2. Machen Sie sich klar, dass jede denkbare Festsetzung fur die noch fehlenden\ Dierenzen durch Werte in N 0 unschone\ Konsequenzen hat.

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1 3 Die ganzen Zahlen 3.1 Historisches Die { bisher noch nicht erklarte { Subtraktion ist in N 0 nicht uneingeschrankt durchfuhrbar. Die negativen Zahlen wurden noch zu Zeiten von Rene Descartes als falsche\ Zahlen angesehen und vorsichtig wie eigentlich nicht existente, aber dennoch fur den Rechenweg hilfreiche Objekte angesehen, ahnlich wie auch spater noch Wurzeln oder imaginare Zahlen. Im 19. Jh. bezeichnete Leopold Kronecker die ganzen Zahlen als den naturgemaen Ausgangspunkt fur die Entwicklung des Zahlbegris\ (zit. nach Ebbinghaus et al. (1992), Zahlen, S. 18). Bekannt wurde sein Ausspruch: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaen. Alles andere ist Menschenwerk.\ Nach Dedekind sind jedoch schon die ganzen Zahlen freie Schopfungen des menschlichen Geistes\, namlich mengentheoretische Begrisbildungen. 3.2 Motivation In N 0 lasst sich fur bestimmte Zahlenpaare eine Operation denieren, die als Umkehrung der Addition angesehen werden kann. Denition 1 (Subtraktion) Die Abbildung A := f(a; b) 2 N 0 N 0 j a bg! N 0 mit (a; b) 7! a b := x :, a = x + b ordnet jedem Element (Zahlenpaar) aus A seine Dierenz zu. Bemerkungen: 1. Diese Abbildung ist keine Verknupfung, auch nicht auf einer Teilmenge von N 0, da z. B. (0; 1) nicht abgebildet wird. 2. Machen Sie sich klar, dass jede denkbare Festsetzung fur die noch fehlenden\ Dierenzen durch Werte in N 0 unschone\ Konsequenzen hat. 3. Die Subtraktion ist weder kommutativ noch assoziativ. Satz 1 (Distributivgesetz fur Dierenzen) Fur alle a; b; c 2 N 0 mit b c gilt: a(b c) = ab ac. Beweis: Ubung. Ziel ist es also, die Subtraktion so zu erweitern, dass alle in N 0 formal bildbaren Dierenzen auch einen Zahlenwert annehmen. Unabhangig von dem neuen Begri der Subtraktion konnen wir auch ebenso gut fordern, dass alle Gleichungen der Form a + x = b mit a; b 2 N 0 losbar sind. Da dies in N 0 nicht moglich ist, brauchen wir oenbar weitere Zahlen bzw. einen Zahlbereich, der in einer noch genauer zu spezizierenden Form die Menge N 0 umfasst. Da fur die neuen Zahlen anschlieend auch die bisherigen Strukturen (Operationen, Ordnungsrelation) erweitert werden mussen, soll hierbei { wie bei allen anderen Zahlbereichserweiterungen { das Permanenzprinzip beachtet werden. Dieses fordert, die Regeln so zu denieren, dass die Gesetze, die im bisherigen Zahlbereich gelten, also z.b. Kommutativ- und Assoziativgesetze, das Distributivgesetz sowie die Ordnungsrelationen, auch im neu konstruierten Zahlbereich so weit wie moglich gelten sollen. 3.3 Die Konstruktion der ganzen Zahlen Z Der einfachste Weg von einer gegebenen Menge { hier N 0 { zu einer groeren Menge zu kommen, ist der Ubergang zum kartesischen Produkt der Menge mit sich selbst (ein anderer ware die Bildung der Potenzmenge). So konnte also das Zahlenpaar (a; b) 2 N 0 N 0 fur die zu losende Gleichung a + x = b bzw. auch fur deren Losung stehen. Ausgehend von der Beobachtung, dass die bisher schon losbaren Gleichungen der Form a + x = b in gewissen Fallen gleiche Losungen

