Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Algebren
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- Gerrit Maier
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1 Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Algebren Dozentin: Wiebke Petersen 5. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 116
2 Algebren (algebraische Strukturen) Eine Algebra A ist eine Menge A zusammen mit einer oder mehreren n-stelligen Operationen (Verknüpfungen) f i. In diesem Kurs beschränken wir uns auf Algebren mit ein oder zwei binären Operationen. Die Operationen einer Algebra müssen die folgenden Axiome erfüllen: Abgeschlossenheit: A ist unter der Operation abgeschlossen, d.h. für beliebige a, b A gibt es ein Element c A, sodass a b = c. Eindeutigkeit: Wenn a = a und b = b, dann gilt a b = a b. Wiebke Petersen math. Grundlagen 117
3 Algebren (algebraische Strukturen) Eine Algebra A ist eine Menge A zusammen mit einer oder mehreren n-stelligen Operationen (Verknüpfungen) f i. In diesem Kurs beschränken wir uns auf Algebren mit ein oder zwei binären Operationen. Die Operationen einer Algebra müssen die folgenden Axiome erfüllen: Abgeschlossenheit: A ist unter der Operation abgeschlossen, d.h. für beliebige a, b A gibt es ein Element c A, sodass a b = c. Eindeutigkeit: Wenn a = a und b = b, dann gilt a b = a b. An was erinnern Sie die beiden Axiome? Wiebke Petersen math. Grundlagen 117
4 Algebren (algebraische Strukturen) Eine Algebra A ist eine Menge A zusammen mit einer oder mehreren n-stelligen Operationen (Verknüpfungen) f i. In diesem Kurs beschränken wir uns auf Algebren mit ein oder zwei binären Operationen. Die Operationen einer Algebra müssen die folgenden Axiome erfüllen: Abgeschlossenheit: A ist unter der Operation abgeschlossen, d.h. für beliebige a, b A gibt es ein Element c A, sodass a b = c. Eindeutigkeit: Wenn a = a und b = b, dann gilt a b = a b. An was erinnern Sie die beiden Axiome? Alternative Definition: Eine Algebra A ist eine Menge A zusammen mit einer oder mehreren n-stelligen Funktionen f i : A n A. Wiebke Petersen math. Grundlagen 117
5 Eigenschaften von Operationen Assoziativgesetz Eine Operation auf A ist assoziativ, g.d.w. für alle a, b, c A gilt: a (b c) = (a b) c Kommutativgesetz Eine Operation auf A ist kommutativ, g.d.w. für alle a, b A gilt: a b = b a Idempotenzgesetz Eine Operation auf A ist idempotent, g.d.w. für alle a A gilt: a a = a Distributivgesetz Für zwei Operationen und auf A distributiert über, g.d.w. für alle a, b, c A gilt: a (b c) = (a b) (a c) Wiebke Petersen math. Grundlagen 118
6 neutrale und inverse Elemente neutrales Element Gegeben eine Operation auf A. Ein Element e A ist das neutrale Element von, g.d.w. für alle a in A gilt: e a = a e = a. inverses Element Gegeben eine Operation auf A mit neutralem Element e. Ein Element a 1 A ist das inverse Element eines Elements a A, g.d.w.: a 1 a = a a 1 = e Wiebke Petersen math. Grundlagen 119
7 Bsp: Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks (( D, )) Grundmenge: {0,, } (id: 0 -Drehung; : 120 -Drehung nach rechts; : 120 -Drehung nach links) Operation: Hintereinanderausführung der Drehungen. neutrales Element: inverse Elemente: Eigenschaften von : id id Wiebke Petersen math. Grundlagen 120
8 Bsp: Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks (( D, )) Grundmenge: {0,, } (id: 0 -Drehung; : 120 -Drehung nach rechts; : 120 -Drehung nach links) Operation: Hintereinanderausführung der Drehungen. neutrales Element: inverse Elemente: Eigenschaften von : id id id id id Wiebke Petersen math. Grundlagen 120
