1 Mengenlehre. 1.1 Grundbegriffe

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1 Dieses Kapitel behandelt Grundlagen der Mengenlehre, die in gewisser Weise am nfang der Mathematik steht und eine Sprache bereitstellt, die zur weiteren Formulierung der Mathematik sehr hilfreich ist. 1.1 Grundbegriffe Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte, wobei von jedem Objekt eindeutig feststehen muß, ob es zur Menge gehört oder nicht. Gehört ein Objekt zu einer Menge, so bezeichnet man es auch als Element dieser Menge. Ist ein Objekt e Element einer Menge M, soschreibtmandafür e M (sprich: e Element M); ist e hingegen nicht Element von M, soschreibtman dafür e/ M (sprich: e nicht Element M). Üblicherweise wird eine Menge auf eine von zwei rten beschrieben: Die erste besteht darin, alle ihre Elemente in geschweifte Klammern eingefaßt und durch Kommata getrennt vollständig aufzuzählen. eispielsweise beschreibt der usdruck {a, e, i, o, u} die Menge aller Vokale des lateinischen lphabets. In unzweideutigen Fällen, insbesondere ei unendlichen Mengen und bei unzweideutigen Fällen ist auch die Verwendung von Ellipsen (...) möglich. So wird jeder {a,b,c,d,e,...,z} unzweideutig als die Menge aller kleinen uchstaben des lateinischen lphabets und {2, 4, 6, 8, 10,...} als die Menge aller positiven und geraden Zahlen erkennen. Die zweite typische rt der eschreibung ist die, eine allen Elementen einer Menge und nur diesen anhaftende und somit für Elemente dieser Menge charakteristische Eigenschaft anzugeben, z.. {x x ist Vokal des lateinischen lphabets }. Eine spezielle Menge ist die sogenannte leere Menge und wird mit oder {} bezeichnet. Ein weiterer wichtiger egriff der Mengenlehre ist die Mächtigkeit einer Menge. Sie ist für Mengen mit endlich vielen Elementen die nzahl deren Elemente. Die Mächtigkeit von Mengen mit unendlich vielen Elementen wird mit dem Symbol (sprich: unendlich) bezeichnet. 1 Üblicherweise wird die Mächtigkeit einer Menge M als M geschrieben. 1 ei unendlichen Mengen wird außerdem zwischen abzählbar und überabzählbar unendlichen Mengen unterschieden, was an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden soll. 1

2 eispiel 1.1: (i) Für M := {2, 3, 4} ist M =3. (ii) {{1}, {2}, {1, 3}} =3. (iii) { 1, 2, 3,...} =. Gilt für zwei Mengen und, daßjedeselementvon auch Element von ist, so ist Teilmenge von. Man schreibt. Existiertdarüberhinaus ein Element von, welches nicht Element von ist, so heißt echte Teilmenge von, und man schreibt. Gilt für zwei Mengen und sowohl als auch, haben also beide Mengen die gleichen Elemente, so heißen diese Mengen gleich, und man schreibt =. 2 Falls zwei Mengen und ungleich sind bzw. nicht Teilmenge bzw. nicht echte Teilmenge von ist, wird durch die usdrücke, bzw. beschrieben. eispiel 1.2: Seien M := {2, 3, 4}, N := {2, 4}, P := {4, 3, 2} und Q := {{2}}. Dann gilt: (i) N M P (ii) N M und M P (iii) M = P (iv) Q M In einigen eispielen wurde bereits deutlich, daß Mengen wiederum Mengen als Elemente enthalten können. Die Menge aller möglichen Teilmengen einer Menge M ist oft von Interesse. Sie heißt Potenzmenge von M und wird durch das Symbol (M) bezeichnet. eispiel 1.3: (i) Für M := {1, 2, 3} ist (M) ={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. (ii) Gegeben sei die Menge der Vokale V := {a, e, i, o, u}. Es gilt (V )={W W ist eine Menge, deren Elemente Vokale sind }. (iii) Die Potenzmenge der leeren Menge ist nicht leer ( ) ={ }. 1.2 Mengenoperationen Für Mengen sind verschiedene Operationen definiert, die jeweils zwei Mengen zu einer Ergebnismenge verknüpfen. Der Durchschnitt zweier Mengen und ist die Menge aller Elemente, die sowohl Element von als auch Element 2 Man beachte, daß auch die beiden Mengen {a, b} und {a, b, b} aufgrund der Forderung, daß alle Elemente wohlunterschieden sein müssen, gleich sind. 2

