Mengen und Abbildungen

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1 Mengen und bbildungen 0. Oktober 010 Mengen und bbildungen, S. Mengendarstellungen Eplizit: Eine Menge kann durch eplizites ulisten ihrer Elemente dargestellt werden: = {,,z,...} ist die Menge, die aus den Elementen,, z usw. besteht. Charakterisierend: lternativ kann eine Menge durch eschreibung der charakterisierenden Eigenschaten ihrer Elemente dargestellt werden. Der usdruck = { hat die Eigenschat E} liest sich: ist die Menge aller Elemente, die die Eigenschat E besitzen. Sei Ω = {1,,...,10}. Die Menge der natürlichen Zahlen von 3 bis 8 kann in beschreibender (charakterisierender) und in aulistender (epliziter) Form dargestellt werden: = { Ω 3 8} = {3,4,5,6,7,8}. Mengen und bbildungen, S. 1 Mengenbegri Mengen und bbildungen, S. 3 Leere Menge, Mächtigkeit von Mengen Um Objekte klassiizieren zu können, braucht man ehälter. In der Mathematik werden die Objekte Elemente und die ehälter Mengen genannt. Die CNTOR sche Deinition: Deinition.1. Eine Menge ist eine Zusammenassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer nschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. nmerkung: wohlbestimmt : Es kann ür jedes Objekt entschieden werden, ob es zur Menge gehört. wohlunterschieden : Die Elemente der Menge unterscheiden sich voneinander. Wir verwenden olgende ezeichnungen:,,c (große lateinische uchstaben): Mengen a, b, c,...,,, z (kleine lateinische uchstaben): Elemente : ist ein Element von / : ist kein Element von Es erweist sich als sinnvoll eine Menge einzuühren, die keine Elemente enthält. Deinition.. Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Sie wird mit /0 oder {} bezeichnet. Mächtigkeit von Mengen Deinition.3. Die nzahl der Elemente einer Menge heißt Mächtigkeit der Menge. Enthält genau n Elemente, so schreibt man = n. eispiele: (1) Es sei = {Montag, Dienstag, Mittwoch}. Dann gilt = 3. () Für die leere Menge /0 setzen wir natürlich /0 = 0.

2 Mengen und bbildungen, S. 4 Einschub: Zahlenmengen (N, Z, Q, R) Mengen und bbildungen, S. 6 Noch ein Einschub: Quantoren Die wichtigsten Mengen in der Mathematik sind natürlich Zahlenmengen. Wir verwenden daür olgende Smbole: N bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen {1,,3,4,...}. N 0 bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen, inkl. der Zahl 0: {0,1,,3,4,...}. Z Q R bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen {0, 1,+1,,+,...}. bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen { = z n mit z Z,n N}. bezeichnet die Menge der reellen Zahlen. R + bezeichnet die Menge der positiven reellen Zahlen { R > 0}. R bezeichnet die Menge der negativen reellen Zahlen { R < 0}. a bedeutet Für alle Elemente a gilt... und heißt ll-quantor. ussagen, in denen der ll-quantor vorkommt, lassen sich durch ein Gegenbeispiel widerlegen. a bedeutet Es eistiert mindestens ein Element a, ür das gilt... und heißt Eistenzquantor.!a bedeutet Es gibt genau ein Element a, ür das gilt.... Dies ist eine ll-ussage. p : n N gilt n = n(n + 1) Die Verneinung einer ll-ussage ist die Eistenz eines Gegenbeispiels, d.h. die Eistenz eines Elements, das die usssage hinter dem ll-quantor nicht erüllt. Die Verneinung der ussage p lautet also: p : n 0 N mit n 0 n 0(n 0 + 1). nmerkung: Die ll-ussage p ist hier wahr, ihre Verneinung p olglich alsch. Mengen und bbildungen, S. 5 Zahlengerade Mengen und bbildungen, S. 7 Teilmengen Deinition.4. und seien Mengen. heißt Teilmenge von, geschrieben, wenn jedes Element von auch Element von ist, d.h. Wir ühren keine der Zahlenmengen hier genauer (d.h. aiomatisch) ein. Sämtliche Zahlenmengen allen ür uns vom Himmel. Die Menge der reellen Zahlen R ist das Zahlen-Kontinuum (die reellen Zahlen liegen beliebig dicht ) Die Zahlenmengen kann man sich durch die Zahlengerade veranschaulichen: e :. Man schreibt, wenn nicht Teilmenge von ist. Darstellung im Venn-Diagramm: nmerkung: Für jede Menge sind die leere Menge /0 und die Menge selbst Teilmengen, d.h. /0 und.

