl möglicher Konstellationen für die N Sequenzen : Die erste Sequenz ist eine aus 4 n, die zweite ist eine aus 4 n, damit gibt es für das Paar der ersten beiden ( 4 n ) 2 Möglichkeiten,... Für c günstigen Konstellationen: Für die erste Sequenz sind das wieder 4 n... für die Zweite aber nur noch 4 n denn sie muß ja von der ersten verschieden sein, für die Dritte sind es dann noch 4 n -2 Möglichkeiten,... lso gibt es: c lle Sequenzen sind unterschiedlich: P [ ] 1 P [ c ] Für c günstige Fälle. (tyisches Manöver) lso P [ ] P [ ] 1 P [Â c ] z.b. n5 und N 2 P [ ] N 40 P [ ] 0.54 N 100 P [] 0.99 Für c günstige Konstellationen Mögliche Konstellationen Das Lalace-Model beruht auf der nnahme, daß alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Das ist aber nicht immer der Fall. Nehmen wir als Zufallsexeriment den usgang von Hertha Rostock nächste Saison: Die Elementarereignisse sind: 1. Sieg für Hertha 2. Unentschieden 3. Niederlage für Hertha 4. Siel findet nicht statt, da Rostock abgestiegen ist. Diese Elementarereignisse sind nicht gleich wahrscheinlich... oder?

9 Machen wir es wie die Mathematiker und definieren uns Wahrscheinlichkeiten wie es uns gerade aßt: Mathematiker achten auf Konsistenz in dem was sie tun. Das müssen wir auch. Daher verlangen wir als Mindestanforderungen an eine Wahrscheinlichkeit: Kolmogoroff xiome: Jedenfalls gilt jetzt automatisch wieder: P[ ] 0 P[ B] P [ ] + P [ B ] P [ B ] Für eine Partition 1,..., n gilt P [ i ] 1 P[ c ] 1- P [ ] Folgt aus bereits B ( B), dann ist P [ ] > P [ B ] P[ B ] P[] + P [B] 2 P[ B] 1. Sie ordnet Ereignissen Zahlen zwischen Null und Eins zu. 2. P [ Ω ] 1 (was sicher ist hat Wahrscheinlichkeit 1) 3. Sind und B disjunkte Ereignisse, dann ist P [ B ] P[ ] + P [ B ] Was ist mit P [ B ]? Das ist auch jetzt noch völlig unklar und bedarf weiterer Festlegung! Solange wir uns an diese Sielregeln (xiome) halten, können wir nach Belieben Wahrscheinlichkeiten festlegen..n. Kolmogoroff Zurück zu Sequenzen aus,, und : Ordnen wir den Elementarereignissen jetzt beliebige Wahrscheinlichkeiten zu: wegen P ( Ω ) muß ( +, 1 +, +, ) 1 gelten Dabei ist die Wahrscheinlichkeit für ein, für ein, etc... für (0.25,0.25,0.25,0.25) ist dies identisch mit dem Lalace-Modell Den Vektor (,,, ) nennen wir Wahrscheinlichkeitsvektor. Jetzt gibt es aber noch ein Problem: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeiten für Sequenzen, die ja auch nicht gleich wahrscheinlich sind, wenn es die einzelnen Basen nicht sind. Im Lalace-Modell (0.25,0.25,0.25,0.25) würde gelten: 1 P (" acat" ) 4 4 und so wollen wir es auch im allgemeinen Fall definieren. In der Srache der Wahrscheinlichkeitstheorie bedeutet dies, daß die Zufallsexerimente die zur ersten, zweiten,... Stelle der Sequenz führen, voneinander unabhängig sind... mehr dazu in einer säteren Vorlesung.

