Wir starten mit der Entwicklung einer algebraischen Struktur, welche u.a. gut zur Kennzeichnung von Geometrien geeignet ist.

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1 2 Verbände Wir starten mit der Entwicklung einer algebraischen Struktur, welche u.a. gut zur Kennzeichnung von Geometrien geeignet ist. 2.1 Verbandsdefinition. Beispiele Definition (Verband): Sei L eine nichtleere Menge, auf der zwei zweistellige Verknüpfungen : LxL L ( Schneiden ) und : LxL L ( Verbinden ) erklärt sind. Dann heißt (L,, ) Verband, wenn diese Verknüpfungen kommutativ und assoziativ sind und den Absorptionsgesetzen genügen. Es gelten also für alle A, B, C L (K ) A B = B A (K ) A B = B A (Kommutativgesetze) (A ) (A B) C = A (B C) (A ) (A B) C = A (B C) (Assozativgesetze) (V ) (A B) A = A (V ) (A B) A = A (Absorptions- oder Verschmelzungsgesetze) Bemerkungen. Beispiele: a) Erklärt man auf einer einelementigen Menge {A} die Verknüpfungen durch A A := A und A A := A, so erhält man ein erstes (nicht allzu eindrucksvolles) Beispiel für einen Verband (dies ist der kleinste Verband). b) Ist M eine Menge, so ist (Pot(M),, ) ein Verband (Potenz- oder Teilmengenverband). Man beachte, dass die Potenzmenge der leeren Menge die leere Menge als Element enthält, also nicht leer ist. c) Ist G eine Gruppe und U(G) die Menge der Untergruppen von G, so sind auf dem Untergruppenverband (U(G),, ) von G die Verknüpfungen als mengentheoretischer Durchschnitt ( = ) und als Erzeugnis (A B ist die kleinste Untergruppe von G, welche die Vereinigungsmenge A B umfasst) erklärt. Hier stimmt die verbandstheoretische Vereinigung (außer in Spezialfällen) nicht mit der mengentheoretischen Vereinigung überein. Dieses Beispiel lässt sich auf andere algebraische Strukturen (z. B. Vektorräume, Körper) übertragen. d) Die Assoziativgesetze lassen sich mittels vollständiger Induktion auf n Glieder verallgemeinern. e) Als Bezeichner für die Trägermenge wurde L gewählt. Dadurch soll an die englische Bezeichnung Lattice erinnert werden, zugleich bleibt V frei für Vektorräume.

2 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Im folgenden setzen wir (L,, ) als Verband voraus Folgerung (Idempotenz der Verbandsoperationen): Für alle A L gelten A A = A und A A = A. Beweis: Wegen des Absorptionsgesetzes (V ) gilt (wähle B = A A) (A (A A)) A = A. Das Kommutativgesetz (K ) und danach das Absorptionsgesetz (V ) liefern (A (A A)) A = ((A A) A) A = A A, es gilt also wie behauptet A A = A. Durch Vertauschen der Operationen und im Beweis erhält man einen für A A = A. Die Symmetrie der Verbandsaxiome sichert, dass der letzte Schluss in vielen Fällen angewandt werden kann, wir formulieren das als Dualitätsprinzip der Verbandstheorie (DP): Sei Θ eine verbandstheoretische Aussage (also ein sprachliches Gebilde, das außer logischen Bestandteilen wie und, oder, es gibt, für alle noch Variablennamen für Verbandselemente und Verbandsoperationen enthält). Jeder solchen Aussage ist eindeutig eine duale Aussage Θ* zugeordnet, die aus Θ durch Vertauschen der Operationen und hervorgeht. Ist Θ ein Satz der Verbandstheorie (also eine in jedem Verband gültige Aussage), so gilt dies auch für die duale Aussage Θ*. Erste Beispiele für (DP) liefern die Verbandsaxiome und die zuvor gezeigten Idempotenzgesetze. 2.2 Anordnung in Verbänden Verbände können auch als spezielle geordnete Mengen erklärt werden. Dazu erklären wir zunächst eine Anordnung auf Verbänden. Sei also (L,, ) ein Verband Definition (Anordnung auf Verbänden): Für A, B L gelte A B genau dann, wenn A B = A ist. Im Falle A B und A B schreiben wir auch A B Bemerkungen: a) A B ist gleichwertig zu A B = B.

