Zufall? Als Zufall werden Dinge bezeichnet, die nicht vorhergesehen werden können.

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1 H 1 Zufall? Als Zufall werden Dinge bezeichnet, die nicht vorhergesehen werden können. Beispiel: - Eine Münze wird geworfen und die Zahl liegt oben. Das ist nicht vorhersehbar! Es könnte auch Kopf oben liegen. - Ein Topf mit Wasser wird erhitzt und bei 100 beginnt das Wasser zu kochen. Das ist vorhersehbar! Kein Zufall. Wasser kocht immer bei 100. Obwohl Zufälle wie ein Münzwurf nicht vorhergesehen werden können, kann die Chance mathematisch berechnet werden. Die Chance eine Zahl beim Münzwurf zu werfen ist 50%. Dieses Teilgebiet der Mathematik heißt Stochastik.

2 H 1 Zufallsexperimente Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment (oder Zufallsversuch). Zufallsexperimente haben folgende Eigenschaften: 1) Es kann nicht vorhergesagt werden, welches Ergebnis (Kopf oder Zahl) erscheinen wird. (Es ist Zufall!) 2) Es lassen sich alle möglichen Ergebnisse angeben. Das nennen wir die Ergebnismenge S. Beispiel S = { Kopf, Zahl } 3) Das Experiment kann beliebig oft wiederholt werden. Nur wenn alle drei Eigenschaften zutreffen ist es ein Zufallsexperiment.

3 - 1 - H 1 Zufall oder nicht? Diskutiere mit einem Nachbarn, weshalb die folgenden Dinge zufällig passieren oder kein Zufall sind: 1) Ein Würfel wird geworfen er zeigt die Vier. 2) Ein Ball wird hochgeworfen er fällt wieder runter zur Erde. 3) Es gibt einen Elftmeter der Ball geht ins Tor. 4) Ein Eisennagel liegt neben einem Magneten er wird angezogen. 5) Die Ferientage werden festgelegt am gibt es schulfrei. 6) Die Lottozahlen werden gezogen Herr Winwin hat sechs Richtige.

4 L Ö S U N G 1) Zufall, da nicht vorhersehbar. 2) Kein Zufall. Es war vorhersehbar, dass die Schwerkraft wirkt. 3) Könnte Zufall sein, könnte auch Geschick / Erfahrung / Training sein. 4) Kein Zufall. Magnetismus ist vorhersehbar. 5) Kein Zufall. Weihnachten wird immer als Ferientag festgelegt. 6) Zufall, da Lottozahlen nicht vorhersehbar sind.

5 - 2 - H 1 Zufallsexperiment a) Erkläre, warum es sich hierbei um ein Zufallsexperiment handelt oder nicht: 1) Ein Würfel wird geworfen. 2) Ein Glas wird auf eine Kante gestellt. Es fällt runter und zerbricht. 3) Ein Autofahrer fährt bei Rot über die Ampel. 4) Aus einer Schachtel mit 2 grünen, 1 gelben und 5 roten Perlen wird eine Perle gezogen. 5) Das Handy steht auf zufällige Wiedergabe und spielt ein Lied ab. b) Gib für jedes Zufallsexperiment die Ergebnismenge S an.

6 L Ö S U N G 1) Ja, denn: Zufall. S = 1,2,3,4,5,6 und es kann wiederholt werden. 2) Nein. Es könnte Zufall sein mit S = kaputt, heil, aber es ist nicht wiederholbar! 3) Nein. Das ist kein Zufall, sondern eine bewusste Entscheidung. 4) Ja, denn: Zufall. S = grün, gelb, rot und es kann wiederholt werden. 5) Ja, denn: Zufall. Die Ergebnismenge sind alle Lieder und es kann wiederholt werden.

