Rechnen mit einfachem Mengenkalkül

Transkript

1 edingte ahrscheinlichkeiten llgemeine Frage: Rechnen mit einfachem Mengenkalkül ie groß ist die ahrscheinlichkeit für ein Ereignis falls bereits ein Ereignis eingetreten ist (und der etrachter über diese Information verfügt)? eispiel: ie groß ist die ahrscheinlichkeit für eine gerade ahl beim ürfelwurf falls bereits eine ahl kleiner als 4 gewürfelt wurde? Ω ( ) / Ω / Ω ( ) ( ) 66

2 edingte ahrscheinlichkeit Seien und Ereignisse mit () > 0. Dann ist die bedingte ahrscheinlichkeit von unter definiert als Rechnen mit einfachem Mengenkalkül ( ) ( ) ( ) nalogie zu bedingten relativen Häufigkeiten efragung unter den Studenten der Veranstaltung Statistik I () Nichtraucher Raucher Insg. Männer Frauen 6 7 Insg ( ) 0 as ist für? X Y f n / n 5/6 f 5/ 0.74 f n / /6 n Interpretation? 67

3 Rechenregeln für bedingte ahrscheinlichkeiten Rechenregeln für gewöhnliche ahrscheinlichkeiten können auf bedingte ahrscheinlichkeiten übertragen werden. eispielsweise gilt für () > 0: und ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ). ( ) falls Es lässt sich theoretisch zeigen dass durch mit ( ) > 0 ein ahrscheinlichkeitsmaß definiert wird. Dieses ordnet den Ereignissen einer passend zu wählenden Ereignisalgebra (vgl. Seite 50) ahrscheinlichkeiten zu. roduktsatz Seien und Ereignisse mit () > 0. Dann gilt: ( ) ( ) ( ). Falls ( ) > 0 gilt ebenso ( ) ( ) ( ). 68

4 Multiplikationssatz Für gegebene Ereignisse... k mit ( K ) 0 k > gilt: ( K ) ( ) ( ) ( ) K ( K ). k k k eweis: folgt sukzessive aus dem roduktsatz eispiel: Die Entwicklungsabteilung eines roduzenten von Haushaltsgeräten ist in 90% der Fälle für die Markteinführung der von ihr entwickelten Geräte. Ein positives Votum der Entwicklungsabteilung führt mit einer ahrscheinlichkeit von 0.7 bei der Marketingabteilung ebenfalls zu einem positiven Votum. Sind beide bteilungen für die Markteinführung des neuen Gerätes so entscheidet die Geschäftsleitung dennoch mit einer ahrscheinlichkeit von 0. dagegen. Ist die Marketingabteilung gegen die Markteinführung die Entwicklungsabteilung aber dafür so stimmt die Geschäftsleitung nur mit einer ahrscheinlichkeit von 0.4 zu. 69

5 a) erechnen Sie die ahrscheinlichkeit dafür dass die Markteinführung eines neuen roduktes sowohl von der Geschäftsleitung als auch von der Entwicklungs- und der Marketingabteilung getragen wird. b) Mit welcher ahrscheinlichkeit entscheiden sich Geschäftsleitung und Entwicklungsabteilung für die Markteinführung eines neuen roduktes? Ereignisse hier: : : : Entwicklungsabteilung ist für die Markteinführung Marketingabteilung ist für die Markteinführung Geschäftsleitung ist für die Markteinführung Für welche Ereignisse sind ahrscheinlichkeiten gegeben? Für welche Ereignisse sollen ahrscheinlichkeiten berechnet werden? ( ) 0.9 ( ) 0.7 ( ) ( ). Gegeben: ( ) 0. ( ) 0.4. Gefragt: a) b) 70

6 Entwicklungsabteilung Marketingabteilung nalogie zu relativen Häufigkeiten? Geschäftsleitung

7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ie groß wären die betreffenden ahrscheinlichkeiten falls in jeder bteilung per Münzwurf die Entscheidung für oder gegen das rodukt getroffen würde? ie groß wäre dann die ahrscheinlichkeit für? 7

8 ann sind zwei Ereignisse unabhängig? 7

9 Unabhängigkeit von Ereignissen nsatz: ( ) ( ) Rechnen mit einfachem Mengenkalkül ahrscheinlichkeit für hängt nicht vom Eintreten des Ereignisses ab. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > 0 vorausgesetzt ( ) ( ) ( ) ( ) > 0 vorausgesetzt ( ) ( ) eachte: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) egen + und gilt mit ( ) ( ) ( ). ( ) ( ): 74

