3 Abbildungen. 14 I. Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit

Transkript

1 14 I. Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit 3 Abbildungen 3.1 Definition. Es seien zwei Mengen M, N gegeben. Unter einer Abbildung f : M N von M nach N versteht man eine Vorschrift, die jedem Element M genau ein Element y = f() N zuordnet. 3.2 Beispiele. a) Für M = N wird durch I() :=, M, die identische Abbildung I = I M : M M definiert. b) Für festes c N wird durch c() := c, M, eine konstante Abbildung c : M N definiert. c) Für M = N = R wird durch f() := 2 + 1, R, eine affine Abbildung f : R R definiert. d) Für M = N = R und k N 0 wird durch p k () := k, R, eine Potenzfunktion p k : R R definiert. Man kann p k auch als Abbildung p k : [0, ) R oder p k : [0, ) [0, ) auffassen. e) Für M = N = R\{0} wird durch j() := 1, R\{0}, die Inversionsabbildung j : R\{0} R\{0} definiert. f)fürm = N = R wirddurcha() :=, R, diebetragsfunktiona : R R definiert. 3.3 Definitionsbereich und Zielbereich. In Definition 3.1 heißt M DefinitionsbereichD(f), N ZielbereichZ(f) von f. Zwei Abbildungen f,g werden nur dann als gleich betrachtet, wenn D(f) = D(g), Z(f) = Z(g) und f() = g() für alle D(f) gilt. Insbesondere sind in Beispiel 3.2 d) drei verschiedene Abbildungen angegeben. 3.4 Graphen. a) Das kartesische Produkt M N := {(,y) M, y N} (1) zweier Mengen M und N wird als Menge aller geordneten Paare (,y) mit M und y N definiert. b) Der Graph einer Abbildung f : M N ist die Teilmenge Γ(f) := {(,y) M, y = f()} = {(,f()) M} M N (2) von M N. Diese hat offenbar die Eigenschaft M 1 y N : (,y) Γ(f); (3) hierbei hat der Quantor 1 die Bedeutung es gibt genau ein. c) Der Graph Γ(f) dient zur Veranschaulichung von f. Im Fall M = N = R kann in der Tat R R =: R 2 als Ebene aufgefaßt werden; wegen (3) ist dann Γ(f) eine Kurve in der Ebene, die jede Parallele zur y-achse genau einmal schneidet.

2 3 Abbildungen Funktionen. Eine Abbildung f : M R mit Zielbereich R heißt auch Funktion. Für Funktionen f, g auf M lassen sich Summe, Produkt und Quotient einfach punktweise definieren: (f +g)() := f()+g(), M ; (4) (f g)() := f() g(), M ; (5) ( f f() )() :=, g() 0, (6) g g() wobei f g nur auf M\{ M g() = 0} erklärt ist. Entsprechend definiert man f, ma{f,g} und min{f,g}. Weiter hat man die punktweise Beziehung f g : M : f() g(). (7) Wir beginnen nun mit der Einführung der trigonometrischen Funktionen. Winkel werden stets im Bogenmaß gemessen. Dazu benötigt man die Länge eines Kreisbogens. Dieser Begriff ist sicher sehr anschaulich; seine präzise Fassung ist aber nicht unkompliziert und verwendet u. a. die Vollständigkeit von R. Sie wird erst später mit Hilfe der Integralrechnung erfolgen, natürlich ohne Verwendung vorher erzielter Erkenntnisse über trigonometrische Funktionen. 3.6 Sinus und Kosinus. a) In der elementaren Trigonometrie werden Sinus und Kosinus eines (orientierten) Winkels ϕ folgendermaßen definiert: Man realisiert ϕ als Winkel zwischen der positiven -Achse undeiner Strecke vono = (0,0) zueinempunktp = (,y) aufderkreislinie S := {(ξ,η) R 2 ξ 2 +η 2 = 1} und setzt dann (vgl. Abb. 3a) sinϕ := y, cosϕ :=. (8) y O ϕ Abb. 3a P = (,y) Die Größe eines Winkels wird durch die Konvention festgelegt, daß ein voller Winkel 360 beträgt, ein rechter Winkel dann 90 usw. b) In der Analysis möchte man als Definitionsbereich der Funktionen Sinus und Kosinus an Stelle dieser nicht eakt definierten Winkel reelle Zahlen verwenden. Zu diesem Zweck mißt man die Winkel im Bogenmaß, d.h. man ersetzt einen Winkel ϕ durch die dazu offenbar proportionale Länge s des Kreisbogens S P zwischen den Punkten Q := (1,0) und P = (,y). Die Länge eines Halbkreises S ( 1,0) wird als Kreiszahl π bezeichnet; die Länge 2π der Kreislinie S entspricht dann dem vollen Winkel von 360. c) Näherungen für die irrationale Zahl π konstruieren wir später. Sehr schnell konvergente Verfahren (vgl. dazu etwa [K1], Abschnitt 30*) liefern π = 3, d) Nach Konstruktion gilt offenbar sin 2 s+cos 2 s = 1 für s R, (9) S P Q