7 H 2 Wahrscheinlichkeit Als Wahrscheinlichkeit wird die Chance bezeichnet, mit der ein Ergebnis eintreten wird. Wahrscheinlichkeiten können als Bruchzahl, Dezimalzahl oder Prozentzahl angegeben werden. Beispiel: - Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Kopf zu werfen beträgt 1 2 = 0,5 = 50% - Die Wahrscheinlichkeit als Frau in Deutschland 100 Jahre alt zu werden ist Wahrscheinlichkeiten werden so geschrieben: P Kopf = 0,5 Das P steht dabei für probabilitas (lat. für Wahrscheinlichkeit) = 0,13 = 13%

8 H 2 Laplace Bei manchen Zufallsexperimenten (vor allem bei Glücksspielen) sind alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich. Solche Zufallsexperimente werden Laplace-Experimente genannt. Benannt nach dem Mathematiker Pierre Simone Marquis de Laplace. Wenn ein Laplace-Experiment n Ergebnisse hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem Ergebnis 1 n. Beispiel: - Bei einem Würfel gibt es 6 Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeiten eine Drei zu würfeln ist also: P 3 = 1 6

9 - 3 - H 2 Laplace-Experimente a) Erkläre, warum es sich hierbei um ein Laplace-Experiment handelt oder nicht: 1) Das folgende Glücksrad wird gedreht: G := Gewonnen V G V := Verloren 2) Ein Tetraeder (vier gleiche große Seiten) mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 wird geworfen. 3) Aus einer Schachtel mit 2 grünen, 1 gelben und 5 roten Perlen wird eine Perle gezogen. 4) Das folgende Glücksrad wird gedreht: b) Gib für jedes Ereignis der Laplace-Experimente die Wahrscheinlichkeit an. G V V V V G

10 L Ö S U N G 1) Laplace-Experiment, da alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. P G = 1 2 P V = 1 2 2) Laplace-Experiment, da alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. P 1 = 1 4 P 2 = 1 4 P 3 = 1 4 P 4 = 1 4 3) Laplace-Experiment, da jede Perle die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. P Perle = 1 8 4) Nein, denn die Felder sind unterschiedlich groß. P V = 7 8 P G = 1 8

11 - 4 - H 2 Roulette Beim Roulette-Spiel wird ein Rad gedreht, damit eine Kugel auf einem Feld liegen bleibt. Das ist ein beliebtes französisches Glücksspiel. Überlege dir die Wahrscheinlichkeit für folgende Möglichkeiten: a) Die Zahl Null (zéro) e) schwarze Zahl (noir) dunkel b) gerade Zahl außer Null (pair) f) erstes Dutzend (12 premier, 1-12) c) ungerade Zahl außer Null (impair) g) 1. Hälfte (Passe, 1-18) d) rote Zahl(rouge) hell h) 2. Hälfte (Manque, 19-36)

12 L Ö S U N G Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, da alle Felder gleichwahrscheinlich getroffen werden. Da es 37 Zahlen ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl a) P zéro = 1 18 = 0,027 = 2,7% e) P noir = = 0,486 = 48,6% b) P pair = 18 = 0,486 = 48,6% f) P 37 12premier = 12 = 0,324 = 32,4% 37 c) P impair = = 0,486 = 48,6% g) P Passe = = 0,486 = 48,6% d) P rouge = = 0,486 = 48,6% h) P Manque = = 0,486 = 48,6% 37 37

13 H 3 Statistik Ein weiteres Gebiet der Stochastik ist die Statistik, die sich mit Daten beschäftigt. Statistiker werten in der Regel Umfragen aus. Beispiel: - 10 Kinder werden befragt, wie viele Minuten sie pro Tag fernsehen. 51 ; 34 ; 98 ; 61 ; 12 ; 85 ; 26 ; 101 ; 49 ; 33 Kennwerte sind besondere Werte der Umfrage, die aus den Daten bestimmt werden können: - Maximum: der höchste Wert (hier: 101) - Minimum: der niedrigste Wert (hier: 12) - Spannweite: die Differenz zwischen Maximum und Minimum (hier: = 89)