10 Unabhängigkeit von zwei Ereignissen wei Ereignisse und heißen stochastisch unabhängig wenn gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mit ( ) > 0 ( ) ( ) mit ( ) > 0. bzw. bzw. Für () 0 und/oder () 0 definieren wir und ebenfalls als stochastisch unabhängig. eispiel: weimaliger Münzwurf Ω {( ) ( ) ( ) ( ) } etrachte Ereignissse und mit: { beim ersten urf appen } und { beim zweiten urf appen }. 75

11 Laplace-Experiment Demnach: ( ) Ω {( ) ( )} {( ) ( )} ( ) 0.5 Ω ( ) Ω 4 {( )} ( ) ( ) ( ) und sind stochastisch unabhängig! Ergebnis hier nicht überraschend! In anderen Fällen mag dies anders aussehen. 76

12 nalogie zum usammenhang zwischen Merkmalen Nichtraucher Raucher Insg. Männer Frauen 6 7 Insg ann besteht kein usammenhang (empirische Unabhängigkeit)?! Von stochastischer Unabhängigkeit generell zu unterscheiden! ostulat der empirischen Unabhängigkeit (vgl. S. 4): f f ij f j für i... k und j... l i f ij f j fi für i... k und j... l rodukt der Randverteilungen ergibt gemeinsame Verteilung 77

13 Sind disjunkte Ereignisse unabhängig? 78

14 Übung: eispiel : Mehr als zwei Ereignisse In einer Urne befinden sich 8 Kugeln die durchnummeriert sind von bis 8 und sich ansonsten nicht unterscheiden. Eine Kugel wird zufällig gezogen. etrachten Sie die folgenden Ereignisse: : Es wird eine ahl kleiner als 5 gezogen : Es wird eine gerade ahl gezogen C: Es wird eine 6 7 oder 8 gezogen. eigen Sie dass die Ereignisse und und die Ereignisse und C jeweils unabhängig sind. Sind auch die Ereignisse und C unabhängig? elche allgemeine Schlussfolgerung können Sie ziehen? 79

15 eiteres eispiel : Mehrere Ereignisse ngenommen es läge in nalogie zum eispiel auf Seite 7 eine stochastische Entscheidungsstruktur gemäß des folgenden Diagramms vor /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Man möge nachvollziehen dass die Entscheidungen der einzelnen Entscheidungsstufen paarweise unabhängig sind und dennoch z.. nicht gilt: ( ) ( ) bzw. ( ) ( ) ( ) ( ). 80

16 Unabhängigkeit von mehreren Ereignissen Die Ereignisse... k heißen stochastisch unabhängig wenn gilt: ( K ) ( ) ( ) K ( ) i i il i i i l für alle möglichen i < i < K < i k und alle l. l Interpretation?! us der paarweisen Unabhängigkeit folgt i.. nicht die Unabhängigkeit der Ereignisse... k. Ebenso gilt keine Transitivitätseigenschaft. eispiel : Urnenmodell eim iehen mit urücklegen sind die Ergebnisse der einzelnen iehungen unabhängig. eim iehen ohne urücklegen sind die Ergebnisse der einzelnen iehungen abhängig. 8

17 ufgabe 4 In einer Filiale eines Mannheimer Kreditinstituts besitzen 80% der Kunden ein Girokonto und 50% der Kunden ein Sparkonto. lle Kunden der Filiale verfügen über mindestens eine der beiden nlageformen. Dann ist die ahrscheinlichkeit dass ein zufällig ausgewählter Kunde dieser ank R F sowohl ein Giro- als auch ein Sparkonto besitzt gleich 0. ein Sparkonto besitzt wenn bereits bekannt ist dass der Kunde ein Girokonto hat gleich ein Girokonto besitzt wenn bereits bekannt ist dass der Kunde ein Sparkonto hat gleich 0.4 höchstens eines von beiden Konten besitzt gleich

18 ufgabe 44 ei der Montage eines utos wird auf drei Fertigungsstraßen parallel und unabhängig voneinander gearbeitet. Statistische Untersuchungen ergaben für die drei Fertigungsstraßen folgende usfallwahrscheinlichkeiten je Schicht: Straße : 0.09 Straße : 0.6 Straße : 0.9. Die ahrscheinlichkeit dass während einer Schicht R F alle Fertigungsstraßen ausfallen ist gleich 0.44 keine der drei Fertigungsstraßen ausfällt ist größer als 0.6 auf wenigstens einer der drei Fertigungsstraßen ohne Störung produziert wird ist größer als

