Eigenschaften von Funktionen. Definition der Umkehrfunktion. WS 2013 Torsten Schreiber

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1 Eigenschaten von Funktionen Deinition der Umkehrunktion WS 013 Torsten Schreiber

2 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Eine basiert au einem Produkt und stellt die vorhandenen Komponenten in eine mathematische oder Beziehung. Die Symmetrieeigenschaten sind ähnlich der der Mengenlehre:, und. Existiert in einer Relation Pasch, so ist sie, ist einziger Pasch vorhanden spricht man von und wenn alle Schlussolgerungen zugelassen sind, so ist die Relation. Ist eine Relation relexiv, und symmetrisch, so spricht man von einer und es können (Ausprägung eines Repräsentanten) gebildet werden. Sollte eine Relation, transitiv und antisymmetrisch sein, so handelt es sich um eine. Der Deinitionsbereich wird auch als (DOM) bezeichnet und ührt nach Untersuchungen zu entweder zu einer oder zu einer (linkstotalen) Relation. Mittels Wertebereich oder auch der (RAN) kann gezeigt werden, dass eine Relation ist. SS 013 Torsten Schreiber 3

3 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Augaben zu den behandelten Themen vom.03.01? Wie wird eine Funktion deiniert? Wann sprechen wir von einer Abbildung? Welche Eigenschaten kann Funktion besitzen? Wie bilden Sie eine Umkehrunktion? Was ist eine Komposition von Funktionen? Wie beweist man die Symmetrie einer Funktion? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. SS 013 Torsten Schreiber 4

4 1) Begründen Sie bei den olgenden Deinitionen zum einen warum es tatsächlich eine Relation ist und zum anderen um welche Art der Relation es sich dabei handelt. (Ordnungs-/ Äquivalenzrelation) a) λ = {( x, N N y = k x, k N} N N b) Gegeben sei die Menge P aller Menschen in Europa und das dazugehörige kartesische Produkt, bestehend aus denn beiden Tupelkomponenten p und q. Eine Relation wird dadurch deiniert, dass p und q die selbe Mutter haben. Klassiizieren Sie die Relation. SS 013 Torsten Schreiber 5

5 Um eine Relation weiter klassiizieren zu können, wird die Eindeutigkeit der Zuordnung näher untersucht. D.h. es wird der direkte Zusammenhang zwischen der ersten und zweiten Komponente eines jeden Tupels beschrieben. Funktion: Wird die rechte Koordinate einer Relation eindeutig bestimmt, so ist die Relation rechtseindeutig und man spricht von einer Funktion. P A B : ( a,b ) P ( a, b ) : A B : ( a) = b 1 1 P ( a) = b b1 = b Funktion DOM(P) DOM(P) = D = D A = A partiell (nicht linkstotal) total (linkstotal) SS 013 Torsten Schreiber 6

6 Soern eine Relation nicht rechtseindeutig ist, so spricht man lediglich von einer Abbildung, d.h. zu einem linken Wert gehören mehrere rechte Werte. Es entstehen dadurch olgende Zusammenhänge: Kartesisches Produkt Relation Funktion Abbildung SS 013 Torsten Schreiber 7

7 Im Bereich der Funktionen / Abbildungen können olgende Eigenschaten bzgl. der Eindeutigkeit und Deinitions-/ Wertebereiche untersucht werden: rechtseindeutig: Funktion ( a) = b = b b = b 1 ( a) Eine Parallele zur y-achse schneidet den Graphen max. einmal. 1 linkseindeutig: injektiv/ eineindeutige Funktion ( a a = a 1 ) = ( a ) Eine Parallele zur x-achse schneidet den Graphen max. einmal. 1 rechtstotal: surjektiv/ Wertebereich ( ) = B ( a) b RAN = Alle Werte au der y-achse (Menge B) werden erreicht. linkstotal: total / Deinitionsbereich ( ) = A ( a) b DOM = Alle Werte von der x-achse (Menge A) düren genutzt werden. Treen alle Eigenschaten gleichzeitig zu, handelt es sich um eine bijektivefunktion. SS 013 Torsten Schreiber 8