10 Definieren wir: dann ist 0.1, 0.6, 0.1, 0.2 P(" acat" ) 0.1* 0.6 * 0.1* und P(" tctc" ) 0.2 * 0.6 * 0.2 * Die zweite Sequenz ist also schon 12 mal wahrscheinlicher als die erste. Die Unterschiede der Wahrscheinlichkeiten einzelner Sequenzen können erheblich werden, besonders für lange Sequenzen. nders als beim Lalace-Modell kann man an den Wahrscheinlichkeiten einzelner Sequenzen erkennen, ob sie für das Zufallsexeriment tyisch sind oder nicht aber nur zum eil: Die Sequenzen accgtaccgatccgtcccc und aaaccccccccccgggttt haben beide 3, 11, 3 und 3 und deshalb die gleiche Wahrscheinlichkeit, trotzdem sieht die erste tyischer für ein Zufallsexeriment aus als die zweite. Besitzt die Sequenz P( S) P( n, n, n, n ) (S) n, n n n, n n n und n, dann gilt Um die Wahrscheinlichkeit der Sequenz S auszurechnen, muß man nicht die ganze Sequenz S kennen, sondern nur die Häufigkeit der Basen in S, also den Vektor ( n, n, n, n ) Dieser Vektor ist eine Statistik der Daten (der Sequenz). Da er völlig ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit der Daten auszurechnen, sricht man auch von einer suffizienten Statistik. Problem: Definiert man aber jetzt Im Fall des vierseitigen DN-Würfels gibt es ein reales Zufallsexeriment. Man könnte den Würfel tatsächlich bauen und werfen. ut man dies, oder stellt man es sich zumindest vor, so sind die nnahmen... - lle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich - Die Wahrscheinlichkeit für,, und sind jeweils ¼ - Die Würfe sind voneinander unabhängig... völlig einleuchtend. 0.1, 0.6, 0.1, 0.2 dann fehlt uns eben dieses Zufallsexeriment. Diese Würfel fallen anders Die Intuition für die Wahrscheinlichkeiten kommt aus dem Zufallsexeriment. Sie beziehen sich auch nur auf dieses Exeriment. Die ussagen oben sind keine mathematisch beweisbaren ussagen, sondern entsringen dem common sense (gesunden Menschenverstand). Die meisten Menschen haben keine Schwierigkeiten sie anzuerkennen. Wie müßte ein Zufallsexeriment aussehen, das obige Definition einleuchtend erscheinen läßt?

11 omutersimulationen Die meisten Programmiersrachen verfügen über Zufallszahlengeneratoren, die Sequenzen von zufälligen Zahlen zwischen Null und Eins erzeugen. Dies ergibt für jede beliebige Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten (,,, ) ein Zufallsexeriment. Den Begriff zufällige Zahlen muß man noch etwas genauer erörtern: Die Zahlen sind gleichverteilt zwischen Null und Eins. Ein omuter kann nur endlich viele Zahlen zwischen Null und Eins darstellen (wie viele, das hängt von der internen Zahlendarstellung ab). leichverteilt bedeutet nun, daß alle diese Zahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit gezogen werden. Nun teilen wir das Intervall [0,1] in vier eile auf und verfahren wie rechts gezeigt: Bis jetzt haben wir die Zufallsexerimente nur theoretisch behandelt und keine DN-Würfel geworfen. Das ist ein üblicher Mißstand beim Lernen von Statistik. omutersimulationen machen das Exerimentieren aber einfach, und es emfiehlt sich, es ausgiebig zu tun. Man entwickelt ein efühl für Wahrscheinlichkeiten. Exerimentieren wir mit: 0.1, 0.6, 0.1, 0.2 Länge 300 Länge 20 atgtcactcccctgaacccctagtg tcttccccctccttgccccccccca tacacctcgcctccctgttgccctc acacccctgccccacccctaccgac tcccccgtcatctccactccccccg cccacccacccgttcgtacccccct tccccccccggccccctttcgtccc ccttcctcccgccccgcggtcctac cgtctggtaccatccccccgtccta ccttccctctctgtctcaccacact cctcatcttccctacccccctatcg caacgcccctcccctctcctccacc ctgcgcccacgactctcgcc Die Sequenzen enthalten beide viele s, das war zu erwarten. atgtcactcccctgaacc cctagtgtcttccccctc cttgcccccccccataca cctcgcctccctgttgcc ctcacacccctgccccac ccctaccgactcccccgt catctccactccccccgc ccacccacccgttcgtac cccccttccccccccggc cccctttcgtcccccttc ctcccgccccgcggtcct accgtctggtaccatccc cccgtcctaccttccctc tctgtctcaccacactcc tcatcttccctacccccc tatcgcaacgcccctccc ctctcctccacc ctgcgcccacgactct cgcc a: c: g: t: a: 0.1 c: 0.55 g: 0.2 t: 0.15

