Mathematik für Informatiker 1 Tutorium

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1 Mathematik für Informatiker 1 Tutorium Malte Isberner M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

2 Thema heute Thema heute: Verbände M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

3 Verbände Was ist ein Verband? M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

4 Verbände Was ist ein Verband? Ordnungstheoretisch Eine halbgeordnete Menge (V, ) heißt (ordnungstheoretischer) Verband wenn zu je zwei Elementen u, v V eine größte untere Schranke (Infimum) sowie eine kleinste obere Schranke (Supremum) existieren. M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

5 Verbände Was ist ein Verband? Ordnungstheoretisch Eine halbgeordnete Menge (V, ) heißt (ordnungstheoretischer) Verband wenn zu je zwei Elementen u, v V eine größte untere Schranke (Infimum) sowie eine kleinste obere Schranke (Supremum) existieren. Algebraisch Eine Struktur (V,, ) heißt (algebraischer) Verband wenn die Verknüpfungen und assoziativ und kommutativ sind, und ferner die Absorptionsgesetze gelten. M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

6 Verbände Was ist ein Verband? Ordnungstheoretisch Eine halbgeordnete Menge (V, ) heißt (ordnungstheoretischer) Verband wenn zu je zwei Elementen u, v V eine größte untere Schranke (Infimum) sowie eine kleinste obere Schranke (Supremum) existieren. Algebraisch Eine Struktur (V,, ) heißt (algebraischer) Verband wenn die Verknüpfungen und assoziativ und kommutativ sind, und ferner die Absorptionsgesetze gelten. Ordnungstheoretischer vs. algebraischer Verband Jeder algebraische Verband ist ein ordnungstheoretischer Verband (und umgekehrt) (Sätze 7.3 bzw. 7.5) M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

7 Verbände Typische Aufgaben Typische Aufgaben zum Thema Verbände: Sei V eine Menge und V V eine Relation mit v 1 v 2 :.... Weisen Sie nach, dass (V, ) ein [vollständiger] Verband ist. Sei V eine Menge, und seien : V V V und : V V V Operationen auf V. Weisen Sie nach, dass (V,, ) ein Verband ist. Sei (V, ) ein Verband, und sei U = df... V eine Teilmenge von V. Weisen Sie nach, dass (U, ) ein Verband ist. Sei (V,, ) ein Verband, und sei U = df... V eine Teilmenge von V. Weisen Sie nach, dass (U,, ) ein Verband ist. Sei (V, ) bzw. (V,, ) ein Verband. Ist dieser Verband distributiv? M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

8 Verbände Ordnungstheoretischer Verbandsnachweis Nachweisen, dass (V, ) ein (ordnungstheoretischer) Verband ist. Herangehensweise Was ist zu zeigen? ist part. Ordnung auf V (!) Bekannt... u, v V. inf{u, v} existiert Nimm u, v als beliebig (aber fest) gewählt an. Wähle dann ein Element w, welches das (vermeintliche) Infimum von u und v ist (Achtung: Kein Kochrezept, abhängig von. Allerdings Halbordnung oft über andere Verbandsordnungen definiert... ) Beweise die Infimumseigenschaft für w: Beweis, dass w untere Schranke ist (oft einfach) Beweis, dass w größte untere Schranke ist: Nimm an, dass untere Schranke w mit w w existiert und zeige Widerspruch. u, v V. sup{u, v} existiert. Beweis analog zu inf M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

9 Verbände Algebraischer Verbandsnachweise Nachweisen, dass (V,, ) ein Verband ist. Herangehensweise Was ist zu zeigen? Verbandseigenschaften von und :, sind assoziativ, sind kommutativ Es gelten die Absorptionsgesetze für, M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

10 Verbandsnachweis Beispiele Beispielaufgabe ordnungstheoretisch Seien (U, U ) und (V, V ) (vollständige) Verbände. Auf U V sei die Relation U V wie folgt definiert: (u, v) U V (u, v ) : u U u v V v Zeigen Sie: (U V, U V ) ist ebenfalls ein (vollständiger) Verband. M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

