K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/... (SS16).html Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/ Raumveränderungen

2 Wdhlg.: Ereignisfeld, zufälliges Ereignis Eine Menge Z von Teilmengen einer Menge E von Elementarereignissen heißt Ereignisfeld (oder Borelscher Mengenkörper), wenn gilt: a) E, Z (das sichere Ereignis E und das unmögliche Ereignis gehören zu Z) b) Gehören die Ereign. A, B zu Z, dann auch die Differenz A \ B: A, B Z A \ B Z. c) Gehören die Ereign. A 1, A 2,... zu Z (endlich oder abzählbar unendlich viele), dann auch die Summe und das Produkt: A 1, A 2,... Z k A k Z, k A k Z. Die Elemente von Z heißen zufällige Ereignisse.

3 Wdhlg. W.keit: Axiome von Kolmogoroff Z sei ein Ereignisfeld. Jedem zufälligen Ereignis A Z lässt sich eine reelle Zahl P (A) so zuordnen, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind: a) Für jedes A Z ist 0 P (A) 1 (Axiom I). b) Dem sicheren Ereignis E ist die Zahl 1 zugeordnet: P (E) = 1 (Axiom II). c) Es gilt das Additionsaxiom: Sind A 1, A 2,... paarweise unvereinbare Ereignisse aus Z, so gilt P ( k A k ) = k P (A k ) (Axiom III). Die Zahl P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereign. A.

4 Wiederholung 1. VL Stochastik (WR I) Zur Beschreibung einer Zufallssituation notwendig: Elementarereignis e (ω), sicheres Ereignis E (S, Ω), Ereignisfeld Z ( definiert zufällige Ereignisse ( legt diese fest )) Situationen mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen ( = : E = N ) Elementarereign.: Z = P(E) Rechenregeln Ereignisse: kommutativ, assoziativ, distributiv A B = B A, A (B C) = (A B) C, A B = B A, A (B C) = (A B) C, (A B) C = (A C) (C B), (A B) C = (A C) (C B)

5 Wdhlg.: Unvereinbarkeit, vollst. Ereignissystem Def. 13.5: Gilt k A k = für endlich oder abzählbar viele zufällige Ereignisse A 1, A 2,..., so nennt man A 1, A 2,... insgesamt unvereinbare Ereignisse oder insgesamt disjunkte Ereignisse. Die Ereignisse heißen paarweise unvereinbar oder paarweise disjunkt, wenn A i A j = für i j gilt. Def. 13.6: Sind A 1, A 2,..., A n zufällige Ereignisse (A k E), für die gilt a) A i A j = für i, j = 1, 2,..., n, i j b) n k=1 A k = E (sicheres Ereignis), dann nennt man (A 1, A 2,..., A n ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse.

6 Sind 2 Ereignisse unvereinbar, so P (A B) = P (A) + P (B) (Axiom III f. 2 Mengen), aber: Für beliebige 2 Ereignisse gilt nur : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) Formel für P (A B): A B wird durch paarweise unvereinbare Ereignisse dargestellt A B = (A \ B) (B \ A) (A B), P (A B) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (A B). Offensichtlich gilt aber auch: P (A) = P (A \ B) + P (A B), P (B) = P (B \ A) + P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

7 Die 4 Grundaufgaben der Kombinatorik Generell: Auswahl von k Elementen aus einer Grundgesamtheit der Anzahl n Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung ( ) der Reihenfolge n (ungeordnet - Kombination): Möglichkeiten k Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge (geordnet - n! Variation): (n k)! Möglichkeiten Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge: n k Möglichkeiten Mit ( Zurücklegen, ) ohne Beachtung der Reihenfolge: n + k 1 Möglichkeiten k

8 Grundformel der klass. Wkt-rechnung Klassische Wahrscheinlichkeit: Das Ereignisfeld sei aus endlich vielen Elementarereignissen zusammengesetzt. Falls die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, dann P (A) = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Beispiele: Lotto ( 6 aus 49,... etc...); P ( Dreier ) = ( 43 ( 49 6 ) ) ( ) = , usw.,... Alle Karten- Würfel- und sonstige Glücksspiele...

9 Bedingte Wahrscheinlichkeit Def. 13.7: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A mit P (A) > 0 bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A und wird mit P (B A) bezeichnet. Wichtig (sinnvoll): Bedingte Wkt.en werden nur für P (A) > 0 betrachtet. Multiplikationstheorem der WR: Es gilt P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A), für alle Ereignisse mit P (A) > 0, P (B) > 0

10 Unabhängigkeit von Ereignissen Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h. P (A B) = P (A). Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem: P (A B) = P (A B)P (B) = P (A)P (B) = P (B A)P (A) P (B A) = P (B) Ist A von B unabhängig, so auch B von A. b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare (A, B), ( Ā, B), (Ā, B)

11 Unabhängigkeit in Mengensystemen (> 2) Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A 1, A 2,..., A n heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-tupel (i 1, i 2,..., i m ) von natürlichen Zahlen mit 1 i 1 < i 2 < < i m n gilt: P (A i1 A i2 A im ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A im ). Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 i, j n, i j die Ereignisse A i und A j unabhängig sind, also wenn gilt P (A i A j ) = P (A i )P (A j ). n n Konsequenz: P ( A k ) = P (A k ). k=1 Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig (nicht umgekehrt). k=1

12 Anwendung Unabhängigkeit Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung von Ereignissen) P (A i ) = p i, i = 1, 2,... ( ) Parallelschaltung: B = A 1 A 2 A 3... A n Reihenschaltung: C = A 1 A 2 ( A 3... A n ) Grundformeln (beliebig kombinierbar in Komplex-Schaltungen): P (A 1 A 2 ) = p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = p 1 + p 2 p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 2 ) = (1 p 1 )(1 p 2 ) P (C) = n n p k, P (B) = (1 p k ) k=1 k=1

13 Zusatz: Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 3 Urnen: U1: 3w/2r; U2: 2w/8r; U3: 0w/8r B: gezogene Kugel ist weiß; A i : Kugel ist aus Urne i Beweis der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (A B C): ( ) = P (A B C) = P (A C) (B C) P (C) P (A C) + P (B C) P (A B C) P (C) P (A B C) = P (A C) + P (B C) P (A B C) =