mathphys-online EINFACHE UMKEHRFUNKTIONEN

Transkript

1 EINFACHE UMKEHRFUNKTIONEN

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Einührungsbeispiel Der Begri Umkehrunktion 3 Die Umkehrunktion der linearen Funktion 3 Die Umkehrunktion der quadratischen Funktion Graphiken erstellt mit Mathcad 5 Juni 03

3 Umkehrunktionen Einührungsbeispiel Temperaturen werden in den USA oder in England nicht, wie in Deutschland, in der Einheit Celsius ( C) gemessen, sondern in Fahrenheit ( F). Das ist historisch bedingt. Im Jahr 7 deinierte der Physiker Gabriel Daniel Fahrenheit seine Temperaturskala. Als Nullpunkt legte er die tieste Temperatur est, die er mit einer Mischung aus Eis, Wasser und Salmiak erzeugen konnte, nämlich -7,78 C. Der Gerierpunkt von Wasser liegt in der Fahrenheitskala bei 3 F, der Siedepunkt von Wasser bei F. Im Internet indet man unter dass z. B. 35 C in 95 F umgerechnet werden. Arbeitsautrag Finden Sie jeweils eine Funktion mit linearer Skalierung, mit der man C in F umrechnen kann und umgekehrt. Stellen Sie die Funktionen graphisch in einem Diagramm dar und überprüen Sie die Beispielrechnung aus dem Internet. Lösung Celsiusskala: C (0 / 3) ; C (00 / ) Lineare Funktion: 3 9 g(x) C x 3 x Fahrenheitskala: F(3/0); F ( /00) Lineare Funktion: g F(x) (x 3) x Überprüung der Celsiusskala: 9 g C(x) Überprüung der Fahrenheitskala: g F(x)

4 Der Begri Umkehrunktion Gegeben ist eine Funktion mit :D W x y (x) mit eindeutiger Zuordnungsvorschrit. Dann existiert die umgekehrte Zuordnung, die Umkehrunktion: : W D y x (y) Formale Schreibweise: u: D W u u x y u(x) Satz Jede injektive Funktion (jedes Bild hat genau ein Urbild) besitzt eine Umkehrunktion -. Satz Jede streng monotone Funktion ist in ihrer Wertemenge umkehrbar. Allgemeine Berechnung des Funktionsterms der Umkehrunktion. Nachweis der Monotonieeigenschat von.. Bestimmung der Wertemenge von. 3. Berechnung des Funktionsterms von - (x) = u(x). Vertauschung der Variablen, also x = (y), und Aulösen nach y.. Angabe von - (x) = u(x) mit Deinitions- und Wertemenge.

5 3 Die Umkehrunktion der linearen Funktion Beispiel Gegeben ist die Funktion mit (x) x und x IR. a) Tragen Sie den Graphen von in das Koordinatensystem ein. Kennzeichnen Sie die Richtung der Zuordnung. b) Tragen Sie den Graphen von in das Koordinatensystem ein. Kennzeichnen Sie die Richtung der umgekehrten Zuordnung -. c) Üblicherweise liegt die Deinitionsmenge au der x-achse und die Wertemenge au der y-achse. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Umkehrunktion u durch Vertauschung der Variablen und tragen Sie die Graphen von Funktion und Umkehrunktion u in das Koordinatensystem 3 ein. d) Markieren Sie den Punkt, ür den die Funktionswerte gleich sind und überprüen Sie rechnerisch. Welche geometrische Besonderheit ergibt sich zwischen den Graphen? Funktionsgleichung: y 0,5 x D 0,5; Wertemenge: W,5;3 ; (0,5),5; () 3; Vertauschen der Variablen: x 0,5 y Aulösen nach y: y (x ) Umkehrunktion: u(x) (x ) P(/) ist gemeinsamer Punkt. Überprüung: (x) u(x) 0,5 x x, 5 x 3 x Die Graphen von Funktion und Umkehrunktion u sind symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden y = x. 3

6 Die Umkehrunktion der quadratischen Funktion Beispiel Gegeben ist der Graph der Funktion sowie der Funktionsterm mit (x) x x und x IR. a) Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Funktion umkehrbar ist und geben Sie die Wertemenge an. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Term der Umkehrunktionen und geben Sie die jeweils Deinitions- und Wertemenge an. c) Markieren Sie den jeweils umkehrbaren Teil des Funktionsgraphen und zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrunktion. 7 Lösung zu a) Ableitungsunktion: '(x) x ; Bestimmung des Scheitels: '(x) 0 x 0 xs 0,5; ys (0,5),5 G ist streng monoton allend ür x ; 0,5, W,5; G streng monoton steigend ür x 0,5;, W,5; Lösung zu b) Funktionsgleichung: y x x ; Vertauschung der Variablen: x y y 7 (,75 x) x 6 Aulösen nach y: y y x 0; y/ 0,5 x,5 Umkehrunktionen: Monoton allender Zweig: D,5; ; W ; 0,5 ; u(x) 0,5 x,5 7 u Monoton steigender Zweig: D,5; ; W 0,5; Lösung zu c) u u u 7 ; u(x) 0,5 x,5

7 Beispiel Gegeben ist der Graph der Funktion sowie der Funktionsterm mit (x) x x und x IR. a) Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Funktion umkehrbar ist und geben Sie die Wertemenge an. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Term der Umkehrunktionen und geben Sie die jeweils Deinitions- und Wertemenge an. c) Markieren Sie den jeweils umkehrbaren Teil des Funktionsgraphen und zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrunktion. Lösung zu a) Funktionsgleichung: y x x ; Vertauschung der Variablen: x y y Aulösen nach y: y y x 0; (x ) x y/ 3 x Umkehrunktionen: Monoton steigender Zweig: D ;3 ; W ; ; u(x) 3 x Monoton steigender Zweig: D ;3 ; W ; u u u u ; u(x) 3 x Lösung zu b) Ableitungsunktion: '(x) x ; '(x) x Bestimmung des Scheitels: '(x) 0 x xs ; ys ( ) 3 W ;3 G ist streng monoton steigend ür x ;, G streng monoton allend ür x ;, W ;3 Lösung zu c) 5