3 Mengen und bbildungen, S. 8 Gleichheit von Mengen Mengen und bbildungen, S. 10 Unendliche Intervalle Deinition.5. Zwei Mengen und heißen gleich, geschrieben =, wenn sie dieselben Elemente enthalten, d.h. = : ( : ). Für zwei nicht gleiche Mengen schreibt man. Zwei Mengen und sind genau dann gleich, wenn Teilmenge von und Teilmenge von ist: Satz.6. Es gilt: =. eispiele: (1) Für die Mengen = {a,b,c,0,1} und = {b,c,1} gilt, aber. () Für die Zahlenmengen N, Z und R gilt N Z R. ei einem oenen Intervall (a, b) lassen wir auch die Möglichkeit a = oder b =+ zu (das + -Zeichen wird ot weggelassen). Damit wird ein sog. unendliches Intervall deiniert. Zum eispiel ist R selbst ein Intervall, nämlich R =(,+ ). Genauso ist R + =(0, ) R =(,0). Soll die 0 eingeschlossen sein, ergibt sich das halboene unendliche Intervall R + 0 =[0, ). Mengen und bbildungen, S. 9 Wieder ein Einschub: Intervalle als Teilmengen von R Es eistieren zwei verschiedene Schreibweisen ür Intervalle mit ausgeschlossenem Randpunkt: eine runde Klammer oder eine gespiegelte eckige Klammer. Wir geben hier beide Notationen an (verwenden im Folgenden aber die runden Klammern). 1. [a,b] := { R a b} heißt abgeschlossenes Intervall oder auch kompaktes Intervall;. (a,b) :=]a,b[:= { R a < < b} heißt oenes Intervall; 3. [a,b) := [a,b[:= { R a < b} heißt (rechts-) halboenes Intervall; 4. (a,b] :=]a,b] := { R a < b} heißt (links-) halboenes Intervall. Mengen und bbildungen, S. 11 Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) uch Mengen selbst lassen sich als Objekte auassen und wieder zu Mengen zusammenassen. Man spricht dann von einem Mengensstem. Die Mengen sind die Elemente eines Mengensstems. Ein spezielles Mengensstem ist die Potenzmenge. Deinition.7. heißt die Potenzmenge von. emerkungen: sei eine Menge. Die Menge aller Teilmengen von, geschrieben P() := { }, 1. Die leere Menge /0 und die Menge sind (als Teilmengen von ) immer Elemente der Potenzmenge P().. esitzt die Menge genau n Elemente, so enthält die Potenzmenge P() n Elemente; d.h. n N : ( = n P() = n ).

4 Mengen und bbildungen, S. 1 Durchschnittsmenge Mengen und bbildungen, S. 14 Vereinigungsmengen Mit Mengen lassen sich Operationen, wie ildung des Durchschnitts oder Vereinigung zweier Mengen durchühren. Deinition.8. und seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die in und enthalten sind, heißt Durchschnittsmenge von und. Man schreibt: := { }. Deinition.9. Zwei Mengen und, die kein gemeinsames Element besitzen, ür die also = /0 gilt, heißen elementremd oder disjunkt. Darstellung im Venn-Diagramm: = = (, disjunkt) Deinition.10. und seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die in oder enthalten sind, heißt Vereinigungsmenge von und. Man schreibt: Darstellung im Venn-Diagramm: := { }. (, disjunkt) eispiel: Gegeben seien die Mengen = {1,,3,4}, = {,3,4} und C = {a,b,1}. Dann ist = {1,,3,4} =, C = {1,,3,4,a,b}, C = {1,,3,4,a,b}. Mengen und bbildungen, S. 13 eispiele ür den Mengendurchschnitt Mengen und bbildungen, S. 15 Dierenzmenge Gegeben seien die Mengen Deinition.11. und seien Mengen. Die Menge aller Elemente von, die nicht in enthalten sind, heißt Dierenzmenge von und. Man schreibt: = {1,,3,4}, = {,3,4}, C = {a,b,1}. Darstellung im Venn-Diagramm: \ := { / }. Dann ist = {,3,4} =, C = {1}, C = /0 \ eispiel: Ist = {a, b, c, d} und = {c, d, e, }, dann ist die Dierenzmenge von und gegeben durch \ = {e, }.