2 haben (z. B. werden 3 + x = 10 und 5 + x = 12 durch die gleiche Zahl gelost), so dass also nicht jedes Zahlenpaar fur die Losung jeweils einer Gleichung stehen kann, denieren wir folgende Relation in N 0 N 0 : Denition 2 Zwei Zahlenpaare (a; b) und (c; d) 2 N 0 N 0 geschrieben (a; b) (c; d), genau dann, wenn a + d = b + c. stehen in Relation zueinander, Satz 2 Durch obige Denition wird eine Aquivalenzrelation in N 0 N 0 erklart. Beweis: Wir zeigen exemplarisch die Transitivitat. Sei also (a; b) (c; d) und (c; d) (e; f). Dann gilt a + d = b + c sowie c + f = d + e. Addition der beiden Gleichungen fuhrt auf a + d + c + f = b + c + d + e, woraus sich mit der Kurzungsregel (und der Kommutativitat und der Assoziativitat) ergibt: a + f = b + e, also (a; b) (e; f). Nach Kap. 1, Satz 2, bewirkt diese Aquivalenzrelation also eine Zerlegung der Menge N 0 N 0 in (disjunkte) Aquivalenzklassen. Eine solche Aquivalenzklasse (a; b) hat die Gestalt (a; b) := f(x; y) j a + y = b + xg. Z. B. ist (4; 6) = f(0; 2); (1; 3); (2; 4); : : : (56; 58); : : :g bzw. (4; 6) = (10; 12) = (99; 101) usw. Man sieht leicht, dass jede Aquivalenzklasse unendlich viele Reprasentanten hat. Auerdem ist (0; b a); falls b a (a; b) = (a b; 0); falls a > b Fur die Menge der Aquivalenzklassen fuhren wir folgende Bezeichnung ein. Denition 3 (Faktormenge) Sei M eine Menge und eine Aquivalenzrelation in M. Fur alle a 2 M bezeichne Ka die Aquivalenzklasse des Reprasentanten a. Dann heit M= := fka j a 2 M g Faktormenge von M bezuglich der Aquivalenzrelation. Bemerkung: Man beachte: Die Elemente der Faktormenge sind Mengen. Denition 4 (Menge der ganzen Zahlen) sei die oben denierte Relation in N 0 N 0. Die Menge Z := (N 0 N 0 )= heit Menge der ganzen Zahlen. Bemerkung: Eine ganze Zahl ist also eine Aquivalenzklasse (d. h. eine Menge) der obigen Aquivalenzrelation: Fur die ganze Zahl z = (a; b) gilt also: z 2 Z bzw. z N 0 N Die Addition in Z Zur Denition der Addition in Z erklaren wir zuerst eine Addition in N 0 N 0. Denition 5 (Addition in N 0 N 0 ) Die Summe der Paare (a; b) und (c; d) 2 N 0 N 0 wird deniert durch: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d). Folgerung: Die so denierte Addition in N 0 N 0 ist kommutativ, assoziativ und hat das neutrale Element (0; 0). Beweis: Klar. Satz 3 Die so denierte Addition in N 0 N 0 ist vertraglich mit der Relation, d. h. wenn (a; b) (a 0 ; b 0 ) und (c; d) (c 0 ; d 0 ), dann ist auch (a; b) + (c; d) (a 0 ; b 0 ) + (c 0 ; d 0 ). Beweis: Aus a + b 0 = b + a 0 und c + d 0 = d + c 0 folgt durch Addition der beiden Gleichungen a + b 0 + c + d 0 = b + a 0 + d + c 0 und daraus die Behauptung. Dies rechtfertigt folgende Denition.