11 Verbandsnachweis Beispiele Beispielaufgabe ordnungstheoretisch Seien (U, U ) und (V, V ) (vollständige) Verbände. Auf U V sei die Relation U V wie folgt definiert: (u, v) U V (u, v ) : u U u v V v Zeigen Sie: (U V, U V ) ist ebenfalls ein (vollständiger) Verband. Beispielaufgabe algebraisch Seien (U, U, U ) und (V, V, V ) Verbände. Die Operationen U V und U V seien als binäre innere Verknüpfungen wie folgt definiert: (u, v) U V (u, v ) = df (u U u, v V v ) (u, v) U V (u, v ) = df (u U u, v V v ) Zeigen Sie: (U V, U V, U V ) ist ebenfalls ein Verband. M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

12 Verbände Teilverband Sei (V, ) ein Verband. Sei U = df... V eine Teilmenge von V. Weisen Sie nach, dass (U, ) ein (vollständiger) Verband ist. Herangehensweise Im Prinzip wie Verbandsnachweis, aber: ist part. Ordnung auf V, also insbesondere auch auf U. Infima und Suprema müssen bzgl. in U existieren. Achtung: Infima und Suprema für Elemente u, v V können in U anders sein! Oft: Infima/Suprema in V lassen sich eindeutig ergänzen zu/reduzieren auf Elemente in U. Beispiel: Menge T (M) der transitiven Relationen auf einer Menge M mit Inklusionsbeziehung (Teilverband von (P(M M), ). M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

13 Verbände Unterverband Sei (V,, ) ein Verband. Sei U = df... V eine Teilmenge von V. Weisen Sie nach, dass (U,, ) ebenfalls ein Verband ist. Herangehensweise Wichtiges Prinzip: Abschlussbeweis! Assoziativität, Kommutativität und Absorption gelten für und auf ganz V, also insbesondere auch auf U. Aber: Definitionsbereich ist : V V V ( analog) Zu zeigen: Abgeschlossenheit, d.h.: für alle u, v U ist auch u v U ( analog) Beispiel: Menge der endlichen und co-endlichen Teilmengen von N (Unterverband von (P(N),, ). M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

14 Verbände Distributivität Sei (V,, ) ein Verband. Ist dieser Verband distributiv? Herangehensweise Distributivität bedeutet: u, v, w V.u (v w) = (u v) (u w) Möglichkeit 1: Über die Definition von und (axiomatisch) nachweisen, dass dies gilt bzw. Elemente u, v, w finden, für die das nicht gilt. Möglichkeit 2: Wenn ein endlicher Verband explizit (z.b. als Hasse-Diagramm) gegeben ist: ausprobieren oder (eleganter) prüfen, ob ein kleinster nichtdistributiver Verband ein Unterverband ist M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

15 Kleinste nichtdistributive Verbände Kleinste nichtdistributive Verbände 1 a b c 0 a b 1 0 c a (b c) = a 1 = a (a b) (a c) = 0 0 = 0 b (a c) = b 0 = b (b a) (b c) = a 1 = a M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

16 Kleinste nichtdistributive Verbände Kleinste nichtdistributive Verbände 1 a b c 0 a b 1 0 c a (b c) = a 1 = a (a b) (a c) = 0 0 = 0 b (a c) = b 0 = b (b a) (b c) = a 1 = a Jeder nichtdistributive Verband enthält einen dieser beiden Verbände als Unterverband! M. Isberner MafI1-Tutorium / 12

17 Verbände Weitere Beispiele Sei (A, A ) ein Verband und M eine Menge. Zeigen Sie: (A M, A M ) ist ebenfalls ein Verband, wobei A M A M wie folgt definiert sei: f A M g df m M.f (m) g(m) Sei (V,, ) ein distributiver Verband und sei v V beliebig. Es sei die Funktion f v : V V definiert als f v (u) = df u v Zeigen Sie: (Bild(f v ),, ) ist ein Verband. Sei (V,, ) ein distributiver Verband und sei v V beliebig. Es sei die Funktion g v : V V definiert als g v (u) = df u v Zeigen Sie: (Bild(g v ),, ) ist ein Verband. Sei (V, ) ein distributiver Verband und seien v 1, v 2 V mit v 1 v 2. Zeigen Sie: Die Menge {x v 1 x v 2 } bildet mit einen Verband. M. Isberner MafI1-Tutorium / 12