Mathematik wirklich verstehen

Transkript

1 Mathematik wirklich verstehen Eine Einführung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen Von Arnold Kirsch 3. verbesserte Auflage Aulis Verlag Deubner & Co KG Köln

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 11 Teil A Zahlen Vorbemerkungen 13 Kapitel 1 Natürliche Zahlen Wozu verwendet man die natürlichen Zahlen? Was bedeuten dann die Operationen +,, <? Ordinale und kardinale Verwendung Eineindeutige Zuordnungen Anzahlbestimmung durch eineindeutiges Zuordnen Endlich und unendlich Zur Bedeutung der Operationen +,, < 19 Aufgaben Anzahlbestimmung mittels Summenregel und Produktregel Summenregel Geordnete Paare, Kreuzprodukt, Produktregel Allgemeine Produktregel 25 Aufgaben Die Stellenwertschreibweise für natürliche Zahlen; Beispiele für Algorithmen Division mit Rest Darstellung natürlicher Zahlen in einem Stellenwertsystem Ausrechnen von Potenzsummen; Homer-Schema Wie spiegeln sich die Operationen +,, < in der Stellenwertschreibweise wider? Ergänzung: Der euklidische Algorithmus 36 Aufgaben Primzahlen als Bausteine" vonim Primzahlen Primfaktorzerlegung Die Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Erste Folgerungen aus der Eindeutigkeit der PFZ 42 Aufgaben Kapitel 2 Bruchzahlen (positive rationale Zahlen) und Größen Schreibweisen (Bezeichnungen) für Bruchzahlen Bezeichnung durch gewöhnliche Brüche; Addition und Multiplikation Bezeichnung durch Dezimalbrüche Stellt jeder periodische Dezimalbruch eine Bruchzahl dar, und wie findet man deren Bruchdarstellung? 48 Aufgaben Verwendung der Bruchzahlen als Maßzahlen; Rechnen mit Größen Größenmäßige Beschreibung von Gegenständen durch Maßzahl und Maßeinheit Was sind Größen; wie vergleicht und addiert man sie? Grundlegende Rechengesetze für Größen 53 5

3 2.2.4 Teilbarkeitseigenschaft; Vervielfachung von Größen mit Bruchzahlen Division und Multiplikation von Größen 57 Aufgaben Wichtige Unterschiede zwischen den Zahlbereichen IN und (Q Lösbarkeit jeder Gleichung ax=b Dichtheit der Bruchzahlen Endlichkeit, Beschränktheit und größte Zahl einer Zahlenmenge 61 Aufgaben Kapitel 3 Rationale (insbesondere ganze, auch negative) Zahlen Wozu verwendet man die rationalen Zahlen? Was bedeuten dann die Rechenoperationen? Verwendungszwecke Bedeutung der Kleinerbeziehung und der Addition Gegenzahlbildung, Subtraktion Bedeutung der Multiplikation 66 Aufgaben Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation in (Q Körper-Axiome Erste Definitionen und Beweise Verwendung des Distributivgesetzes und der multiplikativen Inversen 72 Aufgaben Die Kleinerbeziehung in Q; Betrag einer rationalen Zahl Anordnungsaxiome Definitionen und Beweise auf Grund der Anordnungsaxiome Hinweise zur Gleichheitsbeziehung Betrag einer rationalen Zahl 77 Aufgaben Runden von Zahlen; elementare Fehlerrechnung Runden; zuverlässige und gesicherte Ziffern Absoluter und relativer (prozentualer) Fehler Fortpflanzung absoluter Fehler bei den Grundrechenarten Fortpflanzung relativer Fehler bei den Grundrechenarten 85 Aufgaben Kapitel 4 Reelle Zahlen Wozu benötigt man die reellen Zahlen? Inkommensurable Streckenpaare Unzulänglichkeiten der rationalen Zahlen Reelle Zahlen; irrationale Zahlen 90 Aufgaben Reelle Zahlen und Dezimalbrüche; Rechengesetze Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Dezimalbrüchen Rechengesetze für reelle Zahlen Intervallschachtelungs-Axiom, Archimedisches Axiom 95 Aufgaben Einiges über Wurzeln 97 6

4 4.3.1 Wurzeln und Gleichungslösungen Arithmetisches und geometrisches Mittel Verfahren zur Quadratwurzelberechnung 100 Aufgaben Teil B Mengen, Aussagen, Beweise 105 Vorbemerkungen 105 Kapitel 5 Aussageformen und ihre Erfüllungsmengen Beschreibung von Mengen mittels Aussageformen Aufzählende und beschreibende Schreibweise Äquivalenz von Aussageformen Gleichungslehre" Mengen von Zahlenpaaren; zweistellige Aussageformen 110 Aufgaben Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit von Aussageformen; Allaussagen und Existenzaussagen Allgemeingültigkeit, Allaussagen Erfüllbarkeit, Existenzaussagen Teilweise (oder: schrittweise) Quantifizierung einer zweistelligen Aussageform Negation von All- und Existenzaussagen 116 Aufgaben Kapitel 6 Operationen für Aussagen und Mengen Die aussagenlogischen Operationen und ihre Entsprechung zu Mengenoperationen Erinnerung an die Aussagenlogik Entsprechungen zwischen logischen und Mengenoperationen Beispiele, insbesondere Gleichungs- und Ungleichungssysteme Wichtige Kombinationen von nicht", und", oder" 123 Aufgaben Rechenregeln für die Mengenoperationen und Beweisverfahren dafür O, U,~ als Operationen in der Potenzmenge Wichtige Rechenregeln für n, U,~ Beweise mittels Zugehörigkeitstafeln Beweise mittels Venn-Diagrammen Beweise durch Folgern aus Grundgesetzen 129 Aufgaben Vereinigung und Durchschnitt von beliebig vielen Mengen; Klasseneinteilungen Vereinigung unendlich vieler Mengen Durchschnitt unendlich vieler Mengen Klasseneinteilungen einer Menge 135 Aufgaben Kapitel 7 Wenn dann" und also" Implikation und Äquivalenz Der Junktor =>" in der Aussagenlogik 138 7