9 Bsp: Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks (( D, )) Grundmenge: {0,, } (id: 0 -Drehung; : 120 -Drehung nach rechts; : 120 -Drehung nach links) Operation: Hintereinanderausführung der Drehungen. neutrales Element: id id id id id id inverse Elemente: id 1 = id; 1 = ; 1 = Eigenschaften von : assoziativ, kommutativ Wiebke Petersen math. Grundlagen 120
10 Bsp: Drehungen und horizontale Spiegelung eines gleichseitigen Dreiecks Grundmenge: {0,,, } (id: 0 -Drehung; : 120 -Drehung nach rechts; : 120 -Drehung nach links, : horizontale Spiegelung) Operation: Hintereinanderausführung der Drehungen und Spiegelungen. Wiebke Petersen math. Grundlagen 121
11 Bsp: Drehungen und horizontale Spiegelung eines gleichseitigen Dreiecks Grundmenge: {0,,, } (id: 0 -Drehung; : 120 -Drehung nach rechts; : 120 -Drehung nach links, : horizontale Spiegelung) Operation: Hintereinanderausführung der Drehungen und Spiegelungen. Diese Struktur bildet keine Algebra, da u.a. kein Element der Grundmenge ist (Verletzung der Abgeschlossenheit). Wiebke Petersen math. Grundlagen 121
12 Bsp: Drehungen und horizontale Spiegelung eines gleichseitigen Dreiecks Grundmenge: {0,,, } (id: 0 -Drehung; : 120 -Drehung nach rechts; : 120 -Drehung nach links, : horizontale Spiegelung) Operation: Hintereinanderausführung der Drehungen und Spiegelungen. Diese Struktur bildet keine Algebra, da u.a. kein Element der Grundmenge ist (Verletzung der Abgeschlossenheit). Wenn man alle drei Spiegelungen entlang aller drei Spiegelachsen hinzunimmt, erhält man wieder eine Algebra. Wiebke Petersen math. Grundlagen 121
13 Beispiel: Restklassen modulo 3 ((N mod 3, 3 )) Grundmenge: {[0], [1], [2]} Operation: 3 : Summe modulo 3 3 [0] [1] [2] [0] [1] [2] neutrales Element: inverse Elemente: Eigenschaften von 3 : Wiebke Petersen math. Grundlagen 122
14 Beispiel: Restklassen modulo 3 ((N mod 3, 3 )) Grundmenge: {[0], [1], [2]} Operation: 3 : Summe modulo 3 3 [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] neutrales Element: inverse Elemente: Eigenschaften von 3 : Wiebke Petersen math. Grundlagen 122
15 Beispiel: Restklassen modulo 3 ((N mod 3, 3 )) Grundmenge: {[0], [1], [2]} Operation: 3 : Summe modulo 3 3 [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] neutrales Element: [0] inverse Elemente: [0] 1 = [0]; [1] 1 = [2]; [2] 1 = [1] Eigenschaften von 3 : assoziativ, kommutativ Wiebke Petersen math. Grundlagen 122
16 weitere Beispiele für Algebren (N 0, +) (Z, +, ) (R, +, ) (POT (M),, ) (Σ, ) Wiebke Petersen math. Grundlagen 123
17 Morphismen Morphismus Ein Morphismus (ϕ : A B) von einer Algebra A in eine Algebra B ist eine Abbildung, die zum einen eine Funktion von der Menge der ersten in die Menge der zweiten Algebra definiert (F : A B), und zum anderen die Operationen der ersten Algebra auf die zweite Algebra projiziert (hierzu müssen beide Algebren gleichviele Operationen gleicher Stelligkeit haben). Homomorphismus Gegeben zwei Algebren A = (A,, ) und B = (B,, ). Ein Morphismus ϕ : A B ist ein Homomorphismus, g.d.w. für alle x, y in A gilt: ϕ(x) ϕ(y) = ϕ(x y) und ϕ(x) ϕ(y) = ϕ(x y) Wiebke Petersen math. Grundlagen 124
18 Isomorphismus Gegeben zwei Algebren A = (A,, ) und B = (B,, ). Ein Morphismus ϕ : A B ist ein Isomorphismus, g.d.w. ϕ : A B bijektiv ist und wenn für alle x, y in A gilt: ϕ(x) ϕ(y) = ϕ(x y) und ϕ(x) ϕ(y) = ϕ(x y) Zwei Algebren sind isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Automorphismus Ein Automorphismus einer Algebra A ist ein Isomorphismus ϕ : A A. Wiebke Petersen math. Grundlagen 125