12 atgtcactcccctgaacc cctagtgtcttccccctc cttgcccccccccataca cctcgcctccctgttgcc ctcacacccctgccccac ccctaccgactcccccgt catctccactccccccgc ccacccacccgttcgtac cccccttccccccccggc cccctttcgtcccccttc ctcccgccccgcggtcct accgtctggtaccatccc cccgtcctaccttccctc tctgtctcaccacactcc tcatcttccctacccccc tatcgcaacgcccctccc ctctcctccacc a: c: g: t: Der wahrscheinlichste usgang tritt deutlich am häufigsten auf. Der usgang des Exeriments ist nach wie vor zufällig, aber wenn man auf den usgang wetten müßte, würde man auf ein setzen. Simulieren wir nicht nur eine sondern 500 Sequenzen der Länge ctgcgcccacgactctcgcc ccctgtcctctcatccctca Berechnen jeweils die relativen Häufigkeiten der s in den 20 Positionen... und zählen dann noch, wie oft in den 500 Sequenzen die einzelnen relativen Häufigkeiten vorkommen, d.h wie viele Sequenzen haben genau 50% s, wie viele genau 55% usw., dann ergibt sich das folgende Bild: 0.1, 0.6, 0.1, 0.2 Ein solches Diagramm heißt Histogramm. Man teilt die gesamtem Daten (in diesem Fall 500 relative Häufigkeiten) in Intervalle (Bins) ein und zählt, wie viele Datenunkte in die einzelnen Bins fallen. Dann ist das Histogramm nur noch ein Barlot dieser Häufigkeiten. Das Histogramm visualisiert die Verteilung der Daten n diesem Histogramm sieht man, wie die relativen Häufigkeiten der s um die Wahrscheinlichkeit 0.6 streuen. Kleine bweichungen sind eher die Regel. Die meisten Sequenzen haben einen -nteil von 45-75%. rößere bweichungen sind dagegen selten, weniger als 30% s gab es in diesen 500 Zufallsexerimenten kein einziges Mal.

13 lle vier Basen in Überblick 0.1, 0.6, 0.1, 0.2 Z1 (Zufallsexeriment 1) 0.1, 0.6, 0.1, 0.2 a: 0.1 c: 0.55 g: 0.2 t: 0.15 Den beobachteten relativen Häufigkeiten kann man die ursrünglichen Wahrscheinlichkeiten im Zufallsexeriment aber nicht ganz ansehen Könnten die Daten nicht auch von einem der Zufallsexerimente Z2 oder Z3 stammen? Z2 Z3 0.1, 0.5, 0.2, , , 0.2 Vergleich der relativen Häufigkeiten z1 z2 z3 0.1, 0.6, 0.1, , 0.5, 0.2, , , 0. 2 Wir beobachten in ctgcgcccacgactctcgcc eine relative Häufigkeit von Jeweils 500 Zufallssequenzen generiert mit den Exerimenten z1,z2,z3 ergeben dieselbe Beobachtung von 55% 87 mal in z1 74 mal in z2, das ist 0.85 mal so oft wie in z1 1 mal in z3 das ist mal so oft wie in z1 oder mal so oft wie in z2 Diese 55% s sind also sehr häufige Beobachtungen, sowohl für z1 als auch z2, für z3 sind sie selten, kommen aber dennoch vor Wir haben in unserer ersten Sequenz, die aus einem z1 Exeriment stammt, eine relative Häufigkeit von 0.55 beobachtet Wüssten wir nicht, dass die Sequenz mit z1 generiert wurde, sondern müssten tien, von welchem der drei Zufallsexerimente sie stammt, würde man z3 als unwahrscheinlich wenn auch nicht unmöglich ansehen und z1 und z2 als in etwa gleich gute Kandidaten ansehen.

