Dieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde.

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1 10.1 Über den Begriff Stochastik Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Teildisziplin von Stochastik. Dabei kommt das Wort Stochastik aus dem Griechischen : die Kunst des Vermutens (von Vermutung, Ahnung, Ziel ). in seinem Buch Dieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde. Jacob Bernoulli I.( ) 1

2 Stochastik kann man in folgende Gebiete unterteilen: Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitstheorie (Grundlagen) Statistik (Umgang mit den Daten) Stochastische Prozesse (Theorie zufälliger Zeitreihen und Felder) 2

3 10.2 Bemerkungen zur Geschichte Die Ursprünge der Wahrscheinlichkeitstheorie liegen im Dunklen der alten Zeiten. Ihre Entwicklung ist in der ersten Phase den Glücksspielen zu verdanken. Die ersten Würfelspiele konnte man in Alt-Ägypten, I. Dynastie (ca v. Chr.) nachweisen. Auch später im klassischen Griechenland und im römischen Reich waren solche Spiele Mode Kaiser Augustus (63 v. Chr. -14 n. Chr.) Kaiser Claudius (10 v.chr n. Chr.). 3

4 Ursprünge der Versicherungen Gleichzeitig gab es erste wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen in der Versicherung und im Handel. Die älteste uns bekannte Form der Versicherungsverträge stammt aus dem Babylon (ca Jahre vor Chr., Verträge über die Seetransporte von Gütern). Die ersten Sterbetafeln in der Lebensversicherung stammen von dem römischen Juristen Ulpian (220 v.chr.). Die erste genau datierte Lebensversicherungspolice stammt aus dem Jahre 1347, Genua. 4

5 Klassische Wahrscheinlichkeitstheorie (XVII-XVIII Jh.) Diese Entwicklungsperiode beginnt mit dem Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat. Sie diskutierten Probleme, die von Chevalier de Méré (Antoine Gombaud ( )) gestellt wurden. Anbei ist eines seiner Probleme: Was ist wahrscheinlicher? mindestens eine 6 bei 4 Würfen eines Würfels oder mindestens ein Paar (6,6) bei 24 Würfen von 2 Würfeln zu bekommen? Die Antwort: P(mind. eine 6 in 4 Würfen) = 1 P(keine 6) = 1 - ( 5 6 )4 = 0,516 P(mind.1x (6,6) in 24 Würfen von 2 Würfeln) = 1-( )24 = 0,492 5

6 Entwicklung analytischer Methoden (XVIII-XIX Jh.) Abraham de Moivre, Thomas Bayes, Pierre Simon de Laplace Carl Friedrich Gauß, Simeon Denis Poisson Entwicklung der Theorie der Beobachtungsfehler und Theorie des Schießens (Artilleriefeuer) Erste nicht klassische Verteilungen wie Binomial und Normal-Verteilung, Poisson Verteilung zentraler Grenzwertsatz von De Moivre. 6

7 Entwicklung analytischer Methoden (XVIII-XIX Jh.) St.Petersburger Schule von Wahrscheinlichkeiten P.L. Tschebyschew A.A. Markow A.M. Ljapunow Einführung von Zufallsvariablen, Erwartungswerten, Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Markow Ketten. 7

8 Moderne Wahrscheinlichkeitstheorie (XX Jh.) David Hilbert, ,II. Mathematischer Kongress in Paris, Problem Nr. 6: Axiometrisierung von physikalischen Disziplinen, wie z.b. Wahrscheinlichkeitstheorie. Antwort darauf: A.N. Kolmogorow führt Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie ein basierend auf der Maß und Integrationstheorie von Borel und Lebesgue (1933). 8

9 10.3 Typische Problemstellungen der Stochastik 9

10 10.3 Typische Problemstellungen der Stochastik 1. Modellierung von Zufallsexperimenten, d.h. deren adäquate theoretische Beschreibung. 2. Bestimmung von o Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen o Mittelwerten und Varianzen von Zufallsvariablen o Verteilungsgesetzen von Zufallsvariablen 3. Näherungsformel und Lösungen mit Hilfe von Grenzwertsätzen 4. Schätzung von Modellparametern in der Statistik, Prüfung statistischer Hypothesen 10

11 Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit (im Prinzip unendlich oft) wiederholbaren Experimenten, in Folge derer ein Ereignis auftreten kann (oder nicht). Solche Ereignisse werden zufällige Ereignisse genannt. Sei A ein solches Ereignis. Wenn n(a) die Häufigkeit des Auftretens von A in n Experimenten ist, so hat man bemerkt, dass n(a) c geht. n Diese Konstante c nennt man Wahrscheinlichkeit von A und bezeichnet sie mit P(A)*. *P(ropability) 11