3 16 I. Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit insbesondere also sins, coss 1 für s R. (10) e) Winkel werden als gleich betrachtet, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 360 unterscheiden. Da 360 im Bogenmaß 2π ist, sind also die Funktionen Sinus und Kosinus sind 2π-periodisch (vgl. Abb. 3b): sin(s+2π) = sins, cos(s+2π) = coss, s R. (11) f) Offenbar ist Sinus eine ungerade Funktion, Kosinus eine gerade Funktion, d. h. man hat sin( s) = sins, cos( s) = coss, s R. (12) g) Für Sinus und Kosinus gelten die Funktionalgleichungen sin(s+t) = sins cost + coss sint, s,t R, (13) cos(s+t) = coss cost sins sint, s,t R, (14) die für die Untersuchung dieser Funktionen grundlegend sind. Wir verzichten hier auf eine aus der Schule sicher bekannte geometrische Begründung; ein Beweis folgt später mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung π 2π π 0 π 2π 3π Abb. 3b: Sinus und Kosinus (gepunktet) 3.7 Maima und Minima von Funktionen. a) Die Beschränktheitsbegriffe aus 1.13 lassen sich auf Funktionen übertragen, indem man sie auf ihre Bilder anwendet. Für eine beliebige Abbildung f : M N und A M wird durch f(a) := {f() A} N (15) das Bild von A unter f definiert. Analog wird für B N durch f 1 (B) := { M f() B} M (16) das Urbild von B unter f erklärt. b) Eine Funktion f : M R heißt nun beschränkt, falls f(m) beschränkt ist, falls also gilt C 0 y f(m) : y C C 0 M : f() C. Entsprechend heißt f : M R nach oben bzw. unten beschränkt, wenn dies auf f(m) zutrifft. c) Eine Funktion f : M R besitzt ein Maimum bzw. ein Minimum auf M, falls dies auf f(m) zutrifft.