5 Mengen und bbildungen, S. 16 Komplementärmenge Mengen und bbildungen, S. 18 Formale Deinition des kartesischen Produkts Für den Fall, dass die Menge eine Teilmenge von ist, nutzt man ür die Dierenzmenge eine besondere ezeichnung: Deinition.1. und seien Mengen mit. Die Menge aller Elemente von, die nicht in enthalten sind, heißt Komplementärmenge oder Komplement von bezüglich. Man schreibt: := { / }. Darstellung im Venn-Diagramm: Deinition.13. [Kartesisches Produkt] 1,,..., n seien Mengen. Die Menge aller geordneten n-tupel (a 1,a,...,a n ) mit a i i ür i = 1,,...,n heißt Produktmenge oder kartesisches Produkt von 1,,..., n. Man schreibt daür: 1... n := {(a 1,a,...,a n ) a i i (i = 1,,...,n)}. Im Falle 1 = =... = n = schreibt man abkürzend 1... n = n. eispiel: Kartesisches Produkt der Menge = {K, Z} mit sich selbst: = {(K,K),(K,Z),(Z,K),(Z,Z)}. Wur K (K,K) (Z,K) eispiel: Ist = {b,d} und = {a,b,c,d,e}, dann ist das Komplement von bezüglich gegeben durch = {a,c,e}. Z (K,Z) K (Z,Z) Z 1. Wur Mengen und bbildungen, S. 17 Kartesisches Produkt Mengen und bbildungen, S. 19 Das kartesische Produkt R n Hat man n Mengen 1,..., n gegeben, kann man eine Zusammenassung von Elementen a i der einzelnen Mengen i zu einem n-tupel der Form (a 1,a,...,a n ) betrachten, wobei die Reihenolge eine Rolle spielt: n der ersten Stelle soll stets ein Element a 1 von 1 stehen, an der zweiten Stelle ein Element a von usw. nstatt Stelle sagt man auch Koordinate (oder auch Komponente, Eintrag, manchmal auch Element, obwohl das sehr missverständlich ist). Die Menge all dieser Tupel wird als das kartesische Produkt von 1,..., n bezeichnet, geschrieben 1... n. eim kartesischen Produkt durchläut die i-te Koordinate a i völlig unabhängig von den anderen Koordinaten alle Elemente der Menge i. Das wichtigste kartesische Produkt in der Mathematik ist R n = } R R {{... R} = {( 1,,,..., n ) i R (i = 1,,...,n)}. n-mal Geometrisch: R 1 = R ist die Zahlengerade. R kann man sich eine mit einem rechtwinkligen Koordinatensstem ausgestatte Ebene vorstellen ( kartesisches Koordinatensstem); Elemente von R sind dann Punkte (,) in der Ebene mit den Koordinaten (reellen Zahlen) und. R 3 kann man sich als den Raum versehen mit einem dreidimensionalen Koordinatensstem vorstellen. Elemente: (,,z) mit,,z R. Oder ( 1,, 3 ) mit 1,, 3 R. 0 n = 1 n = (,) z z... n = 3 (,,z)

6 Mengen und bbildungen, S. 0 bbildungen Mengen und bbildungen, S. eispiele zur bbildungsdeinition Der egri bbildung ist in der Mathematik genauso grundlegend wie der der Menge. Eine bbildung ist nicht irgendeine Relation zwischen zwei Mengen, sondern: Gegeben zwei Mengen und, so ist eine bbildung von nach eine Vorschrit, die jedem genau ein in zuordnet. Es muss also jedes abgebildet werden, und zwar au (nur) ein. Dies ist eine bbildung : Jedem Element der Menge wird genau ein Element von zugeordnet. 1 3 Dass 1 zweimal erreicht wird und 3 gar nicht, ändert nichts daran, dass eine bbildung ist Es muss aber nicht 3 3 jedes erreicht werden jedes au ein anderes abgebildet werden d.h. es können unterschiedliche au das gleiche abgebildet werden. Dies wäre keine bbildung :, es gibt sogar zwei Verletzungen der bbildungsdeinition: 1.) 3 wird nicht abgebildet (obwohl es im De.ereich liegt).) 1 wird zweimal abgebildet. Mengen und bbildungen, S. 1 Deinition einer bbildung Mengen und bbildungen, S. 3 Ergänzungen zur bbildungsdeinition lso ormal: Deinition.14. und seien Mengen. Eine Vorschrit, die jedem genau ein zuordnet, heißt bbildung der Menge in die Menge. Man schreibt :, = (). Ergänzungen zu Deinition.14: (1) Eine bbildung mit D R und W R wird auch als Funktion bezeichnet (mehr dazu gleich, sowie im ganzen Rest der Veranstaltung). () Ist : eine bbildung, so wird die Menge als Deinitionsbereich (D )von bezeichnet, ihre Elemente heißen Urbilder von. Die Menge nennt man den Wertebereich (W )von. (3) Eine bbildung muss ihren Wertebereich nicht voll ausschöpen. Die Menge = { () D } heißt ildbereich von, ihre Elemente sind die ilder unter ( weitere Diskussion dieses Punktes au nächster Folie)