12 Relative Häufigkeit n(a) n des Ereignisses KOPF beim n-maligen Münzwurf 12

13 Man kann leicht feststellen, dass n(a) n => P(A) = für große n. Um dies zu verifizieren, hat Buffon in XVIII Jh mal eine faire Münze geworfen, davon war 2048 mal Kopf, so dass n(a) n = = 0,508. Pierson hat es mal gemacht: es ergab n(a) = und somit n(a) n = = 0,5005. In den Definitionen, die wir bald geben werden, soll diese n(a) empirische Begriffsbildung in P(A) = lim ihren Ausdruck n n finden. 13

14 10.4 Ereignisse E sei ein Grundraum und Ω E sei die (Grund-) Menge von Elementarereignissen {ω}. Ω kann als Menge der möglichen Versuchsergebnisse interpretiert werden. Man nennt Ω manchmal auch Grundgesamtheit oder Stichprobenraum. Definition Ereignis Eine Teilmenge A von Ω (A Ω ) wird Ereignis genannt. Dabei ist { ω } Ω ein Elementarereignis, das das Versuchsergebnis ω darstellt. Falls bei einem Versuch das Ergebnis ω A erzielt wurde, so sagen wir, dass A eintritt. 14

15 Beispiele 1. einmaliges Würfeln: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} E = N 2. n maliger Münzwurf: Ω = { (ω 1, ω 2,, ω n ) : ω i { 0, 1 } } E = N n = 1; falls ein Kopf im i ten Wurf 0; sonst 15

16 Limesbildung: Seien {A n } n=1, n N, beliebige Ereignisse aus Ω. 1. Das Ereignis lim n sup A n = k = 1n = k A n = {ω Ω k N n k ω A n } heißt Limes Superior der Folge {A n }. Es kann als { es geschehen unendlich viele Ereignisse A n } gedeutet werden. Bezeichnung: lim n sup A n 16

17 Limesbildung: Seien {A n } n=1, n N, beliebige Ereignisse aus Ω. 2. Das Ereignis lim n inf A n = k = 1n = k A n = {ω Ω k N n k ω A n } heißt Limes Inferior der Folge {A n }. Es kann als { ab einem gewissen Moment treten alle Ereignisse A n ein } gedeutet werden. Bezeichnung: lim n inf A n 17

18 Limesbildung: Seien {A n }, n N, beliebige Ereignisse aus Ω. n=1 3. Falls lim n sup A n = lim n inf A n dann sagt man, dass die Folge {A n } gegen A konvergiert. A n A ( n ) A = lim n A n 18

19 Folgerung (monotone Konvergenz): Seien {A n }, n N, beliebige Ereignisse von Ω. 1. Falls A 1 A 2 A 3, dann gilt lim A n = A = n Schreibweise: A n A. n = 1 A n. 2. Falls A 1 A 2 A 3, dann gilt lim A n = A = n Schreibweise: A n A. n = 1 A n. Prof. Dr. Evgeny Spodarev; VL Skript Uni Ulm ( Hier finden Sie auch die zugehörigen Beweise.) 19

20 Definition Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften: 1. Das Experiment ist unter gleichen äußeren Bedingungen beliebig oft wiederholbar. 2. Das Experiment besitzt mehrere sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse. 3. Die Ergebnisse im Experiment sind zufallsbedingt. 20

21 Begriffe ( teilweise Wiederholung ) Die möglichen, sich aber gegenseitig ausschließenden Ergebnisse eines Zufallsexperimentes heißen Elementarereignisse. ω i Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge. {ω i } Eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes heißt Ereignis. A i Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum. A i = Ω 21

22 Definition Unter einer Zufallsvariablen X verstehen wir eine Funktion, die jedem Elementarereignis e aus der Ergebnismenge E eines Zufallsexperimentes genau eine reelle Zahl x zuordnet: X(e)=x. Nachdem wir gelernt haben, dass Ereignisse eines Zufallsexperiments durch Mengen beschrieben werden, wollen wir auch die Verknüpfung von Ereignissen durch entsprechende Operationen in der Mengenlehre erklären. 22

23 Verknüpfungen von Ereignissen Die Vereinigung (oder Summe) A B von Ereignissen bedeutet: Entweder tritt A ein oder B oder A und B gleichzeitig. Der Durchschnitt (oder Produkt) A B von Ereignissen bedeutet: Die Ereignisse A und B treten gleichzeitig ein. Das zu A komplementäre Ereignis A bedeutet: Das Ereignis A tritt nicht ein. 23

24 Beispiele Zufallsexperiment Roulette Die Elementarereignisse im Roulette sind die Zahlen 0,1,2,...,36. Wir definieren zwei Ereignisse A und B, um sie zu verknüpfen: A = "Alle geraden Zahlen", A = {2,4,6,...,36} B = "Alle Zahlen im 1.Drittel", B = {1,2,3,...,12}. Dann bedeuten: A B = {1,2,3,...,11,12, 14,16,...,36} A B = {2,4,6,8,10,12} A=E\A= {0,1,3,5,...35}. 24