4 3 Abbildungen 17 Punkte 0 M mit f( 0 ) = ma f(m) =: maf() M bzw. (17) f( 0 ) = min f(m) =: minf() M (18) heißen Etremalstellen, genauer Maimalstellen bzw. Minimalstellen von f. Die Bestimmung von Etremalstellen gegebener Funktionen ist eine wichtige Anwendung der Analysis auf konkrete Probleme. Wir gehen später darauf ein. 3.8 Beispiele. a) Die Inversion j : 1 ist auf M := (0, ) nicht nach oben beschränkt. Ist in der Tat C > 0 gegeben, so ist := 1 M, und es gilt 2C j() = 2C > C. Nach unten ist j durch 0 beschränkt, hat allerdings kein Minimum auf M, da ja für a M auch := a+1 in M liegt und j() < j(a) gilt. b) Die Funktion f : (1 ) ist auf M := R durch 1 nach oben beschränkt. 4 In der Tat gilt = ( )2 0, also 2 1 für alle R. Gleichheit 4 gilt genau für = 1, d.h. 1 ist die einzige Maimalstelle, und 2 2 f(1) = 1 ist das 2 4 Maimum von f auf M. c) Die Maimalstellen des Kosinus sind die Punkte {0,±2π,±4π,...}, die Minimalstellen die Punkte {±π,±3π,...}, vgl. Abb. 3b. Für Funktionen mit D(f) R hat man folgende Monotonie-Begriffe: 3.9 Definition. Es sei M R. Eine Funktion f : M R heißt a) [streng] monoton wachsend, falls gilt:,y M : < y f() f(y) [f() < f(y)]; b) [streng] monoton fallend, falls gilt:,y M : < y f() f(y) [f() > f(y)] Beispiele. a) Konstante Funktionen sind monoton wachsend und monoton fallend. b) Die Potenzfunktionen p k : [0, ) R sind für k 1 streng monoton wachsend; für ungerade k gilt dies wegen ( ) k = k auch für ihre Fortsetzungen p k : R R. c) j : 1 ist auf (0, ) streng monoton fallend. d) Monotone Funktionen f auf kompakten Intervallen [a, b] sind beschränkt; in der Tat gilt ja f(a) f() f(b) oder f(a) f() f(b) für alle [a,b]. Das Beispiel p 2 : 2 auf [ 1,1] zeigt, daß die Umkehrung dieser Aussage nicht gilt. Auf der Menge N R definierte Funktionen heißen Folgen. Für diese sind die Beschränktheits- und Monotonie-Begriffe natürlich gemäß 3.7 und 3.9 erklärt Definition. Eine Funktion f : N R heißt Folge. Die Funktionswerte a n := f(n) heißen Folgenglieder, und man schreibt f = (a n ). Statt N kann auch etwa N 0 Definitionsbereich einer Folge sein.

5 18 I. Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit 3.12 Beispiele. a) Die Folge (a n ) = (3n+1) = (4,7,10,13,...) ist monoton wachsend. b) Die Folge (a n ) = ( 1 ) = (1, 1, 1, 1,...) ist monoton fallend und beschränkt mit n der unteren Schranke 0 und dem Maimum 1. c) Die Folge (a n ) = (( 1) n ) = ( 1,1, 1,1,...) ist nicht monoton, aber beschränkt mit dem Minimum 1 und dem Maimum 1. d) Für 0 q < 1 ist die Folge (a n ) = (q n ) n 0 = (1,q,q 2,q 3,...) monoton fallend und beschränkt mit der unteren Schranke 0 und dem Maimum 1. e) Für 0 q < 1 ist die Folge (s n ) = ( n q k ) n 0 = (1,1+q,1+q +q 2,...) k=0 monoton wachsend und hat das Minimum 1. Wegen (2.6) ist sie nach oben beschränkt mit der oberen Schranke 1 1 q. f) Für 0 < q < 1 betrachten wir die Folge (a n ) = (nq n ) = (q,2q 2,3q 3,...). Da die Folge (n) wächst, (q n ) jedoch fällt, ist nicht sofort klar, wie sich das Produkt (nq n ) verhält. Nach der Folgerung (2.14) aus der Bernoullischen Ungleichung ist aber die Folge (nq n ) beschränkt. In den anschließenden Abschnitten werden Folgen genauer untersucht. Zuvor betrachten wir hier nun wieder allgemeine Abbildungen Gleichungen. a) Eine wesentliche Motivation für die Entwicklung der Mathematik war und ist die Untersuchung von Gleichungen. Diese können mittels einer Abbildung f : M N so formuliert werden: f() = y. (19) Hierbei sind also eine Abbildung f : M N und y N gegeben, und Lösungen M werden gesucht. b) Die erste Frage ist natürlich die nach der Eistenz einer Lösung von Gleichung (19). Eistiert für alle y N mindestens eine Lösung M, so heißt die Abbildung f : M N surjektiv. c) Die zweite Frage ist die nach der Eindeutigkeit von Lösungen der Gleichung (19), d.h. obesvorkommen kann,daßzueinemy N zwei verschiedenelösungen von (19) eistieren. Ist dies nicht der Fall, so heißt die Abbildung f : M N injektiv. d) Abbildungen, die gleichzeitig injektiv und surjektiv sind, heißen bijektiv. In diesem Fall hat die Gleichung (19) für alle y N genau eine Lösung M. Bei konkreten Gleichungen kann es natürlich sehr schwierig sein, die Eistenz oder Eindeutigkeit von Lösungen festzustellen. Die soeben eingeführten Begriffe sind aber offenbar grundlegend für die Untersuchung von Gleichungen in der Mathematik. Sie werden noch einmal in einer formalen Definition zusammengefaßt: 3.14 Definition. Eine Abbildung f : M N heißt a) injektiv, falls gilt:, M : f() = f( ) =,