3 Denition 6 (Addition in Z) Die Summe der ganzen Zahlen (a; b) und (c; d) wird deniert als: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d). Bemerkung: Da durch diese Denition die Addition in (der Faktormenge) Z mit Hilfe von Reprasentanten der jeweiligen ganzen Zahlen erklart wird, ist die Aussage des vorhergehenden Satzes unerlasslich, da diese sicherstellt, dass das Ergebnis der Addition zweier ganzer Zahlen nicht von der Wahl der Reprasentanten abhangig, sondern reprasentantenunabhangig ist. Beispiel: Nach Denition ist (7; 2) + (6; 10) = (7 + 6; ) = (13; 12). Da die zu addierenden ganzen Zahlen auch durch andere Reprasentanten dargestellt werden konnen, sollte folgende Rechnung das gleiche Ergebnis liefern: (10; 5) + (0; 4) = (10 + 0; 5 + 4) = (10; 9). In der Tat ist (13; 12) = (10; 9) = (1; 0). Satz 4 Die Addition in Z ist eine assoziative und kommutative Verknupfung mit dem neutralen Element (0; 0). Zu jeder ganzen Zahl existiert eine bezuglich der Addition inverse ganze Zahl. Beweis: Alle Aussagen bis auf die letzte sind klar. Zur ganzen Zahl (a; b) ist (b; a) invers, denn (a; b) + (b; a) = (a + b; b + a) = (0; 0). Mit folgender Denition Denition 7 (Gruppe) Sei (M; ) ein Verknupfungsgebilde. (M; ) heit Gruppe, falls gilt: (G1) (M; ) ist assoziativ, (G2) (M; ) besitzt ein neutrales Element n, d. h. es existiert n 2 M, so dass fur alle a 2 M gilt: a n = n a = a, (G3) in (M; ) existiert zu jedem Element ein inverses Element, d. h. fur alle a 2 M existiert a 1 2 M, so dass a a 1 = a 1 a = n, Ist (M; ) auerdem kommutativ, so heit (M; ) kommutative oder Abelsche Gruppe. konnen wir folgern: Satz 5 (Z; +) ist eine kommutative Gruppe. Das zu (a; b) 2 Z inverse Element ist { wie in jeder Gruppe (vgl. Ubung) { eindeutig bestimmt. Es wird mit (a; b) bezeichnet. Damit konnen wir die Subtraktion in Z erklaren: Denition 8 (Subtraktion in Z) Fur (a; b); (c; d) 2 Z sei ihre Dierenz erklart durch (a; b) (c; d) := (a; b) + ( (c; d)) = (a; b) + (d; c) = (a + d; b + c). Es bleibt die Frage: Was haben die neuen Zahlen mit den naturlichen Zahlen zu tun? Es gilt der Satz 6 Die Abbildung i : N! Z mit a 7! (a; 0) ist injektiv und mit der Addition vertraglich. Daher ist die Menge i(n) Z isomorph zu N. Beweis: Ubung. N ist kanonisch isomorph\ zu i(n) bzw. kanonisch eingebettet\ in Z. Daher identiziert man ublicherweise diese beiden isomorphen Mengen. Damit ist also (a; 0) = a. Es ergibt sich (0; a) = (a; 0) = a. Die ganze Zahl (a; b) kann dann auch als a b geschrieben werden, so dass wir jetzt die ganzen Zahlen auch als ( Aquivalenzklassen von) Dierenzen naturlicher Zahlen auassen konnen. Da es nun eine Subtraktion fur alle naturlichen Zahlen gibt, konnen wir auch schreiben: Z = fa b j a; b 2 Ng. Ferner fuhrt man ein: Z + = N und Z = f n j n 2 Ng, so dass Z = Z [ f0g [ Z +.