7 Mengen und bbildungen, S. 4 ildbereich einer bbildung Mengen und bbildungen, S. 6 Injektivität Nochmal: Der Wertebereich W einer bbildung : ist die Menge, der ildbereich dagegen ist die Menge = { () D } Es gilt stets W, aber nicht immer W =. Deinition.16. Eine bbildung : heißt injektiv, wenn unterschiedliche Urbilder au unterschiedliche ilder abgebildet werden, d.h. wenn: 1, gilt: 1 ( 1 ) ( ) = D = W =D 3 =W ist eine injektive bb.: Verschiedene Urbilder werden au verschiedene ilder abgebildet. Der ildbereich der bbildung ist die Menge = { 1, 3 }. Das Element W ist kein ild eines Elementes von D, d.h. /. NMERKUNG: Wegen des Kontrapositionsprinzips (p q) ( q p) ist die Injektivität äquivalent zu: ( 1 )= ( ) 1 =, 1,. Mengen und bbildungen, S. 5 Surjektivität Mengen und bbildungen, S. 7 ijektivität Deinition.15. Eine bbildung : heißt surjektiv, wenn jedes Element von das ild eines Elementes von ist, d.h. wenn W =. Deinition.17. [ijektivität] Eine bbildung : heißt bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. 1 1 Vergleiche: De. einer bbildung: Jedem wird genau ein zugeordnet. ijektivität: Jedes wird von genau einem erreicht. = D 3 = W 1 1 Die skizzierte bbildung ist surjektiv: Der Wertebereich W wird voll ausgeschöpt, d.h. W =. = D 3 = W 3 ist eine bijektive bbildung: 1.) Verschiedenen Urbildern werden verschiedene ilder zugeordnet (d.h. ist injektiv).) der Wertebereich wird voll ausgeschöpt (d.h. ist surjektiv). (Vergleiche mit den beiden Eingangsbeispielen, ein war nicht injektiv, ein nicht surjektiv)

8 Mengen und bbildungen, S. 8 Kompliziertere bbildungstpen Wie schon gesagt: Eine bbildung : D R R nennt man eine Funktion. Man kann solche Funktionen durch ihren Graphen anschaulich machen. llgemeiner nennt man auch eine bbildung : D R n R (Oder noch allgemeiner: : D R n R m ) eine Funktion (mehrerer Variablen). Eine bbildung : D N R nennt man eine Folge (reeller Zahlen) (Man schreibt nicht (1) sondern 1 usw.) Eine bbildung : D N R Mengen und bbildungen, S. 30 Surjektivität, Injektivität, ijektivität und die Lösbarkeit der Gl. ()= Die oben deinierten drei Eigenschaten lassen sich durch die Lösbarkeit der Gleichung ()= innerhalb des Deinitions- und Wertebereichs von charakterisieren: Satz.18. Gegeben eine bbildung :. Dann gilt: (1) surjektiv Die Gl. ()= hat ür alle (mindestens) eine Lösung. () injektiv Die Gl. ()= hat ür alle höchstens eine Lösung. (3) bijektiv Die Gl. ()= hat ür alle genau eine Lösung. Mit diesem Satz lassen sich die drei Eigenschaten rechnerisch gut überprüen: Man gibt sich ein (beliebiges) vor und bestimmt alle Lösungen der Gl. ()=. NMERKUNG: Die Frage nach der Lösbarkeit ist die Frage nach Eistenz und Eindeutigkeit einer Lösung (in bhängigkeit vom Parameter ) könnte man eine Punktolge in der Ebene nennen. Mengen und bbildungen, S. 9 Surjektivität, Injektivität, ijektivität bei Funktionen : D -> W injektiv, nicht surjektiv : D -> W surjektiv, nicht injektiv Mengen und bbildungen, S. 31 Wir betrachten die Funktion : [1, ) [ 1, ), () = eispiel ( = =( 1) 1 ) W = (-, ) =() W = ( 0, ) =() 0 0 () = D = [ 0, ) D = (-, ) : D -> W nicht surjektiv, nicht injektiv : D -> W bijektiv: W = (-, ) 0 0 =() D = (-, ) W = [ 0, ) 0 0 =() D = [ 0, ) Die Graphik zeigt: Die Funktion wäre nicht surjektiv, wenn man (z..) ganz R als Wertebereich W gewählt hätte, da kein < 1 als Wert erreicht wird. Genauso wäre die Funktion nicht injektiv, wenn man (z..) ganz R als Deinitionsbereich D gewählt hätte, da dann jedes > 1 gleich von zwei Urbildern erreicht wird. Deinitions- und Wertebereich wurden hier so gewählt wurden, dass die Funktion bijektiv ist.