14 Wahrscheinlichkeit und Likelihood Für jede Sequenz S und jedes Wahrscheinlichkeitsmodell kann man mit der Formel (,,, ) P( S) P( n, n, n, n ) n n n n die Wahrscheinlichkeit der Sequenz in diesem Modell berechnen. 1. Hält man ein Modell fest, so kann man die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Sequenzen miteinander vergleichen. Sie sind dann Eigenschaften der Sequenzen. Wahrscheinlichkeit der Ereignisse 2. Hält man eine Sequenz fest und hat mehrere Modelle, so kann man die Wahrscheinlichkeit dieser einen Sequenz in allen Modellen ausrechnen. Sie sind jetzt Eigenschaften der Modelle. Likelihood des Models Was hat das alles mit der nalyse genomischer Daten zu tun? Engl: Probability vs. Likelihood Zurück zum Beisiel der Islands Normalerweise beobachtet man alle vier Basen in etwa gleich häufig im menschlichen enom, für einzelne Sequenzen kann die Basenzusammensetzung natürlich davon abweichen Frage: Stellt eine der beiden Beobachtungen aus der Sicht des Zufallsexeriments eine usnahme dar? In anderen Worten: ist sie signifikant nicht zufällig? Exon Island Dies ist in den beiden Barlots offensichtlich der Fall, im rechten mehr und im linken weniger. In einem Zufallsexeriment, in dem alle Basen gleich wahrscheinlich sind, wird man auch Schwankungen der Basenanteile feststellen. Kleine Schwankungen sind die Regel, größere eher die usnahme. Wir betrachten das Ereignis: Die Sequenz hat höchstens halb so viele und als und. Für das Island stimmt das. Und wie sieht es damit bei zufälligen Sequenzen aus? Mit Hilfe des Zufallsexeriments kann man jetzt eine quantitative ntwort geben: - indem man die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ausrechnet - oder durch Simulationen (Durchführen des Exeriments) die relative Häufigkeit bestimmt.

15 Wir können auch sowohl den -Islands und der normalen DN jeweils ein Zufallsexeriment zuordnen: 0.25, 0.25, 0.25, , 0.35, 0.35, Das als ob Prinzi Wir haben soeben etwas höchst unlogisch erscheinendes getan: Wir haben eine wirkliche Beobachtung (Sequenz) genommen und uns edanken darüber gemacht, ob man sie auch in dem einen oder anderen Zufallsexeriment hätte erzeugen können. Was soll das? Wir wissen doch ganz genau, daß weder das Exon noch das - Island gewürfelt wurden! In der Statistik tun wir aber gerade so, als ob dies der Fall wäre! Wozu das? Jetzt können wir von einer gegebenen realen Sequenz eine Likelihood ausrechnen, daß sie normale DN ist und eine Likelihood, daß sie ein -Island ist. Der Bruch (Likelihood Ratio) gibt uns an, wieviel mal wahrscheinlicher es ist, daß die Sequenz normale DN ist, als daß sie ein -Island ist. Um eine heorie zu entwickeln, aus der sich Schlußfolgerungen ziehen lassen (ist die Sequenz ein Island oder nicht), gleichzeitig aber auch die mit dieser Schlußfolgerung verbundenen Ungewißheiten quantifizieren lassen (Likelihood Ratio). Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für Ungewißheit: 1. Rauchen verursacht Krebs.? Morgen wird es regnen. P [ ] Was heißt das? 2. Morgen wird es regnen.? 3. Hertha BS wird nächstes Jahr Meister? 0 1 Eine Zufallszahl ( gleichverteilt zwischen 0 und 1) fällt in den roten Bereich. P[ ] bedeutet, daß genauso wahrscheinlich ist wie.

16 Zusammenfassung - Wahrscheinlichkeit - Zufallsexeriment (Wahrscheinlichkeitsmodell) -Ereignis - Elementarereignis - Lalace-Modell - Wahrscheinlichkeitsvektor - Likelihood - Signifikanz - Likelihood Ratio -Histogramm -Log-Plot