25 Beispiele Zufallsexperiment Wurf mit zwei Würfeln Die Elementarereignisse sind die 36 Zahlenpaare (1,1),(1,2),...,(6,6). Wir definieren zwei Ereignisse für die Verknüpfung: A = "Beide Augenzahlen sind gleich": A={(1,1),(2,2),...,(6,6)} B="Der zweite Würfel hat die Augenzahl 5": B={(1,5),(2,5),...(6,5)} Dann bedeuten: A B={(1,1),(2,2),...(6,6),(1,5),(2,5),...,(6,5)}, A B = {(5,5), A=E\A = {(1,2),1,3)...,(2,1),(2,3)(2,4),...,(6,5)} 25

26 Zweckdienlich zur Berechnung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die so genannten De Morgan schen Regeln: Für zwei beliebige Ereignisse A und B gelten folgende Regeln: 1. A B = A B 2. A B = A B 26

27 Tabelle: Wahrscheinlichkeitstheoretische Bedeutung von Mengenoperationen 27

28 10.5 Wahrscheinlichkeiten Laplace-Experiment Wird ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge E hinreichend oft wiederholt und zeigt sich dabei, dass keines der Elementarereignisse gegenüber einem anderen bevorzugt auftritt, so werden alle Ereignisse stets näherungsweise gleich häufig auftreten und wir sprechen von einem Laplace-Experiment. Beispiele: Wurf mit einer Münze Wurf mit einem Würfel 28

29 Anmerkung zum nächsten Beispiel Manche Zufallsexperimente entsprechen vom Ansatz zwar nicht den Bedingungen eines Laplace-Experiments, weil ihre Elementarereignisse nicht gleichmöglich sind, können aber durch eine modifizierte Formulierung zu einem Laplace- Experiment gemacht werden. 29

30 Beispiel Bei dem Ziehen einer Kugel aus einer Urne, die drei weiße und zwei schwarze Kugeln enthält, gibt es die zwei Elementarereignisse: A = Ziehen einer weißen Kugel, B = Ziehen einer schwarzen Kugel Die Möglichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist größer als die Möglichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. Es liegt daher kein Laplace-Experiment vor. Wenn wir die Kugeln zusätzlich durchnummerieren und damit unterscheiden, so erhalten wir ein Zufallsexperiment mit 5 gleichmöglichen Elementarereignissen und damit ein Laplace- Experiment. 30

31 Mit dem Laplace- Experiment können wir einen ersten Wahrscheinlichkeitsbegriff formulieren. Besteht eine Ergebnismenge aus n gleichmöglichen Elementarereignissen, so wird für das einzelne Elementarereignis e i mit 1 i n definitionsgemäß die folgende positive Zahl als Wahrscheinlichkeit definiert: P(e i ) = p i = 1 n. Setzt sich ein Ereignis A zusammen aus den g Elementen e k mit 1 k g, so wird die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von A definiert durch die Formel g P(A) =P({ e 1, e 2,..., e g }) = k=1 P(e k ) = g 1 k=1 = g n, worin der Buchstabe g auch symbolisieren soll, dass es sich um die für das Zufallsexperiment günstigen Fälle handelt. n 31

32 Streng mathematisch müssten wir in der Schreibweise unterscheiden zwischen P( e k ), worin e k ein Element ist, und P({e k }), worin nun { e k } ein Ereignis bzw. eine Teilmenge symbolisiert. Darauf wollen wir aber verzichten. Gemäß dieser Definition gilt natürlich für die Wahrscheinlichkeit P(A) eines beliebigen Ereignisses stets: P(A) 1, und für das sichere Ereignis gilt: P(E) = 1. Außerdem gilt offensichtlich P(A) =1 - P(A). Beispiele 1. Wurf mit einem Würfel ( 1 von 6 ) 2. Roulette ( 1 von 37 ) 3. Ziehung einer Kugel aus einer Urne ( 1 von 5, siehe oben ) 4. Lottoziehung ( 6 von 49 ) 5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(B) bei zehnmaligem Kartenziehen mindestens einen Buben zu ziehen? 32

33 In allen fünf Beispielen 1. Wurf mit einem Würfel ( 1 von 6 ) 2. Roulette ( 1 von 37 ) 3. Ziehung einer Kugel aus einer Urne ( 1 von 5, siehe oben ) 4. Lottoziehung ( 6 von 49 ) 5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(B) bei zehnmaligem Kartenziehen mindestens einen Buben zu ziehen? basiert die Berechnungsmöglichkeit darauf, dass alle unterscheidbaren Elementarereignisse gleich-wahrscheinlich sind. Dies ist aber meist nicht der Fall. Wir müssen deshalb den Wahrscheinlichkeitsbegriff verallgemeinern, um auch Zufallsexperimente mit nicht gleichmöglichen Elementarereignissen untersuchen zu können. 33