8 Beispiel: ( x, { } R R y = x + x 6 ( x) = x + 6 ψ = x Es handelt sich um eine Funktion (rechtseindeutig), die auch total (linkstotal) ist. Da die Parallele zur x-achse den Graphen mehr als einmal schneidet ist sie nicht injektiv und da der Wertebereich nicht ganz reelen Zahlen darstellt ist sie auch nicht surkjektiv. SS 013 Torsten Schreiber 9

9 1. Untersuchen Sie die olgenden Relationen im Hinblick au die Eigenschaten einer Funktion und ertigen eine grobe Skizze an. Passen Sie die Relation gg. so an, dass eine bijektive Funktion entsteht. λ a) = {( x, N N y = x 1} + b) φ = {( x, R R y = x + } c) ϖ = {( x, R R y = sin( x) + 1} SS 013 Torsten Schreiber 30

10 Eine Funktion ist nur dann umkehrbar, soern sie bijektiv ist, wobei man gg. den Deinitions- und Wertebereich angepasst. Graisch gesehen wird die Funktion inkl. beider Achsen an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt, wodurch der Wertebereich der Ausgangsunktion zum Deinitionsbereich der Umkehrunktion wird. Methodik: 1. Erzeugung der Bijektivität:. Aulösen der Gleichung nach x: 3. Variablentausch: ( x, {( x, [ 0,5; [ [ 6,5; [ y = x + 6} ψ = x ( x + 0,5) 6,5 x = + 6,5 0, 5 y = x + x 6 = y 1 { R R y = x + 6} ψ = x ( x) = x + 6,5 0,5; D 1 = x [ 6,5; [ W 1 = y [ 0,5; [ SS 013 Torsten Schreiber 31

11 Werden mehrere Ausdrücke ineinander verschachtelt, so spricht man von einer Komposition von Funktionen. Diese Art der Verbindung / Verknüpung von Termen ist nicht kommutativ. Deinition: : A B g : B C g o o g ( a) g( ( a) ) ( b) ( g( b) ) Beispiel: ( x) = x 4 g( x) = sin( x) g ( ( )) ( x = sin x 4) ( g( x) ) = ( sin( x) ) 4 SS 013 Torsten Schreiber 3

12 Innerhalb der Funktionen werden die beiden möglichen Symmetriearten der Achsenund Punktsymmetrie unterschieden. Achsensymmetrie: ( x) = ( x) Bei der Achsensymmetrie wird jeder Punkt direkt an der y-achse gespiegelt. (es sind alle Exponenten eines Polynoms gerade) Punktsymmetrie: ( x) = ( x) Bei der Punktsymmetrie wird jeder Punkt direkt am Ursprung gespiegelt. (es sind alle Exponenten eines Polynoms ungerade) SS 013 Torsten Schreiber 33

13 Mit den olgenden Begrien sollten Sie nun vertraut sein: Abbildung Achsensymmetrie Deinitionsbereich linkseindeutig bijektiv total Komposition Funktion rechtseindeutig Umkehrunktion Punktsymmetrie surjektiv injektiv SS 013 Torsten Schreiber 34

14 1. Bilden Sie zu den bereits angepassten Funktionen au Seite 9 die zugehörige Umkehrunktion und geben deren Deinitions- und Wertebereich an.. Gegeben sind die olgenden 3 Funktionen. Bilden Sie alle möglichen Kompositionen und bestimmen den maximal möglichen Deinitions- und Wertebereich. a) ( x) = x b) g( x) = 4x + 1 c) h( x) = 3 x SS 013 Torsten Schreiber 35

15 3. Gegeben sind die olgenden Relationen. - Machen Sie aus ihnen eine bijektive Funktion - Bestimmen Sie die zugehörigen Umkehrunktion a) λ = {( x, N N y = 4x 3} b) φ = {( x, R R y = x + 1} ϖ x c) = {( x, R R y = e + 1} 4. Bilden Sie zu den gegebenen Funktionen möglichen Kombinationen und untersuchen Sie die Symmetrieeingeschaten der Funktionen. ( x) = 3x 4 g(x) = a) b) c) 3 4x h(x) = 8 3 x 4x SS 013 Torsten Schreiber 36