3 von sind und Vereinigung zweier Mengen und ist die Menge der Elemente, die entweder Element von oder Element von oder Element von und sind. Ist der Durchschnitt zweier Mengen und leer, ist also =, so heißen diese beiden Mengen disjunkt. DieDifferenz \ ist die Menge aller Elemente, die zwar Element von, aber nicht Element von sind. Man beachte, daß die ildung der Differenz zweier Mengen im Unterschied zur ildung des Durchschnitts oder der Vereinigung nicht kommutativ oder vertauschbar ist, d.h. es gilt im llgemeinen nicht \ = \. Dagegen gilt immer sowohl = als auch =. Für zwei Mengen und mit ist das Komplement von bezüglich definiert als \ ; man schreibt dafür üblicherweise C. Oft ist bei der ildung eines Komplements aus dem jeweiligen Kontext klar, bezüglich welcher Grundmenge das Komplement gebildet wird. Verkürzendwirdfür das Komplement einer Menge dann nur C oder auch Ā geschrieben. eispiel 1.4: (i) Seien M := {1, 2, 3} und N := {3, 4}. Dann gilt: M N = {3} und M N = {1, 2, 3, 4} (ii) Sei := {Kreuz, Pik, Herz, Karo} und := {Kreuz, Pik}. DannistC = C = {Herz, Karo}. (iii) Seien N := {1, 2, 3,...}, G := {2, 4, 6,...} und U := {1, 3,...}, dannist C N G = U und C N C N G = G. Mengenoperationen und eziehungen zwischen Mengen werden häufig in sogenannten Venn-Diagrammen veranschaulicht. In derartigen Diagrammen werden Mengen als geeignete Flächen in der Ebene dargestellt. In bbildung 1.1 sind beispielhaft die ildung von Durchschnitt (a), Vereinigung (b), Differenz (c) und Komplement für zwei nicht disjunkte Mengen und und eine Grundmenge in Venn-Diagrammen wiedergegeben. 1.3 Rechenregeln für Mengenoperationen Für beliebige Mengen,, C und mit,, C gelten die folgenden Rechenregeln: Zunächst gelten für Vereinigung und Durchschnitt sowohl das Kommutativ- als auch das ssoziativgesetz, d.h. es gilt = und =, ( C) =( ) C und ( C) =( ) C. Es gelten die beiden Distributivgesetze ( C) =( ) ( C), ( C) =( ) ( C). 3

4 (a) (b) \ C (c) (d) bbildung 1.1: Venn-Diagramme Schließlich gelten noch folgende Regeln für die ildung von Komplementen: C = und C =, C( ) =C C und C( ) =C C, C = und C =, CC =. 1.4 Tupel und kartesische Produkte Mengen sind nicht geordnete Zusammenfassungen von Objekten. Die Mengen {a, b} und {b, a} sind also gleich. Ist dagegen auch die Reihenfolge zweier Objekte von edeutung, kann dieses durch das Konzept des Tupels erfasst werden. Sollen beispielsweise die beiden Objekte a und b in der Weise geordnet zusammengefasst werden, daß b vor a kommt, so werden sie in dem Tupel (b, a) zusammengefasst. Dabei ist b die erste Komponente dieses Tupels und a die zweite. Ein Tupel mit zwei Komponenten heißt auch Zwei-Tupel. Eine offensichtliche Verallgemeinerung des Zwei-Tupels ist eine geordnete Zusammenfasung nicht nur von zwei, sondern von beliebig vielen Objekten. Endliche derartige Zusammenfassungen heißen n- Tupel. Dabei gibt n {1, 2, 3,...} die nzahl der Komponenten des Tupels an. Mengen von n-tupeln gleicher rt können über die ildung n-facher kartesischer Produkte definiert werden. ufgrund der ordnungsgebenden Eigenschaft des Tupels gilt (b, a) (a, b) für a b; zwei Tupel sind also nur dann gleich, wenn 4

5 sie jeweils in allen Komponenten übereinstimmen. Das kartesische Produkt oder Kreuz-Produkt zweier Mengen und ist die Menge aller Tupel (a, b) von Elementen a und b. eispiel 1.5: (i) Die beiden Tupel (Karo, 7) und (Kreuz, ube) kann man verwenden, um die beiden entsprechenden Spielkarten zu repräsentieren. Die Menge aller Spielkarten eines Skat-lattes ist dann = {(f,w) f {Kreuz, Pik, Herz, Karo } und w {7, 8, 9, 10, ube, Dame, König, ss }}. Für jede Hand H zu eginn eines Skatspiels gilt H und H = 10. (ii) Sei := {1, 2} und := {a, b}.dannist = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}. (iii) Die Menge aller Felder eines Schachbretts ist {,,..., H} {1, 2,...,8}. (iv) Seien := {u, v, w} und := {x, y, z}. (u, v, z) ist ein 3-Tupel und Element von. (u, w, w, v, v, u) ist ein 6-Tupel und Element von = 6 (sprich: hoch 6). 5