14 H 3 Weitere Kennwerte Es gibt noch weitere nützliche Kennwerte für die Statistik: - Arithmetische Mittel (auch: Mittelwert) x: Summe aller Ergebnisse geteilt durch die Anzahl ( hier: x = 10 = = 55 ) - Zentralwert (auch: Median) x: Wenn die Daten der Größe nach geordnet werden, ist der Zentralwert, der Wert, der in der Mitte steht. ( hier: 12 ; 26 ; 33 ; 34 ; 49 ; 51 ; 61 ; 84 ; 98 ; 101 Bei zwei Werten wird der Mittelwert davon genommen: x = = = 50 )

15 - 5 - H 3 Umfragen Bestimme Maximum, Minimum und Spannweite bei den folgenden Umfragen: a) Wie viel Geld gibst du für Apps aus? 1 ; 8 ; 11 ; 8 ; 6 ; 14,50 ; 2,50 ; 8,50 ; 6 ; 4,50 ; 0 ; 67,50 ; 1 ; 1,50 ; 4, 0 ; 16 ; 2 ; 7,50 ; 17 ; 14 ; 21,50 b) Wie oft am Tag schaltest du den Fernseher ein?

16 L Ö S U N G a) Maximum: 67,50 Minimum: 0 Spannweite: 67,50-0 =67,50 b) Maximum: 17 Minimum: 2 Spannweite: 17-2=15

17 - 6 - H 3 Mittelwert und Zentralwert Bestimme Mittelwert und Zentralwert der folgenden Umfragen: a) Wie viele Geschwister hast du? Antworten: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 b) Wie oft am Tag schaltest du den Fernseher ein? Antworten: 2, 17, 5, 4, 3, 13, 2, 5, 7, 8, 11, 2, 4, 5, 3, 3 Erstelle selbst eine Umfrage. Achte darauf, dass mit Zahlen geantwortet werden muss. Führe die Umfrage in deiner Gruppe oder Klasse durch. Berechne alle statistischen Kennwerte: Maximum, Minimum, Spannweite, Zentralwert, Mittelwert

18 L Ö S U N G a) Zentralwert: x = 1 Mittelwert: x = ,3846 b) geordnete Reihe: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 11, 13, 17 Zentralwert: x = = 4,5 Mittelwert: x = ,5294

19 H 4 Häufigkeit Bei der Durchführung eines Zufallsexperiments kann gezählt werden, wie häufig die Ergebnisse jeweils auftreten. Beispiel: - Es wird 100 mal eine Münze geworfen: Ergebnis Kopf Zahl Anzahl Die Anzahl der Ergebnisse wird absolute Häufigkeit genannt. (Die absolute Häufigkeit für Kopf ist 52.) Wenn die absolute Häufigkeit durch die Gesamtanzahl geteilt wird, ergibt sich die relative Häufigkeit. (Die relative Häufigkeit für Kopf ist = 0,52 )

20 H 4 Empirische Gesetz der großen Zahlen Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass die relative Häufigkeit umso besser die Wahrscheinlichkeit angibt, umso mehr Versuchsdurchführungen gemacht werden. Beispiel: - Eine Münze wird 10 mal geworfen. Die relative Häufigkeit für Kopf ist 8 10 = 0, 8. - Eine Münze wird 1000 mal geworfen. Die relative Häufigkeit für Kopf ist = 0, 532. Ergebnis Kopf Zahl Anzahl 8 2 Ergebnis Kopf Zahl Anzahl Die Wahrscheinlichkeit ist natürlich 0,5 (50% Chance!).

21 - 7 - H 4 Kronenkorken 1) Bei einem Zufallsexperiment mit Kronenkorken wurden folgende Ergebnisse erzielt: Anzahl der Würfe Ergebnis: Liegt auf den Rücken Ergebnis: Liegt auf den Rand a) Berechne die relative Häufigkeit der beiden Ergebnisse nach 50, 100 und 200 Würfen. b) Gib einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeiten an.