19 ufgabe 45 Gegeben seien drei Ereignisse und C mit jeweils positiver Eintrittswahrscheinlichkeit d.h. () > 0 () > 0 und (C) > 0. Dann gilt stets: R F ( ) ( ) ( ) ( C) falls ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) falls und ( ) ( C) ( C) ( C) ( C) + ( ) C falls C. falls 84

20 Satz von der totalen ahrscheinlichkeit und Satz von ayes eispiel: Satz von der totalen ahrscheinlichkeit 4 ( Disjunkte erlegung von Ω) Ω esonderheit hier: 4 Ω U i i wobei j i für. j i ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arum geht das? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21 Satz von der totalen ahrscheinlichkeit ilden die Ereignisse... k eine disjunkte erlegung von Ω so gilt: k ( ) ( ) ( ). i i i edeutung? eispiel: nalogie zu relativen bedingten Häufigkeiten Nichtraucher Raucher Insg. Männer Frauen 6 7 Insg ie müssten Fragestellungen im Rahmen von ahrscheinlichkeiten formuliert werden? nteil der Nichtraucher nteil der Nichtraucher unter Männern nteil der Männer + nteil der Nichtraucher unter Frauen nteil der Frauen Y X Y X f f In ahlen: f f f + f f f + f f + f f. f f 86

22 egen ( ) j Rechnen mit einfachem Mengenkalkül ( ) j gilt nun: ( ) j k i ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) i j i. Satz von ayes ilden die Ereignisse... k eine disjunkte erlegung von Ω wobei für mindestens ein i... k ( ) > 0 und ( ) > 0 i ( ) ( ) ( ) ( ) i erfüllt ist. Dann gilt: j j ( j ) k j... k. edeutung? i i i 87

23 . eispiel: Medizinische Diagnostik (aus Fahrmeir S. ) ur Erkennung von Krankheiten stehen in der Diagnostik medizinische Tests zur Verfügung die so angelegt sein sollen dass sie eine Erkrankung erkennen wenn sie tatsächlich vorliegt und nicht reagieren wenn der entsprechende atient nicht erkrankt ist. Nehmen wir nun an es geht um die Erkennung einer sehr seltenen Krankheit. Mit der ezeichnung { atient ist krank } { Testergebnis ist positiv } lassen sich aus der Erprobungsphase des Tests folgende ahrscheinlichkeiten als bekannt annehmen: ( ) 0.00 ( ) 0.98 ( ) 0.0. ( Sensitivität ) ( Spezifität ) Interpretation? 88

24 Frage: Mit welcher ahrscheinlichkeit ist ein atient tatsächlich erkrankt falls das Testergebnis positiv ausfällt? Formel von ayes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) edeutung?. eispiel: Geldanlage (aus Fahrmeir S. 4) In diesem eispiel interessieren die ahrscheinlichkeiten für bestimmte Tendenzen in der Kursentwicklung aufgrund dessen man über die nlage seines Kapitals entscheidet. Es seien drei Ereignisse möglich: {Der ins fällt um 0.5%} {Der ins bleibt unverändert} und {Der ins steigt um 0.5%}. 89

25 Nach eigenen subjektiven (!) Einschätzungen nehmen wir folgende ahrscheinlichkeiten für das Eintreten obiger Ereignisse an: ( ). ( ) 0. 6 und ( ) ls Ereignis ziehen wir die rognose eines nlageberaters {Der ins steigt um 0.5%} hinzu. ufgrund von Erfahrungswerten (!) sei zudem bekannt: ( ) 0.5 ( ) 0. 0 und ( ) Interpretation? Da sich ein potentieller nleger insbesondere für die ahrscheinlichkeit einer steigenden insentwicklung interessiert ist die verbesserte ahrscheinlichkeit für das Eintreten von also für einen insanstieg nach der eratung durch einen nlageberater eine wichtige Information. Mit welcher ahrscheinlichkeit tritt also nach positiver Einschätzung des eraters tatsächlich ein insanstieg ein? 90

26 Formel von ayes Rechnen mit einfachem Mengenkalkül ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i edeutung? roblematik vorhanden? emerkung: Im usammenhang mit dem Satz von ayes werden die ahrscheinlichkeiten ( i ) auch als a-priori ahrscheinlichkeiten und ( i ) als a-posteriori ahrscheinlichkeiten bezeichnet. Diese a-priori ahrscheinlichkeiten sind mit den objektiven a-priori ahrscheinlichkeiten (vgl. S. ) nicht gleichzusetzen. Diese ahrscheinlichkeiten basieren auf Vorinformation der Vergangenheit oder auf subjektiven Einschätzungen. Sie werden dazu verwendet ahrscheinlichkeiten nach Eintreten eines bestimmten Ereignisses neu ( besser ) zu bewerten. Eine konsequente Fortführung dieses nsatzes findet sich in der sogenannten ayes-statistik die heute einen eigenen weig der Statistik bildet. 9

