Wirtschaftsstatistik I [E1]

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Marielies Holst
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1 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: WiSe07/08 Wirtschaftsstatistik I [E1] Schwab, Harald 1 [email protected] October 7, Sprechstunde: MO 17-18h [3/236] Schwab, Harald [email protected] Wirtschaftsstatistik I [E1]

2 Zufallsexperiment: Die Wahrscheinlichkeitstheorie dient dazu Vorgänge zu beschreiben, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Kann das Ergebnis eines solchen zufälligen Vorgangs mathematisch beschrieben werden, dann spricht man von einem Zufallsexperioment.

3 Die Menge aller denkbaren Ausgänge eines Zufallsexperiments nennt man den Stichproben- oder Ereignisraum. Ω

4 Seine Elemente x - die möglichen Ausgänge - werden Elementarereignisse genannt. x Ω

5 Die Menge jener Elementarereignisse, die eine eine bestimmte Eigenschaft erfüllt wird als Ereignis (= A) bezeichnet A Ω.

6 Die Menge jener Elementarereignisse, die eine eine bestimmte Eigenschaft erfüllt wird als Ereignis (= A) bezeichnet A Ω. zum Beispiel Eigenschaft gerade Augenzahl A = {2, 4, 6} eines Würfels Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

7 Ein Würfel wird zweimal geworfen:

8 Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)}

9 Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} Ω = {(i, j) : i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

10 Ein Würfel wird zweimal geworfen: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} Ω = {(i, j) : i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} Produkt von Mengen

11 Mengenbegriffe: A Ω, B Ω

12 Mengenbegriffe: Vereinigung: A B = {x Ω : x A x B}

13 Mengenbegriffe: Durchschnitt: A B = {x Ω : x A x B}

14 Mengenbegriffe: Kompliment: A = Ω \ A = {x Ω : x / A}

15 Mengenbegriffe: Ausschliessende Ereignisse: A B = {}

16 de Morgan sche Regel A B = A B

17 de Morgan sche Regel A B = A B

18 Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird.

19 Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A)

20 Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1

21 Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1 P(E) = 1 P(E)

22 Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1 P(E) = 1 P(E) P(A \ B) = P(A) P(A B)

23 Wahrscheinlichkeit: P(E) ist die Wahrscheinlichkeit (Probability) des Ereignisses E Ω. P(E) entspricht der relativen Häufgkeit des Eintretens von Ereignis E, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird. Es gilt: B A P(B) P(A) 0 = P({}) P(E) P(Ω) = 1 P(E) = 1 P(E) P(A \ B) = P(A) P(A B) A B = {} P(A B) = 0

24 Wahrscheinlichkeit: : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

25 Wahrscheinlichkeit: : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ausschliessende Ereignisse: A i A j = {} für i j P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n )

26 Wahrscheinlichkeit: sche Wahrscheinlichkeit: Sind alle Elemente von Ω gleich wahrscheinlich, dann gilt fuer ein Ereignis A P(A) = A Ω. X... Anzahl der Elemente von Menge X.

27 : Problem: Bestimmung von A bzw. Ω.

28 : Problem: Bestimmung von A bzw. Ω. Lösung: = Lehre des Abzählens

29 : Problem: Bestimmung von A bzw. Ω. Lösung: = Lehre des Abzählens Permutationen Die Anzahl der Anordnungen von N verschiedenen Objekten ist N! = 1 2 (N 1) N

30 : Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es?

31 : Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.b 6 aus 45 Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden:

32 : Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.b 6 aus 45 Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden: [1] Wird das gewählte Objekt wieder zurückgelegt?... MIT Zurücklegen (das Objekt kann mehrfach vorkommen)... OHNE Zurücklegen (jedes Objekt kann nur einmal vorkommen)

33 : Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? z.b 6 aus 45 Joker Zwei Fragen müssen dafür beantwortet werden: [2] Ist die Reihenfolge relevant? mbdr... MIT Berücksichtigung der Reihenfolge obdr... OHNE Berücksichtigung der Reihenfolge

34 : Aufgabe: Wir wählen n Objekte aus einer N-elementrigen Menge.?Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten dafür gibt es? 4 Fälle: 1. mbdr 2. obdr 3. mbdr 4. obdr

35 : [1] mbdr Beispiel: Medaillenvergabe bei einem Wettkampf.

36 : [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)!

37 : [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)! [2] obdr Beispiel: 6 aus 45

38 : [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)! ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: (3, 6, 25, 32, 37, 43) = (25, 3, 43, 6, 32, 37) = (37, 43, 6, 25, 3, 32) = (25, 32, 3, 37, 6, 43) =... 6! = n! Möglichkeiten der Anordnung

39 : [1] mbdr: N (N 1) (N n + 1) = N! (N n)! [2] obdr: ( 1 n! N! N (N n)! = n )

40 : ( ) 45 = ( ) ( ) n n = k n k über 6

41 : ( ) 45 = ( ) ( ) n n = k n k über 6 [3] mbdr Beispiel: Bankomatcode

42 : ( ) 45 = ( ) ( ) n n = k n k über 6 [3] mbdr: N n = N N N }{{} n mal

43 : [4] obdr Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung.

44 : [4] obdr Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung. Der Kellner notiert die Bestellung 12x Menü A, 26x Menü B und 12x Menü C so: 0 0 }{{}}{{}}{{} 12xA 26xB 12xC jede mögliche Bestellung kann so eindeutig notiert werden.

45 : [4] obdr Beispiel (Buch Seite 65): Bei einer Hochzeit kommen 50 Gäste. Drei Menüs (A,B,C) stehen diesen zur Verfügung. Der Kellner notiert die Bestellung 12x Menü A, 26x Menü B und 12x Menü C so: 0 0 }{{}}{{}}{{} 12xA 26xB 12xC jede mögliche Bestellung kann so eindeutig notiert werden. }{{} 12xA #13 {}}{ 0 }{{} 26xB #40 {}}{ 0 }{{} 12xC } {{ } 52 Plätze

46 : 50 und Plätze wo oder 0 stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der 0 - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (obdr)

47 : 50 und Plätze wo oder 0 stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der 0 - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (obdr) ( 52 2 ) = ( ) ( ) = 50

48 : 50 und Plätze wo oder 0 stehen kann Das notieren der Bestellungen entsteht so, indem der Kellner ZWEI Plätze (jene der 0 - in unserem Fall 13 und 40) aus den 52 Plätzen auswählt (obdr) ( 52 2 ) = ( ) ( ) = 50 [4] obdr: ( n + N 1 n )

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Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe: Experiment: ein Vorgang, den man unter gleichen Voraussatzungen beliebig oft wiederholen kann. Ergebnis ω : Ausgang eines Experiments Ergebnismenge Ω : Menge