Stochastik Grundlagen

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Andreas Bösch
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1 Grundlegende Begriffe: Zufallsexperiment: Ein Experiment, das beliebig oft wiederholt werden kann. Die möglichen Ergebnisse sind bekannt, nicht jedoch nicht, welches Ergebnis ein einzelnes Experiment hat. Ergebnis: Ein möglicher Ausgang eines einzelnen Experimentes. Schreibweise: ω 1, ω 2 Ergebnisraum Die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments. Schreibweise: Ω ={ω 1, ω 2...} Ereignis: Ein Ereignis A eines Zufallsexperimentes mit dem Ergebnisraum Ω ist die Teilmenge A von Ω in Zeichen: A Ω. Die Teilmenge Ω heißt das sichere Ereignis, die leere Teilmenge heißt das unmögliche Ereignis. Tipp :

Beispiele: Zufallsexperiment: Würfeln mit zwei Würfeln gleichzeitig, die Summe interessiert Ergebnisse, z. B.: 2, 11, 7... Ergebnisraum: Ω ={2, 3, 4,...,11, 12} = {i N 1 < i < 13} Ereignisse z.

2 Beispiele: Zufallsexperiment: Würfeln mit zwei Würfeln gleichzeitig, die Summe interessiert Ergebnisse, z. B.: 2, 11, 7... Ergebnisraum: Ω ={2, 3, 4,...,11, 12} = {i N 1 < i < 13} Ereignisse z. B: {2, 7, 11} oder {i N 1<i <13 und i ist gerade} oder {i N 1<i< 13, es gibt j N, i = 2j} Zufallsexperiment: Roulette Ergebnisse, z. B.: 0, 9, Aufgabe zum Zufallsexperiment: Münzwurf Eine Münze wird 3 mal geworfen. Beschreibe mögliche Ergebnisse, den Ergebnisraum und die folgenden Ereignisse: 1. Es wurde genau ein Mal Kopf geworfen 2. Der erste Wurf war Kopf 3. Es wurde 3 Mal das Gleiche geworfen 4. Es wurde ein Mal mehr Kopf als Zahl geworfen

3 Mehrstufige Zufallsexperimente: Ein Experiment, in dem ein Vorgang mehrfach wiederholt wird, heißt mehrstufiges Zufallsexperiment. Den Ergebnisraum kann man gut mit einem Baumdiagramm ermitteln Beispiel: Für fünf 400-m Läufer A, B, C, D, E werden die Bahnen 1, 2, 3, 4, 5 per Los ermittelt: Mögliche Ergebnisse (C, A, D, E, B) heißt: Läufer C hat Bahn 1, Läufer A Bahn 2 usw oder (D, E, A, B, C) heißt: Läufer D hat Bahn 1 Läufer E Bahn2 usw... Ergebnisraum: In Worten: Die Menge aller möglichen 5-Tupel gebildet aus den Buchstaben A-E ohne Wiederholungen. Mathematisch: {(a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) a i {A,B,C,D,E} und a i a j für i j und 0 <i,j <6} Mögliche Ereignisse: In Worten: Läufer B bekommt Bahn 2 oder Läufer C und Läufer D bekommen nicht Bahn 1 Mathematisch: als Übung

4 Mehrstufige Zufallsexperimente als Baumdiagramm: Beispiel: 3 Geschwister erben 3 Häuser: Haus 1, Haus 2 und Haus 3. Die Häuser werden per Los verteilt. Bilde ein Modell: Was sind die Ergebnisse, was ist der Ergebnisraum, welche Ereignisse gibt es? Haus 1 wird verlost Haus 2 wird verlost Haus 3 wird verlost Mögliche Ergebnisse (C, A, B) heißt: Person C erhält Haus 1, Person B bekommt Haus 2 usw oder {B, A, C)... Ergebnisraum: Die Menge aller 3-Tupel aus den Buchstaben A C ohne Wiederholungen. Übung: Formuliere das als Menge. Mögliche Ereignisse: In Worten: E1: Person B bekommt Haus 2 In Worten: E2:Person C bekommt nicht Haus3 Übung: Formuliere dieses Ereignis als Teilmenge des Ergebnisraums.