27 ufgabe 46 Die evölkerung eines Landes sezte sich im esentlichen aus vier verschiedenen evölkerungsgruppen zusammen. Die überwiegende Mehrheit von 70% gehöre Gruppe an % Gruppe 5% Gruppe C und % Gruppe D. In einem Referendum soll über den eitritt des Landes zu einer größeren Staatengemeinschaft ( Ja oder Nein ) entschieden werden. Es sei durch Umfragen bekannt dass 80% von Gruppe gegen den eitritt sind. In Gruppe befürworten dagegen 60% den eitritt in Gruppe C 70% und in Gruppe D gar 90%. Die ahrscheinlichkeit dass R F ein zufällig ausgewählter Einwohner für den eitritt stimmt ist größer als 0. ein zufällig ausgewählter eitrittsbefürworter aus Gruppe stammt ist kleiner als

28 ufgabe 47 Um zu prüfen ob eine erson eine bestimmte Krankheit K hat (K + ) oder nicht (K - ) wird ein Test T durchgeführt der positiv (T + ) oder negativ (T - ) ausfallen kann (T + deutet auf eine Erkrankung hin) Die Terminologie lautet danach rävalenz (K + ) Spezifität (T - K - ) Sensitivität (T + K + ). In Deutschland ist die rävalenz von HIV in heterosexuellen Männern die keiner bekannten Risikogruppe angehören etwa 0.0%. Die Häufigkeit falsch-positiver HIV-Tests (T + K - ) beträgt etwa 0.0%. Die Sensitivität des HIV-Tests beträgt etwa 99.9%. R F Die ahrscheinlichkeit HIV-infiziert zu sein wenn der HIV-Test positiv ausfällt ist größer als

29 Eindimensionale ufallsvariablen Diskrete ufallsvariablen Stetige ufallsvariablen Mehr über ufallsvariablen und Verteilungen Eindimensionale ufallsvariablen 94

30 ufallsvariable und ahrscheinlichkeitsverteilung Diskrete ufallsvariablen iel: Ergebnisse eines ufallsvorgangs sollen (nur) durch ahlen ausgedrückt werden. eispiel: Viermaliger Münzwurf {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 95 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ngenommen wir interessieren uns nur für die nzahl von appen nach viermaligem Münzwurf. Dann betrachten wir eine Variable X nzahl von appen die nur die erte 0 oder 4 annehmen kann. D.h. formal ist X eine bbildung { } 4 0 : Ω Ω X ( ). x X ϖ ϖ a

31 Diskrete ufallsvariablen Hier gilt z.. für ϖ ( ) und ϖ 5 ( ) X ( ϖ ) 4 bzw. X ( ϖ 5 ). Mit anderen orten betrachten wir nun einen neuen Ereignisraum Ω* mit Ω { 0 4 }. ur erechnung der ahrscheinlichkeit von Ereignissen auf dem Ereignisraum Ω* können wir unter Kenntnis der Definition von X auf den ursprünglichen Ereignisraum Ω rückprojizieren. eispielsweise besteht das Ereignis * Es tritt höchstens einmal appen auf also aus dem ursprünglichen Ereignis Ω mit { 0 } Ω mit {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }. Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 96

32 Diskrete ufallsvariablen Damit ist die ahrscheinlichkeit für das Ereignis * gegeben durch ( ) ( X ) ( { ϖ X ( ϖ ) }) { ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ } 5 6 ( ) Ω X(ω ) ω ω ω 6 ω ω ω ω X(ω6 ω ) ω 4 ω 5 ω ω ω ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 ω * Da die erte von X die Ergebnisse eines ufallsvorgangs sind bezeichnen wir X auch als ufallsvariable. Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 97