9 Mengen und bbildungen, S. 3 eispiel: Rechnerische Überprüung der ijektivität Mengen und bbildungen, S. 34 Umkehrabbildung (inverse bbildung) Wir betrachten die Gleichung () = zunächst ohne die Einschränkungen, die Deinitionsund Wertebereich an und stellen. Zur Lösung der Gl. ()= verwenden wir die p-q-formel : () = = = 0 Normalorm mit p =,q = = 1 ± 1 + Man sieht, dass die Gleichung () = sowohl in ezug au Eistenz als auch in ezug au Eindeutigkeit problematisch ist: Probleme bei der Eistenz einer Lösung: Wenn < 1 ist, eistiert 1 + nicht und damit gibt es keine Lösung der Gleichung. Probleme bei der Eindeutigkeit der Lösung: Wenn > 1 ist, gibt es die beiden verschiedenen Lösungen und Die Probleme bzgl. Eistenz und Eindeutigkeit au der rechnerischen Ebene entsprechen genau den Problemen bzgl. Surjektivität und Injektivität, die sich oben graphisch zeigten. Wiederholung: De. einer bbildung: Jedem wird genau ein zugeordnet. ijektivität: Jedes wird von genau einem erreicht. ei einer bijektiven bbildung lässt sich also die umgekehrte Zuordnung vornehmen. Man erhält so eine neue bbildung g :,, die jedem sein (eindeutig bestimmtes) Urbild mit ()= zuordnet. Diese bbildung g wird als die Umkehrabbildung von bezeichnet. Deinition.19. [Umkehrabbildung] Gegeben eine bbildung :. (1) Eine bbildung g : heißt Umkehrabbildung von (oder: inverse bbildung zu), wenn g( ()) = ür alle. () esitzt eine Umkehrabbildung, so heißt die bbildung umkehrbar. (3) Ist umkehrbar, so schreibt man ür die Umkehrabbildung g : auch g =: 1. Im Fall einer Funktion spricht man natürlich von der Umkehr- oder inversen Funktion 1 Mengen und bbildungen, S. 33 eispiel: Nachweis der ijektivität Mengen und bbildungen, S. 35 Umkehrbarkeit = ijektivität Wir hatten ermittelt (ohne die Einschränkungen an De.- und Wertebereich): Nach der obigen Überlegung ist ijektivität genau das Gleiche wie Umkehrbarkeit: ()= { = 1 ± 1 + /0 ür > 1 ür < 1 Durch die Einschränkungen an den Deinitionsbereich ( 1) wird die Funktion injektiv. Durch die Einschränkungen an den Wertebereich ( 1) wird die Funktion surjektiv. Satz.0. [Umkehrbarkeit = ijektivität] Eine bbildung : ist genau dann umkehrbar, wenn bijektiv ist. Zusammengeasst: Die Umkehrabbildung einer bijektiven bbildung : ist diejenige bbildung 1 :, die jedem sein (eindeutig bestimmtes) Urbild mit () = zuordnet. Es gelten die eziehungen: n dem eispiel sieht man gut: 1( () ) =, und ( 1 () ) =. Wenn eine bbildung nicht surjektiv ist, ist der Wertebereich zu groß. Wenn eine bbildung nicht injektiv ist, ist der Deinitionsbereich zu groß. D W nders gesagt: = -1() = () Durch geeignete Wahl (Verkleinerung) des Deinitions- und/oder Wertebereichs kann man jede bbildung bijektiv machen. W -1-1 D -1

10 Mengen und bbildungen, S. 36 eispiel zur Umkehrunktion Wir hatten schon estgestellt, dass die bbildung (Funktion) : [1, ) [ 1, ), () = bijektiv ist. Ihre Umkehrunktion erhält man durch ulösen der Gleichung = () nach innerhalb des gegebenen Deinitions- und Wertebereichs. ber das haben wir schon beim Nachweis der ijektivität erledigt: Für gegebenes W ist = 1 () das eindeutig bestimmte D, das die Gl. = () löst. Die Umkehrunktion der vorliegenden Funktion ergibt sich also ohne Weiteres als: 1 : [ 1, ) [1, ), 1 () = Mengen und bbildungen, S. 37 Graphische estimmung der Umkehrunktion Graphisch erhält man die Umkehrabbildung (hier: Umkehrunktion), indem man die usgangsunktion an der Winkelhalbierenden = spiegelt: = 1 () =