3 2 Verbände 51 b) Die Relation ist reflexiv (A A), antisymmetrisch (A B und B A A = B) und transitiv (A B und B C A C), (L, ) ist demnach eine teilweises geordnete Menge (engl. Poset von partial ordered set). c) Wie bei der gewöhnlichen Ordnung kann man zu auch die umgekehrte (duale) Anordnung betrachten: A B B A. d) Das Dualitätsprinzip ist bei Auftreten von Ordnungsrelationen in Aussagen zu ergänzen: In Θ sind beim Übergang zu Θ* die Ordnungsrelationssymbole durch die dualen zu ersetzen. Dann bleibt (DP) gültig. e) Es ist für alle A,B L A,B A B und A B A, B. f) Ist X A,B, so ist auch X A B: Der Schnitt A B ist das größte Element, das in A und B zugleich enthalten ist. g) Ist A,B Y, so ist auch A B Y: Die Verbindung ist das kleinste Element, das A und B umfasst. h) Für die Ordnungsrelation gelten die Monotoniegesetze A B und C L A C B C und A C B C. Die Eigenschaften e) g) klären zugleich, welche Besonderheit Verbände als teilweise geordnete Mengen besitzen (Existenz von Infimum und Supremum für zweielementige Mengen, vgl ). Diese gelten nicht in allen teilweise geordneten Mengen, man betrachte etwa die Gleichheitsrelation Satz: Sei (P, ) ein Poset, in dem jede zweielementige Teilmenge ein Infimum und Supremum besitzt. Dann ist (P,, ) mit a b := inf{a,b} und a b := sup{a,b} ein Verband, in dem die gemäß definierte Ordnung mit übereinstimmt. Beweis als Übungsaufgabe Folgerung: Ist (P, ) eine linear geordnete Menge, so ist (P,, ) mit a b := min{a,b} und a b := max{a,b} ein Verband. Insbesondere gilt dies, wenn P eine Teilmenge von R ist mit der gewöhnlichen Anordnung. Letzte Änderung

4 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Nullelement. Einselement Sei weiter (L,, ) ein Verband Definition: a) N L heißt Nullelement (Minimum) von (L,, ), wenn N A für alle A L gilt. b) E L heißt Einselement (Maximum) von (L,, ), wenn A E für alle A L gilt. Nicht jeder Verband besitzt ein Nullelement (Einselement), betrachte z.b. (R, min, max), im Falle der Existenz sind diese Elemente (im Gegensatz etwa zu den maximalen und minimalen Elementen in Posets) eindeutig bestimmt Bemerkung: Statt ordnungstheoretisch wie in kann man Minimum und Maximum auch algebraisch (verbandstheoretisch) kennzeichnen: N ist genau dann Minimum von L, wenn N neutrales Element bzgl. ist, also A N = A gilt. E ist genau dann Maximum von L, wenn E neutrales Element bzgl. ist, also A E = A gilt. Weiter kann man N auch durch die Gleichung A N = N und E durch A E = E kennzeichnen. Beweis als Übungsaufgabe. 2.4 Homomorphie und Isomorphie Wie für jede mathematische Struktur werden auch für Verbände zur Klassifikation strukturverträgliche Abbildungen genutzt Definition: Seien (L,, ) und (L,, ) zwei Verbände und µ: L L eine Abbildung von L in L. a) µ heißt -Homomorphismus, wenn µ(a B = µ(a) µ(b) für alle A,B L gilt. b) µ heißt -Homomorphismus, wenn µ(a B) = µ(a) µ(b) für alle A,B L gilt. c) µ heißt Homomorphismus, wenn µ zugleich - und -Homomorphismus ist. d) µ heißt Ordnungsmomomorphismus, wenn A B stets µ(a) µ(b) zur Folge hat. e) Bijektive Homomorphismen heißen auch Isomorphismen. f) Ein bijektiver Ordnungshomomorphismus ist Ordnungsisomorphismus, wenn auch die Umkehrabbildung ordnungstreu ist. g) Besitzt L ein Nullelement, so heißt dessen Urbild auch Kern von µ. h) Antiisomorphismen sind Bijektionen, bei denen die Verknüpfungen ausgetauscht werden, es gelten dann µ(a B) = µ(a) µ(b) und µ(a B) = µ(a) µ(b).

5 2 Verbände Aufgabe: Man begründe Jeder Isomorphismus ist Homomorphismus, jeder Homomorphismus ist - ( -) Homomorphismus, diese Abbildungen wiederum sind Ordnungshomomorphismen. Die Umkehrungen dieser Aussagen gelten nicht. Weiter muss ein bijektiver Ordnungshomomorphismus von geordneten Mengen (Verbänden) kein Ordnungsisomorphismus sein Definition: (Sei (L,, ) ein Verband. a) Vertauscht man die beiden Verknüpfungen, so erhält man den zu (L,, ) dualen Verband (L,, ). Diesen bezeichnen wir auch mit L*. b) Ist L* zu L isomorph, so heißt L selbstdual Folgerung: a) Es ist L** = (L*)* = L b) L* ist zu L antiisomorph. 2.5 Teilverband. Faktorverband Wie bei jeder mathematischen Struktur erklärt man auch für Verbände Unterstrukturen als Teilmengen der Trägermenge, welche mit den gegebenen Verknüpfungen eine Struktur gleichen Typs (hier also Verband) bilden Definition: a) Sei T eine nichtleere Teilmenge von L. Dann heißt T Teil- oder Unterverband von L, wenn mit A,B T stets auch A B und A B in T liegen. T ist dann zusammen mit den Einschränkungen der Verknüpfungen von L auf T ein Verband. b) Sind A,B L mit A B, so heißt B/A := {X / A X B} auch Faktorverband von B nach A. Für diesen Teilverband ist auch die Bezeichnung [A,B] gebräuchlich Aufgabe: Begründen Sie, dass durch Verbände erklärt werden. 2.6 Hasse-Diagramme In diesem Abschnitt wollen wir die in 1 in einem Beispiel bereits angewandte Methode zur Darstellung endlicher Verbände genauer besprechen. Dazu untersuchen wir zuerst den egriff Nachbar in Verbänden genauer Definition: A L heißt unterer Nachbar von B (in Zeichen A B) wenn A B gilt und aus A X B die Bedingung X=A oder X=B folgt (zwischen A und B gibt es demnach keine weiteren Verbandselemente). B heißt dann auch oberer Nachbar von A. Wir sprechen dann auch davon, dass A und B benachbart sind. Letzte Änderung