19 Beispiele ϕ : (N 0, +) (N mod 3, 3 ) mit ϕ(n) = n mod 3 ist ein ϕ : (N 0, +) ({a}, ) mit ϕ(n) = a n ist ein. ϕ : ( D, ) (N mod 3, 3 ) mit ϕ(id) = [0], ϕ( ) = [1], ϕ( ) = [0] ist ein. Wiebke Petersen math. Grundlagen 126
20 Beispiele ϕ : (N 0, +) (N mod 3, 3 ) mit ϕ(n) = n mod 3 ist ein Homomorphismus, aber kein Isomorphismus ϕ : (N 0, +) ({a}, ) mit ϕ(n) = a n ist ein Isomorphismus. ϕ : ( D, ) (N mod 3, 3 ) mit ϕ(id) = [0], ϕ( ) = [1], ϕ( ) = [0] ist ein Isomorphismus. Wiebke Petersen math. Grundlagen 126
21 Semigruppe, Monoid, Gruppe Semigruppe Eine Semigruppe (Halbgruppe) G = (G, ) ist eine Algebra, bestehend aus einer Menge G und einer binären Operation, die folgende Bedingungen erfüllt: G1 ist assoziativ Wiebke Petersen math. Grundlagen 127
22 Semigruppe, Monoid, Gruppe Semigruppe Eine Semigruppe (Halbgruppe) G = (G, ) ist eine Algebra, bestehend aus einer Menge G und einer binären Operation, die folgende Bedingungen erfüllt: G1 ist assoziativ Monoid Ein Monoid G = (G, ) ist eine Algebra mit: G1 ist assoziativ G2 G enthält ein neutrales Element Wiebke Petersen math. Grundlagen 127
23 Semigruppe, Monoid, Gruppe Semigruppe Eine Semigruppe (Halbgruppe) G = (G, ) ist eine Algebra, bestehend aus einer Menge G und einer binären Operation, die folgende Bedingungen erfüllt: G1 ist assoziativ Monoid Ein Monoid G = (G, ) ist eine Algebra mit: G1 ist assoziativ G2 G enthält ein neutrales Element Gruppe Eine Gruppe G = (G, ) ist eine Algebra mit: G1 ist assoziativ G2 G enthält ein neutrales Element G3 jedes Element aus G hat ein inverses Element in G. Wiebke Petersen math. Grundlagen 127
24 Beispiele (N, +) ist (N 0, +) ist (Z, +) ist (POT (M), ) ist (Σ, ) ist (N mod 3, 3 ) ist ( D, ) ist Wiebke Petersen math. Grundlagen 128
25 Beispiele (N, +) ist eine Semigruppe (N 0, +) ist ein Monoid (Z, +) ist eine Gruppe (POT (M), ) ist ein Monoid (Σ, ) ist ein Monoid (N mod 3, 3 ) ist eine Gruppe ( D, ) ist eine Gruppe Wiebke Petersen math. Grundlagen 128
26 Verbände Verband: algebraische Definition Ein Verband V = (V,, ) ist eine Algebra, bestehend aus einer Menge V und zwei binären Operationen und, die folgende Bedingungen erfüllen: Kommutativgesetze: a b = b a und a b = b a Assoziativgesetze: a (b c) = (a b) c und a (b c) = (a b) c Idempotenzgesetze: a a = a und a a = a Absorptionsgesetze: a (a b) = a und a (a b) = a Wiebke Petersen math. Grundlagen 129
27 Verbände Verband: algebraische Definition Ein Verband V = (V,, ) ist eine Algebra, bestehend aus einer Menge V und zwei binären Operationen und, die folgende Bedingungen erfüllen: Kommutativgesetze: a b = b a und a b = b a Assoziativgesetze: a (b c) = (a b) c und a (b c) = (a b) c Idempotenzgesetze: a a = a und a a = a Absorptionsgesetze: a (a b) = a und a (a b) = a a (b c) = (a b) c a (a b) = a Wiebke Petersen math. Grundlagen 129
28 Verbände Zusammenhang algebraischer und ordnungstheoretischer Verband (i) V = (V, ) sei ein (ordnungstheoretisch definierter) Verband. Setze a b = inf{a, b} und a b = sup{a, b}. Dann ist V = (V,, ) ein (algebraisch definierter) Verband. (ii) V = (V,, ) sei ein (algebraisch definierter) Verband. Setze a b g.d.w. a b = a. Dann ist V = (V, ) ein (ordnungstheoretisch definierter) Verband. Beispiel: (POT (M), ) und (POT (M),, ) Wiebke Petersen math. Grundlagen 130
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