6 3 Abbildungen 19 b) surjektiv, falls gilt: y N M : f() = y, und c) bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist Definition. Für eine bijektive Abbildung f : M N wird die Umkehrabbildung f 1 : N M definiert durch f 1 (y) :=, wobei M die eindeutige Lösung der Gleichung (19) f() = y für y N ist. Im Fall M,N R nennt man f 1 auch Umkehrfunktion von f Satz. Es seien M R und f : M R streng monoton wachsend. a) Dann ist f injektiv und somit f : M f(m) sogar bijektiv. b) Die Umkehrfunktion f 1 : f(m) R ist ebenfalls streng monoton wachsend. Einen Beweis findet man in [K1], Satz 3.16 gilt sinngemäß auch für streng monoton fallende Funktionen Beispiele und Bemerkungen. a) Durch f : a+b wird für a,b R eine affine Funktion auf R definiert, deren Graph eine Gerade in der Ebene R 2 ist. Für a 0 hat die Gleichung (19) f() = a+b = y die eindeutig bestimmte Lösung = y b. Somit ist f : R R bijektiv, und es gilt a f 1 () = b für R. a Die Graphen von f und f 1 gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden {(,y) y = } auseinander hervor. b) Die Potenzfunktionen p k : R R sind wegen 3.10b) genau für ungerade k injektiv; ihre Einschränkungen p k [0, ) auf [0, ) sind dagegen auch für gerade k injektiv. Natürlich gilt p k [0, ) [0, ); in 5.8 wird die Surjektivität von p k : [0, ) [0, ) bewiesen. c) Die Beispiele in b) zeigen, daß der Begriff injektiv stark von der Wahl des Definitionsbereichs D(f) abhängt, surjektiv sogar von der Wahl von D(f) und Zielbereich Z(f). d) Die Inversion j : 1 ist eine bijektive Abbildung j : (0, ) (0, ), und es gilt j 1 = j. Der Graph Γ(j) ist symmetrisch zur Winkelhalbierenden Definition. Für Abbildungen f : M N, g : N U definiert man die Komposition, Hintereinanderausführung oder Verkettung g f : M U durch (g f)() := g(f()) für alle M Feststellung. a) Für f : M N, g : N U und h : U V gilt h (g f) = (h g) f : M V. b) f : M N ist genau dann bijektiv, wenn eine Abbildung g : N M eistiert mit g f = I und f g = I. In diesem Fall gilt g = f Bemerkungen. a) Für die Komposition von Abbildungen gilt also das Assoziativgesetz. b) Dagegen ist die Komposition von Abbildungen nicht kommutativ. Für die durch p 2 () = 2 und f() = +1 gegebenen Abbildungen von R nach R etwa gilt (p 2 f)() = (+1) 2, aber (f p 2 )() = 2 +1, R. Aufgaben: a) Es sei 0 < q < 1. Sind die Folgen (n 2 q n ) und (n 3 q n ) beschränkt? b) Gegeben seien die Folgen (E n := n 1 k! ), (s n := n Folgen beschränkt? k=1 k=1 1 k ) und (h 2 n := n k=1 1 k ). Sind diese