Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 5. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11

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1 Mathematik für Informatiker I Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Musterlösungen zum Hausübungsblatt 5 Aufgabe 1 (a) Additionstafel in Z 7 : + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] (b) Multiplikationstafel in Z 7 : + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1] (4+4 Punkte) 1

2 Aufgabe 2 Es gilt x A B x A x B x sup A x sup B x min{sup A, sup B}. Daher ist min{sup A, sup B} eine obere Schranke für A B, und nach der Definition des Supremums als kleinste obere Schranke gilt dann Wähle A = {0, 1} und B = {0, 2}. Dann ist sup(a B) min{sup A, sup B}. sup(a B) = sup({0}) = 0 < 1 = min{1, 2} = min{sup A, sup B}. (5 Punkte) Aufgabe 3 (a) Zunächst benötigen wir, dass (y x) = x y. Da (y x) das inverse Element bezüglich der additiven Verknüpfung von (y x) ist, rechnen wir einfach nach, ob (x y) + (y x) = 0 ist. (x y) + (y x) = (x + ( y)) + (y + ( x)) = x + (( y) + y) + ( x) (Assoziativgesetz) = x ( x) (Inverses Element der Addition) = x + ( x) (Neutrales Element der Addition) = 0 (Inverses Element der Addition). Es seien nun x, y K, dann ist y x K. Da der Positivbereich P mit P, {0}, P eine Partition von K bildet, gilt: entweder y x P y > x oder y x {0} y = x oder y x P (y x) = x y P x > y, 2

3 (b) Es sei wieder P der Positivitätsbereich, dann sind außerdem x < y y x P, y < z z y P, z x = z + y + ( y) x (Def. neutrales Element) = z + ( y) + y x (Kommutativgesetz) = (z y) + (y x). (Assoziativgesetz) Aus der Abgeschlossenheit von P bzgl. + folgt z x = (z y) + (y x) P. (c) Es gilt bezüglich des Positivitätsbereiches P : x < y y x P z < w w z P, d. h. wegen der Abgeschlossenheit von P bzgl. + ist (w z) + (y x) P. Nun ist Aus (w z) + (y x) = w + ( ( z) + y ) + ( x) (Assoziativgesetz) = w + ( y + ( z) ) + ( x) (Kommutativgesetz) = (w + y) + ( ( z) + ( x) ). (Assoziativgesetz) (w + y) + ( ( z) + ( x) ) = (w + y) (z + x) könnte man dann wegen der Gleichheit der durchgeführten Operationen (w + y) (z + x) P w + y > z + x folgern, und nach einer weiteren Anwendung des Kommutativgesetzes zur Vertauschung von z und x wären wir fertig. Zu zeigen ist also noch ( z) + ( x) = (z + x). Wie in (a) rechnen wir nach, ob ( z) + ( x) + (z + x) = 0 ist. ( z) + ( x) + (z + x) = ( x) + ( z) + (z + x) (Kommutativgesetz) = ( x) + ( ( z) + z ) + x (Assoziativgesetz) = ( x) + ( z + ( z) ) +x (Kommutativgesetz) }{{} =0 = x + ( x) (Kommutativgesetz) = 0. 3

4 (d) (i) Zu zeigen: x < y z > 0 x z < y z. Zunächst ist x < y y x P. Mit der Abgeschlossenheit von P bezüglich der multiplikativen Verknüpfung folgt z (y x) P z y z x P (Distributivgesetz) z y > z x. (ii) Zu zeigen: x < y z < 0 x z > y z. Nach dem Distributivgesetz ist für beliebige u, v auch uv + u( v) = u(v v) = u 0 = 0, also ist u( v) = (uv). Analog zeigt man ( u)v = (uv), und wegen ( u) = u folgt ( ) ( u)( v) = uv. Sind nun x < y und z < 0, so sind y x P und z P. Es gilt dann xz yz = (x y)z (Distributivgesetz) = ( (x y))( z) (nach ( )) = (y x) ( z) }{{}}{{} P P P und daher die Behauptung. (da (y x) + (x y) = y + ( x) + x + ( y) = 0) Obwohl in der Aufgabe nicht verlangt, geben wir im Folgenden der Vollständigkeit halber noch Beweise der übrigen beiden Eigenschaften angeordneter Körper aus Satz 8.9 der Vorlesung an. (e) (i) Additive Inversion zu zeigen: x > 0 x < 0. Es gilt x > 0 x P x P x < 0. (ii) Zu zeigen: x < y x > y. 4

5 Es ist x < y y x P (y x) P ( y) + x P ( y) + x < 0 y < x. (analog zum Vorgehen in Teil (c)) (iii) Multiplikative Inversion zu zeigen: 0 < x < y 0 < y 1 < x 1. Gegeben ist 0 < x < y, d. h. insbesondere x P, y P. x 1 und y 1 sind definiert bezüglich des neutralen Elements 1 der Multiplikation: x x 1 = 1 und y y 1 = 1. Ist 1 aus P? Ja, denn angenommen, es wäre nicht aus P, dann wäre ( 1) P und folglich ( 1) ( 1) P aufgrund der Abgeschlossenheit von P bezüglich der multiplikativen Verknüpfung. Auf der anderen Seite gilt mit 0 = 0 ( 1), dass 0 = 1 + ( 1) = (1 + ( 1)) ( 1) (0 = 0 ( 1)) = 1 ( 1) + ( 1) ( 1) (Distributivgesetz) = ( 1) 1 + ( 1) ( 1) = ( 1) + ( 1) ( 1). (Kommutativgesetz) Folglich ist ( 1) ( 1) das inverse Element zu ( 1) bezüglich der additiven Verknüpfung, d. h. ( 1) ( 1) }{{} P = }{{} 1. P nach Annahme Daher ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme, und folglich ist 1 P. Ebenso gehören x 1 und y 1 wegen der Abgeschlossenheit der Multiplikation zu P, denn sonst würde (exemplarisch für x) nicht gelten }{{} x x 1 = }{{} 1 P } {{ P } wahr. Damit ist schon ein Teil der gewünschten Aussage bewiesen. Des weiteren gilt 0 < x < y y x P, 5

6 und dies impliziert wegen x 1 P, dass x 1 (y x) P ist. Weiter formt man um x 1 (y x) = x 1 y x 1 x (Distributivgesetz) = x 1 y x x 1 (Kommutativgesetz) = x 1 y 1 = x 1 y y y 1 Damit dies in P liegt, muss gelten = x 1 y y 1 y (Kommutativgesetz) = ( x 1 y 1) y. (Distributivgesetz) x 1 y 1 P x 1 > y 1. (f) Positivität des Quadrates zu zeigen: x 0 x 2 > 0. Beweis durch Fallunterscheidung. Fall 1: x > 0, also x P. Wegen der Abgeschlossenheit von P bezüglich Multiplikation folgt x x = x 2 P. Fall 2: x < 0, also x P. Wegen der Abgeschlossenheit von P bezüglich Multiplikation ist ( x) ( x) P. Definiere nun x, y, z mit y := 0 und z := x und benutze Aussage (d)(ii): (d)(ii): x < y und z < 0 x z > y z eingesetzt: x < 0 und x < 0 x x > 0 x. Da die Gleichheit 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x offenbar nur gelten kann, wenn 0 x = 0 das neutrale Element der Addition ist, folgt die Behauptung. 6