4 3.5 Die Multiplikation in Z Da eine ganze Zahl als Dierenz geschrieben werden kann, fordern wir versuchsweise ein Distributivgesetz fur beliebige Dierenzen: (a b) (c d) = (ac + bd) (ad + bc) und denieren: Denition 9 (Multiplikation in Z) Fur alle a; b; c; d 2 N 0 wird deniert: (a; b) (c; d) = (ac + bd; ad + bc) Wir mussen zeigen, dass diese Denition reprasentantenunabhangig ist: Sei (a 0 ; b 0 ) (a; b), also a 0 + b = b 0 + a (1), und (c 0 ; d 0 ) (c; d), also c 0 + d = d 0 + c (2). Aus (1) folgt sowohl a 0 c 0 +bc 0 = b 0 c 0 +ac 0 (3) (Multiplikation mit c 0 ) als auch b 0 d 0 +ad 0 = a 0 d 0 +bd 0 (4) (Multiplikation mit d 0 und Vertauschung der Seiten). Aus (2) folgt sowohl ac 0 +ad = ad 0 +ac (5) (Multiplikation mit a) als auch bd 0 +bc = bc 0 +bd (6) (Multiplikation mit b und Vertauschung der Seiten). Nach Addition der Gleichungen (3){(6) folgt die Behauptung. Satz 7 Die Verknupfung in Z ist kommutativ und assoziativ und hat (1; 0) als neutrales Element. (Z; ) ist also eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element. Es gilt die Kurzungsregel fur die Multiplikation: Fur alle x; y; z 2 Z mit z 6= 0 gilt: Falls xz = yz ) x = y. Beweis: Die Kommutativitat folgt unmittelbar aus der Denition in Verbindung mit dem (KG + ) in N. Fur die Assoziativitat: ((a; b) (c; d)) (e; f) = (ac + bd; ad + bc) (e; f) = (ace + bde + adf + bcf; acf + bdf + ade + bce) = (a(ce + df) + b(de + cf); a(cf + de) + b(df + ce)) = (a; b) (ce + df; de + cf) = (a; b) ((c; d) (e; f)) Die Neutralitatseigenschaft von (1; 0) ist oensichtlich. Sei x = (a; b); y = (c; d) und z = (m; n) mit m 6= n. (a; b) (m; n) = (c; d) (m; n), (am + bn; an + bm) = cm + dn; dm + cn, am + bn + dm + cn = an + bm + cm + dn (*). Nun muss entweder m < n oder n < m gelten. O.B.d.A. sei ersteres der Fall: m < n, dann ist n m 2 N. Aus (*) folgt dann bn + cn bm cm = an + dn am dm, (b + c)(n m) = (a + d)(n m). Aus der Kurzungsregel in N 0 folgt dann die Behauptung. Satz 8 (Distributivgesetz in Z, DG) Fur alle ganzen Zahlen x; y; z 2 Z gilt: x(y + z) = xy + xz. Beweis: Ubung. Eine algebraische Struktur mit diesen Eigenschaften erhalt einen neuen Namen: Denition 10 (Ring) Sei M 6= ; eine Menge mit zwei Verknupfungen und. (M; ; ) heit Ring, falls gilt: (R1) (M; ) ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0), (R2) (M; ) ist eine Halbgruppe, (R3) es gelten beide Distributivgesetze, d. h. fur alle a; b; c 2 M gilt: a (b c) = a b a c und (a b) c = a c b c.