22 L Ö S U N G 1) a) Relative Häufigkeit: Anzahl der Würfe Ergebnis: Liegt auf den Rücken Ergebnis: Liegt auf den Rand 0,62 0,57 0,59 0,38 0,43 0,41 b) Näherungswerte für die Wahrscheinlichkeiten: P Rückelage = 0,6 = 60% P Randlage = 0,4 = 40%

23 - 8 - H 4 Würfel und Lose 1) Bastle einen Würfel mit den Zahlen 1 bis 6. a) Würfel 10 mal und schreibe die absoluten und relativen Häufigkeiten in eine Tabelle. b) Würfel 100 mal und schreibe die absoluten und relativen Häufigkeiten in eine Tabelle Was stellt du fest? 2) Stelle 8 Lose mit unterschiedlichen Farben her. a) Ziehe 10 mal und schreibe die absoluten und relativen Häufigkeiten in eine Tabelle. b) Ziehe 100 mal und schreibe die absoluten und relativen Häufigkeiten in eine Tabelle Was stellt du fest? Gelb

24 L Ö S U N G 1) Augenzahl mal 100 mal absolute H relative H. 0,2 0,2 0,1 0,3 0,2 0 absolute H relative H. 0,18 0,15 0,17 0,18 0,15 0,17 So häufiger das Experiment durchgeführt wird, desto näher kommt die relative Häufigkeit an die tatsächliche Wahrscheinlichkeit heran. P Zahl = 1 6 = 0,1 6 2) Abhängig von der Beschriftung der Lose.

25 - 9 - H 4 Sachaufgaben 1) Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass von 100 Fahrrädern 60 Mängel aufweisen. Bei einer Fahrradkontrolle kommen 460 Radfahrer vorbei. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Rad einen Mangel hat? b) Berechne, wie viele von 460 überprüften Fahrrädern wahrscheinlich Mängel haben werden. 2) Bei der Produktion von Speicher-Chips wird davon ausgegangen, dass 2,5% aller produzierten Chips defekt sind. In einer Serie werden Chips hergestellt. Berechne, wie viele dieser Chips einen produktionsbedingten Defekt haben.

26 L Ö S U N G 1) a) = 60% b) 60% 460 = 0,6 460 = 276 Es werden wahrscheinlich 276 Fahrräder einen Mangel haben. 2) ,5% = ,025 = 300 Es werden vermutlich 300 Chips einen produktionsbedingten Defekt haben.

27 H1, H2, H 4 Sachaufgaben Für ein Schulfest wurden zwei Glücksräder gebastelt. Beide haben die Ziffern 0 bis 9. Für 50 Cent dürfen die Schüler die beiden Räder drehen. Sie gewinnen, wenn beide Räder die gleiche Zahl anzeigen. Der Gewinn besteht aus Kleinigkeiten, wie Filzstifte oder Anspitzer, die einen Euro kosten. a) Wie viele Ergebnisse sind möglich? Wie viele Gewinnergebnisse gibt es? b) Die Klasse rechnet damit, dass es auf dem Fest zu 500 Spielen kommen wird. Wie viele Gewinne muss sie einkaufen? Wird die Klasse am Ende mehr Geld einnehmen als ausgeben?

28 L Ö S U N G a) Ergebnismenge: S = 0,0, 0,1, 0,2,, 0,9, 1,0, 1,1 9,9 Es sind 100 verschiedene Ergebnisse möglich. Es gibt 10 Gewinnergebnisse: 0,0, 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, 6,6, 7,7, 8,8, (9,9) b) Da es ein Laplace-Experiment ist sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich mit 1 = 0,01 = 1% Wahrscheinlichkeit. 100 Es gibt also insgesamt eine 10% Chance zu gewinnen. Damit wird es bei 500 Spielen insgesamt 50 Gewinner geben. 50 Gewinner kosten 50. Sie nehmen 500 mal 50 Cent ein, also 250. Damit wird die Klasse 200 einnehmen.