Logik. A.3 Logik und Mengenlehre A.32 A.32. Logik und Mengenlehre. Logik Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 21

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1 Logik und Mengenlehre.3 Logik und Mengenlehre 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 21 Logik Logik 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 22

2 Logik: egriff, edeutung und Entwicklung Logik ist die Lehre vom folgerichtigen und geordneten Denken und rgumentieren, insbesondere vom richtigen Schließen. dtv-tlas zur Informatik, S. 31 Die Logik ist eine grundlegende Teildisziplin der Mathematik, die auch für viele Gebiete der Informatik von fundamentaler edeutung ist. Logik wurde bereits (in elementarer orm) von den griechischen Mathematikern und Philosophen der ntike betrieben - in der "Neuzeit" wurde sie von Rène Descartes und Gottfried ihelm Leibniz wieder "entdeckt". Im 19. Jahrhundert wurde die heute bekannte "Sprache der Logik" entwickelt, zunächst die ussagenlogik durch George oole ( ) und ugustus de Morgan ( ). Die ausdrucksstärkere Prädikatenlogik entstand kurze Zeit später auf der Grundlage von rbeiten von Gottlob rege ( ) und Giuseppe Peano ( ) Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 23 Logikbuch für Informatiker Uwe Schöning "Logik für Informatiker" Spektrum kademischer Verlag, 2000, 5. uflage, ca. 36 DM 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 24

3 Logik (1): ussagenlogik ussagenlogik 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 25 ussagenlogik Lehre von den ussagen und ihren Verknüpfungen: ussagenlogik Eine ussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, es sei oder falsch. (ristoteles, griech. Mathematiker, v. Chr.) eispiele für elementare ussagen: 5 < 6 8 ist Primzahl Der Mond ist aus Käse. falsch falsch 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 26

4 Ein kritischer all: ussage oder nicht? Ebenfalls eine elementare ussage? Jede gerade, ganze Zahl > 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben. 4 = = ??? 6 = = ür diese Zahlen ist der Satz, aber stimmt's immer? "Goldbachsche Vermutung": bis heute ungeklärt, ob oder falsch! Trotzdem ist dieser Satz ein eispiel für eine ussage (im aristotelischen Sinn), denn es ist ganz bestimmt sinnvoll zu sagen, er sei oder falsch! azit: uch wenn der ahrheitswert eines "sprachlichen Gebildes" nicht bekannt ist, kann es sich um eine ussage handeln Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 27 Noch kritischer: Paradoxien ür dieses sprachliche Gebilde ist es aber nicht mehr sinnvoll zu sagen, ob es oder falsch ist: "Die ussage dieses Satzes ist falsch." a) Der Satz ist : intuitiv paradox (widersprüchlich) b) Der Satz ist falsch - dann muss der Satz sein: ebenfalls paradox! keine ussage! intuitiver "Grund" für die Paradoxie: Selbstbezüglichkeit! 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 28

5 ussagen und Nicht-ussagen in der Mengenlehre Mit einigen der Operatoren der Mengenlehre kann man ussagen konstruieren, z..: { } { 2, 3, 4 } { 2, 3 } P( { 3, 4 } ) falsch ({ 2, 3 } { 3, 4 }) = { } falsch Die folgenden usdrücke aus der Mengenlehre sind aber keine ussagen: { 2, 3 } { 3, 4 } P({ 3, 4 }) { x x { 2, 3, 4 }} lle diese usdrücke bezeichnen Mengen, man kann ihnen aber keinen sinnvollen ahrheitswert zuordnen Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 29 Junktoren Zusammengesetzte ussagen werden mit Hilfe von Junktoren gebildet. (jungere [lat.]: verbinden; Junktor: "Verbinder") Zweistellige Junktoren der ussagenlogik: Konjunktion "und" (auch: & ) Disjunktion "oder" (auch: ) Implikation "wenn.., dann.. " Äquivalenz "genau dann.., wenn.. " Einstelliger Junktor: Negation "nicht" 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 30

6 Zusammengesetzte ussagen ahrheitswerte zusammengesetzer ussagen lassen sich systematisch aus den ahrheitswerten ihrer Teilaussagen herleiten, z..: ( ( 5 < 6 ) ( 6 < 7 ) ) ( 5 < 7 ) Mit einer ganz analogen Konstruktion lässt sich aber auch dieser ussage der ahrheitswert '' zuordnen: ( ( 5 < 6 ) ( a b ) ) ( 5 < 7 ) azit: Teilaussagen (er) zusammengesetzter ussagen müssen nicht unbedingt "etwas miteinander zu tun" haben Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 31 edeutung der Junktoren (1) Junktoren sind also syntaktische "erkzeuge", mit denen sich die edeutung ("Semantik") von zusammengesetzten ussagen aus der edeutung der Teilaussagen herleiten lässt. ie dies zu geschehen hat, wird i.a. durch sogenannte ahrheitstafeln festgelegt: z..: ahrheitstafel für Konjunktion : : falsch wie folgt zu lesen: enn ist und falsch, dann hat die ussage den ahrheitswert falsch Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 32

7 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 33 edeutung der Junktoren (2) ahrheitstafeln der anderen zweistelligen Junktoren: ahrheitstafel der Negation: gewöhnungsbedürftig! 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 34 Kommutativität von Junktoren Konjunktion, Disjunktion und Äquivalenz sind kommutative Operatoren, d.h., die Reihenfolge ihrer Operanden ist für das Resultat unwesentlich. eweis der Kommutativität über ahrheitstafelvergleich, z..: Implikation dagegen ist nicht kommutativ ("Ursache irkung"):

8 Gesetze der ussagenlogik (1) Ähnlich wie die Kommutativität lassen sich weitere für alle ussagen, und C gültigen Gesetzmässigkeiten beweisen: ( ) ( C) ( ) C ( C) ( ) ( C) ( ) Involutionsgesetz Idempotenzgesetz bsorptionsgesetz Kommutativgesetz ssoziativgesetz Distributivgesetz Gesetz von de Morgan Herkunft der ezeichnungen aus dem Lateinischen: involvere: "einwinden" hier: "sich zurückbilden" idem posse: "dasselbe können" absorbere: "aufsaugen" commutare: "vertauschen" associare: "verbinden" distribuere: "verteilen" 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 35 Gesetze der ussagenlogik (2) Zu den meisten dieser Gesetze gibt es eine duale orm, bei der Konjunktion und Disjunktion vertauscht sind, z..: ( ) ( ) irklich notwendig sind nur die Konjunktion und Negation, da sich alle anderen Junktoren durch diese Grundoperationen äquivalent ausdrücken lassen: ( ) ( ) ( ) ( ) Es gibt noch weitere 12 zweistelligen Junktoren, die aber nur selten verwendet werden (z.. exklusives Oder) und - theoretisch - einen weiteren einstelligen Junktor (die Identität) Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 36

9 true und false Zur ussagenlogik gehören zudem zwei "primitive" ussagen, die immer bzw. immer falsch sind: true false true (engl.): "" false (engl.): "falsch" Gesetze der ussagenlogik, die mit 'true' und 'false' arbeiten: false true false false true true true false 2001 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 37 uchtipp zur mathematischen Sprache lbrecht eutelspacher "Das ist o..d.. trivial!" Vieweg, 1999 (5. uflage), DM 24, Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik I 38