6 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Bemerkungen: a) Nicht in jedem Verband gibt es obere (untere) Nachbarn, vgl. (IR,inf,sup). b) Untere (obere)nachbarn müssen nicht eindeutig bestimmt sein, so hat z.b. im Potenzmengenverband Pot({a,b,c}) die leere Menge {} die oberen Nachbarn {a}, {b}, {c}, allgemein ist A {b} ein oberer Nachbar von A, wenn b nicht zu A gehört. c) Ist L ein endlicher Verband, so besitzt jedes Element Nachbarn, weiter hat L dann ein größtes und kleinstes Element Vorschrift für Hasse-Diagramme Sei L ein endlicher Verband mit Nullelement N und Einselement E. Zur Gewinnung des Hasse-Diagrammes von oben gehe man folgendermaßen vor. Zeichne einen Punkt am oberen Ende des Blattes und bezeichne ihn mit E (Bild von E). In gleicher Höhe unterhalb von E zeichne die Punkte für die unteren Nachbarn von E und verbinde diese Punkte mit (dem Bild von) E. Unterhalb dieser Punkte zeichne man deren untere Nachbarn usw. Schließlich ergibt sich nach endlich vielen Schritten (L ist ja als endlich vorausgesetzt) der Punkt für N. Natürlich kann das Diagramm bei größeren Punkteanzahlen schnell überlaufen, aber zum Aufzeigen einfacher Beispiele sind diese Hasse-Diagramme ein ideales Hilfsmittel. Hasse-Diagramme werden entsprechend auch zur Darstellung (endlicher) teilweise geordneter Mengen genutzt Beispiele für Hasse-Diagramme a) Hat L={A} nur ein Element, so besteht das Diagramm aus einem einzigen Punkt. A b) L = {N,E} E N 01 E F6 0 1 F4 F5 F2 F3 { } F1 N c)l = Pot({0,1} d) Beispiel für einen Verband mit 8 Elementen

7 2 Verbände Aufgaben Aufgabe 1: Geben Sie alle Verbände an, deren Trägermenge weniger als 11 Elemente enthält. Geben Sie teilweise geordnete Mengen mit diesen Elementeanzahlen an, die keine Verbände sind. Überprüfen Sie, welche der Verbände selbstdual sind. Aufgabe 2: a) Jeder endliche Verband besitzt ein Nullelement (Einselement). b) Kann ein endlicher Verband mehrere maximale Elemente besitzen? c) Sei M eine endliche Menge weiter seien S,T Pot(M). Welche Elementeanzahlen können bei S T und S T auftreten? Aufgabe 3: Zeigen Sie: (N,ggT,kgV) ist ein Verband. Besitzt er ein Nullelement (Einselement)? Ersetzen Sie N auch durch N 0. Aufgabe 4: Mit T n werde die Menge aller Teiler der natürlichen Zahl n bezeichnet. Dann ist (T n, / ) nicht nur eine teilweise geordnete Menge (a/b steht für a teilt b), sondern gemäß auch ein Verband (Beweis). Zeichnen Sie die Hassediagramme für T 12, T 32, T 100, T 444. Geben Sie eine Bedingung für die Isomorphie von T n und T m an (n, m N)? Aufgabe 5: Begründen Sie die Aussagen aus 2.1.2, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.3.2, 2.4.2, 2.5.2, 2.6.2, Aufgabe 6: a) Ein Verband besitze ein maximales (minimales) Element. Besitzt er ein Maximum (Minimum)? b) Ein Verband besitze ein Maximum (Minimum). Gilt das dann auch für seine Teilverbände? Aufgabe 7: Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Dann bildet die Menge U(V) der Untervektorräume von V zusammen mit dem mengentheoretischen Schnitt und dem Erzeugnis (A B ist der kleinste, A B umfassende Untervektorraum) einen Verband (den Untervektorraumverband von V). Aufgabe 8: Es sei (M, ) eine teilweise geordnete Menge und A,B Pot(M) mit A B M. Dann folgt aus sup(b) A die Bedingung sup(b) = sup(a). (Erinnerung: sup(a) bezeichnet die kleinste obere Schranke von A in M, entsprechend inf(a) die größte untere Schranke von A. Obere (untere) Schranken von A sind Elemente S M mit a S (S ) für alle a A. Schranken von A müssen insbesondere nicht in A liegen.) Letzte Änderung

8 N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/ Aufgabe 9: Welche der nachfolgenden Diagramme stellen Verbände dar? a) b) c)