33 . eispiel: weimaliger ürfelwurf Ω Diskrete ufallsvariablen { ( i j) i j 6 } ϖ ij ϖ ij etrachte ufallsvarialbe X ugensumme. Dann gilt z.. X(ω ) X(ω ) 5 und X(ω 55 ) 0. nalog zu den Überlegungen im. eispiel gilt z.. : ( ugensumme 5 ) (X 5) ({ω 4 ω 4 ω ω }) 4/6 /9.. eispiel: Mietspiegelerhebung Ω { mietspiegelrelevante ohnungen } + etrachte z.. X Nettomiete d.h. X : Ω Ω IR { x : x 0 }. Interessierendes Ereignis z.. { X 000 }. eachte: Hier Kenntnis von Ω und der Definition von X wenig hilfreich zur erechnung der ahrscheinlichkeit von *. ls interessierender Ereignisraum wird deshalb gleich ganz IR betrachtet und die ahrscheinlichkeitsverteilung von X auf IR. Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 98

34 Diskrete ufallsvariablen ufallsvariable Eine Variable oder ein Merkmal X dessen erte oder usprägungen die Ergebnisse eines ufallsvorgangs sind heißt ufallsvariable. Die ahl x IR die X bei einer Durchführung des ufallsvorgangs annimmt heißt Realisierung oder ert von X. emerkung ir betrachten im Folgenden also nur noch den Ereignisraum mit reellen ahlen. Die interessierenden Ereignisse sind dann Teilmengen davon und z.. von der rt bzw. allgemein { X I } { X a} { X a} { X > a} { a X b} wobei I ein abgeschlossenes offenes oder halboffenes Intervall ist. eitere durch X definierte zulässige ereiche ergeben sich daraus durch Komplementbildung und abzählbare Durchschnitts- und Vereinigungsbildung. Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 99

35 Diskrete ufallsvariablen! Die grundlegenden Rechengesetze des Mengenkalküls bleiben erhalten! eispiele: Sei X ufallsvariable mit ( X ) 0.5 ( X ) 0. und ( X ) 0.. ( X ) Sei Y ufallsvariable mit ( Y ( 0] ) 0.5 ( Y ( 0 0]) 0. und ( Y [ 8 ) ) 0.5. ( > 0 ) Y ( [ 8 0]) ( Y ( 00] ) + ( Y 8) ( Y > 0) Y Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 400

36 Diskrete ufallsvariablen ahrscheinlichkeitsverteilung ( ) ( ) Die Menge aller ahrscheinlichkeiten X I oder X für Intervalle I oder zulässige ereiche nennt man auch ahrscheinlichkeitsverteilung (von X). as folgt... Unterscheide generell ahrscheinlichkeitsverteilung von diskreten ufallsvariablen stetigen ufallsvariablen ahrscheinlichkeit... über addieren über integrieren (Flächen!) zunächst: Rechnen mit diskreten ufallsvariablen Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 40

37 Diskrete ufallsvariablen Verteilungen und arameter von diskreten ufallsvariablen Definition und Verteilung Diskrete ufallsvariable und ahrscheinlichkeitsfunktion Eine ufallsvariable X heißt diskret falls sie nur endlich oder abzählbar unendlich viele erte a a K a K k von X ist durch die ahrscheinlichkeiten ( X ) a j p j j K k gegeben. Die Funktion f ( x) annehmen kann. Die ahrscheinlichkeitsverteilung ( X a ) x a { a a K a } 0 j j k K sonst heißt dabei ahrscheinlichkeitsfunktion von X. Träger nalogie in der deskriptiven Statistik? Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 40

38 Diskrete ufallsvariablen Verteilungsfunktion einer diskreten ufallsvariable Gegeben sei eine diskrete ufallsvariable mit ahrscheinlichkeitsfunktion f ( x). Dann ist durch F ( x) ( X x) f ( a j ) j: a x j die Verteilungsfunktion von X gegeben. nalogie in der deskriptiven Statistik? elche grundlegenden Eigenschaften besitzt die Verteilungsfunktion einer diskreten ufallsvariable? Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 40

39 Diskrete ufallsvariablen Übung: Gegeben sei eine diskrete ufallsvariable mit ( X ) 0.5 ( X ) 0. und ( X ) 0.. eichnen Sie die ahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion von X. Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 404

40 Diskrete ufallsvariablen > Übungen Eine faire Münze wird viermal geworfen und man interessiert sich dafür wie oft im Ergebnis ahl erscheint. Die ufallsvariable X gebe die nzahl von ahl an. a) erechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X. b) erechnen Sie folgende ahrscheinlichkeiten: ( 0 < X ) ( X > ) und ( X < ). Hinweis: Nutzen Sie die Ereignismenge Ω auf Seite 95. Teil a): Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 405

41 Diskrete ufallsvariablen Teil b): Eindimensionale ufallsvariablen - Diskrete ufallsvariablen 406