Mehrstufige Zufallsexperimente als Baumdiagramm: Beispiel: Für vier 400-m Läufer A, B, C, D werden die Bahnen 1, 2, 3, 4 per Los durch 3 maliges Losen ermittelt: Mögliche Ergebnisse (C, A, D, B)

5 Mehrstufige Zufallsexperimente als Baumdiagramm: Beispiel: Für vier 400-m Läufer A, B, C, D werden die Bahnen 1, 2, 3, 4 per Los durch 3 maliges Losen ermittelt: Mögliche Ergebnisse (C, A, D, B) heißt: Läufer C hat Bahn 1, Läufer A Bahn 2 usw oder (D, A, B, C)... Ergebnisraum: Die Menge aller 4-Tupel aus den Buchstaben A D ohne Wiederholungen Übung: Formuliere das als Menge. Mögliche Ereignisse: In Worten: Läufer B bekommt Bahn 2 oder Läufer C und Läufer D bekommen nicht Bahn 1 Übung: Formuliere dieses Ereignis als Teilmenge des Ergebnisraums. (Nicht leicht!)

6 Relative Häufigkeit Erste Ansätze zur Klärung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs führt zu dem Begriff relative Häufigkeit. Wird ein Zufallsexperiment n Mal ausgeführt und tritt ein Ereignis A dabei k-mal auf, dann heißt k die absolute Häufigkeit des Ereignisses A und p(a) = k n = Zahle der Versuche,in denen A eintritt Zahl der Versuche die relative Häufigkeit des Ereignisses A. Beispiel: Es werden 663 Personen befragt, welche Sportarten sie treiben. 173 Personen geben an, Fußball zu spielen, 125 zu joggen, 74 zu schwimmen und 53 spielen Basketball. Wie hoch ist die absolute und relative Häufigkeit von E, wenn das Ereignis E die Sportarten mit Ball umfasst? Eigenschaften der relativen Häufigkeiten für einen Ergebnisraum Ω: Für ein Ereignis A Ω ist p(a) [0, 1] p(ω) = 1 und p( ) = 0 Definition: Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, in dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Satz: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment ist: p(a) = A Anzahl der für A günstigen Ergebnisse = Ω Mächtigkeit des Ergebnisraums

7 Venn Diagramm Ereignisse: Ereignisse sind Teilmengen des Ergebnisraums. Die sprachlich- logische Verknüpfungen von Ereignissen mit und, oder, nicht lassen sich mit Venn-Diagrammen visualisieren. A und B A oder B entweder A oder B A und nicht B B und nicht A weder A noch B A B A B (A B) (A B) A (A B) B (A B) A B

de Morgan- Regeln Der Mathematiker de Morgan hat in der Mitte des 19. Jahrhunderts eine Algebra (Rechenregeln) für Mengen entwickelt, die u. a. in der Stochastik Anwendung findet.

8 de Morgan- Regeln Der Mathematiker de Morgan hat in der Mitte des 19. Jahrhunderts eine Algebra (Rechenregeln) für Mengen entwickelt, die u. a. in der Stochastik Anwendung findet. Für 2 Ereignisse A,B Ω gilt: A B = A B Weder A noch B tritt ein A B = A B A und B treten nicht gleichzeitig ein Beispiel: Experiment: Würfeln mit 2 nicht unterscheidbaren Würfeln. Ergebnisraum: Ω = {{i,j} i,j N und 0 <i,j <7} Ω = 21 A sei das Ereignis: ein Pasch wurde geworfen. B sei das Ereignis: die Summe der beiden Würfe ist größer als 7. Bestimme das Ereignis C: Weder A noch B ist eingetreten. Lösung: A = {{1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6}} A = 6 B = {{2,6}, {3,5}, {4,4}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,5}, {5,6}, {6,6}} B = 9 A B = {{1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6}, {2,6}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}} A B = 12 C = A B = {{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}} C = 9

9 Übungen zur Vereinigung und Schnitt A C B D Tipp: Prüfe dich mit:

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