5 Ist (M; ) auerdem kommutativ, so heit (M; ; ) kommutativer Ring. Besitzt (M; ) ein neutrales Element, so heit (M; ; ) Ring mit Einselement. Gilt in M fur alle a; b 2 M: a b = 0 ) a = 0 oder b = 0, so heit (M; ; ) nullteilerfrei. Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit Einselement heit Integritatsring oder Integritatsbereich. Bemerkung: In einem kommutativen Ring genugt es, eines der beiden Distributivgesetze zu fordern. Es gelten dann beide. In nichtkommutativen Ringen mussen jedoch auch beide erfullt sein. Satz 9 (Z; +; ) ist Integritatsring. Beweis: Wir mussen nur noch die Nullteilerfreiheit zeigen: Sei hierzu x = (a; b), y = (c; d). xy = 0, (ac + bd; ad + bc) = (0; 0), ac + bd = ad + bc. Nun ist c d oder d c. O.B.d.A. sei c d, dann ist c d 2 N 0 und es folgt: a(c d) = b(c d). Nun ist a b oder b a. O.B.d.A. sei wiederum a b, dann ist a b 2 N 0. Es folgt: (a b)(c d) = 0. Wegen Ubung folgt a = b, also x = 0, oder c = d, also y = Die Anordnung der ganzen Zahlen Denition 11 (Anordnung in Z) Auf Z werden die Relationen \ und <\ (sowie \ und >\) wie folgt erklart (x; y 2 Z): 1. Fur alle x; y 2 Z sei x y (bzw. y x) :, y x 2 N Wir schreiben x < y (bzw. y > x) genau dann, wenn x y und x 6= y. Satz 10 Fur alle ganzen Zahlen gilt: (a; b) (c; d), a + d b + c. Beweis: (a; b) (c; d), (c; d) (a; b) = (c; d) + (b; a) 2 N 0, (b + c; a + d) 2 N 0, ((b + c) (a + d); 0) 2 N 0, (b + c) (a + d) 2 N 0, a + d b + c Satz 11 Die Relation \ ist eine Ordnungsrelation. Die Relation <\ ist transitiv. Beweis: Der Satz folgt mit Satz 10 aus der entsprechenden Aussage in N 0. Satz 12 (Trichotomiegesetz) Fur alle x; y 2 Z gilt stets genau einer der Falle x < y, x = y oder y < x. Folgerung: Fur alle x; y 2 Z ist x y oder y x, d. h. die Ordnung ist linear (bzw. total): Je zwei Elemente aus Z konnen verglichen werden.\ Beweis des Satzes: Der Satz folgt mit Satz 10 aus der Trichotomie in N 0. Satz 13 (Monotoniegesetze der Addition und Multiplikation) Fur alle x; y; z 2 Z gilt: 1. x < y ) x + z < y + z 2. Falls z > 0: x < y ) x z < y z Bemerkung: (1) gilt auch mit \. (2) gilt mit \ sogar fur z = 0. Beweis: Der Satz folgt mit Satz 10 aus der Monotonie in N 0.

6 3.7 Ubungen 1. Beweisen Sie Satz 1 mit den bis dahin zur Verfugung stehenden Regeln. 2. Veranschaulichen Sie sich die Aquivalenzklassen in N 0 N 0 graphisch, indem Sie die Elemente des kartesischen Produkts als Punkte in einem zweidimensionalen Gitter darstellen. Wo liegen jeweils die Elemente einer Klasse? 3. Geben Sie die Menge der ganzen Zahlen (N 0 N 0 )= in aufzahlender Form durch Angabe der Aquivalenzklassen an, indem Sie auf die gleiche Reihenfolge wie in der ublichen Aufzahlung der ganzen Zahlen (Z = f0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; : : :g) zuruckgreifen. 4. Zeigen Sie folgende Folgerungen aus den Gruppenaxiomen. a) In jeder Gruppe ist das neutrale Element stets eindeutig. b) In jeder Gruppe ist das inverse Element stets jeweils eindeutig. c) In jeder Gruppe gilt die Kurzungsregel. 5. Zur Regel Minus mal Minus gibt Plus.\: a) Zeigen Sie anhand der Denition der Multiplikation in Z die Gultigkeit der Regel. b) Leiten Sie die Regel in einer fur Schuler nachvollziehbaren Weise aus der Forderung der Gultigkeit des Distributivgesetzes im Sinne des Permanenzprinzips her. 6. Untersuchen Sie (2Z; +; ) (die geraden Zahlen) im Hinblick auf Denition Untersuchen Sie (Zm; +; ) (die Restklassen mod m) mit m = 7 bzw. m = 8 im Hinblick auf Denition 10.