5 7.1.2 Beispiele aus der Mathematik Der Junktor <=»" Sprachliche Formulierungen für Wenn-dann-Aussagen und Genau-dann-wenn- Aussagen Umkehrung und Kontraposition von Wenn-dann-Aussagen 144 Aufgaben Die Mengen-Inklusion und ihre Eigenschaften Entsprechungen zwischen der Implikation und der Mengeninklusion Wichtige Eigenschaften der Mengen-Inklusion 146 Aufgaben Hinweise zum Gebrauch des Wortes also"; Schlußschemata Beispiele Die Abtrennungsregel und verwandte Schlußschemata Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Einführende Beispiele Allgemeine Beschreibung und Diskussion des Beweisverfahrens Die Sätze von der kleinsten Zahl einer Zahlenmenge und von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Die Induktionseigenschaft als Charakteristikum der natürlichen Zahlen 157 Aufgaben Teil C Funktionen (Abbildungen) und Relationen 160 Kapitel 8 Der Funktionsbegriff (Abbildungsbegriff): Definitionen und Beispiele Funktionen auf dem Taschenrechner Einstellige Funktionen Plus-, Minus-, Mal und Durch-Operatoren Zweistellige Funktionen 162 Aufgaben Definitionen, Bezeichnungsweisen, Darstellungsweisen Funktion, Definitionsmenge, Zielmenge, Wertemenge Gleichheit von Funktionen; Namen für Funktionen Darstellungsweisen für Funktionen Injektiv, surjektiv, bijektiv Fortsetzen und Einschränken von Funktionen 170 Aufgaben Abbildungen endlicher Mengen; Folgen als Abbildungen Abbildungen mit endlicher Definitions- und Zielmenge Anzahlen solcher Abbildungen; Permutationen Folgen als Abbildungen mit Definitionsbereich IN Rekursive Definition von Folgen 177 Aufgaben Vier Typen geometrisch interpretierbarer Funktionen bzw. Abbildungen Funktionen vom Typ IR -> IR Funktionen vom Typ IR 2 -» IR Abbildungen vom Typ IR -> IR Abbildungen vom Typ IR 2 -» IR Aufgaben

6 8.5 Maßfunktionen Die Kardinalzahlfunktion Flächeninhalt, Kurvenlänge Bewertungsfunktionen 200 Aufgaben Kapitel 9 Operationen für Funktionen Verketten und Umkehren von Funktionen Verketten Umkehren Ein Beispiel: Affine Abbildungen der Geraden Abbildungsgruppen 210 Aufgaben Elementargeometrische Abbildungen und ihre Verkettung Affine Abbildungen der Ebene Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen Kongruenzabbildungen als Spiegelungsketten und als Isometrien 216 Aufgaben Spezielle Operationen für reelle Funktionen Addition und Multiplikation Entsprechung zu den Mengenoperationen (Charakteristische Funktionen) Verkettung von reellen Funktionen mit affinen Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen Die Funktionalgleichungen der linearen und der Exponentialfunktionen 228 Aufgaben Kapitel 10 Relationen Der Relationsbegriff in Beziehung zu anderen Begriffen Was ist eine Relation? Beispiele und Darstellungsweisen für Relationen Operationen mit Relationen Funktionen als spezielle Relationen 239 Aufgaben Eigenschaften von Relationen; Ordnungsrelationen Transitivität Reflexivität und Irreflexivität Symmetrie und Antisymmetrie, Trichotomie Ordnungsrelationen 244 Aufgaben Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen und Gleichheit Äquivalenzrelationen und Abbildungsgruppen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen Eine Anwendung: Grundaufgaben der Kombinatorik Begriffsbildung durch Abstraktion bzgl. einer Äquivalenzrelation 256 Aufgaben

7 Kapitel 11 Begründung von Zahlbegriffen 11.1 Reelle Zahlen, rationale Zahlen Zahlen als Größenverhältnisse Rekonstruktion der Bruchzahlen als Operatoren für Größen Rekonstruktion der Bruchzahlen als Verhältnisse von natürlichen Zahlen Negative Zahlen 267 Aufgaben Gleichmächtigkeit von Mengen; Kardinalzahlen Die Gleichmächtigkeit als Äquivalenzrelation zwischen Mengen Nochmals: endliche und unendliche Mengen Abzählbar unendliche Mengen Kontinuum-unendliche Mengen Kardinalzahlen Gibt es noch größere Kardinalzahlen? 279 Aufgaben S8 Lösungen der Aufgaben 282 zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel zu Kapitel Stichwortverzeichnis