Spezielle Klassen von Funktionen

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1 Spezielle Klassen von Funktionen 1. Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f : R R mit f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, n N 0 und a 0, a 1,, a n R, (a n 0) heißt ganzrationale Funktion n ten Grades oder Polynom n ten Grades. Bemerkungen: Die reelle Zahlen a 0, a 1,, a n heißen Polynomkoeffizienten. Der höchste Exponent n in der Funktionsgleichung bestimmt den Polynomgrad. Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen. Beispiele: 1) f (x) = 3 x 5 3 x 4 + x + x 1 ist ganzrationale Funktion 5 ten Grades. ) f (x) = (4 x 5 + x 8 + 3)(4 x 5 x + 3 x) ist ganzrationale Funktion 13 ten Grades. Konstante Funktionen Konstante Funktionen haben die Form f (x) = c In der graphischen Darstellung erhält man eine zur x Achse parallel verlaufende Gerade. Beispiel: 1) f (x) = 3 Lineare Funktionen Eine Funktion f : R R mit f (x) = a x + b (a 0) heißt lineare Funktion. Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle, nämlich x 1 = b a Funktion ist immer eine Gerade.. Der Graph einer linearen Beispiel: 1) f (x) = 3 x + 3, x 1 = 1 M. Komasi 1

2 Quadratische Funktionen Die allgemeine Form einer quadratische Funktion mit den Parametern a, b, c lautet: f (x) = a x + b x + c, (a 0) In der graphischen Darstellung erhält man eine Parabel, die für a 0 nach oben, für a 0 nach unten geöffnet ist. Die Nullstellen der quadratischen Funktion erhält man als Lösungen der quadratischen Gleichung: a x + b x + c = 0 Die allgemeine Lösungen dieser Gleichung lauten: a b c Formel: x 1, = b ± b 4a c a Eine Fallunterscheidung wird dabei unter Anwendung der Diskriminante D = b 4 a c wie folgt vorgenommen: Satz i) D 0 : Es gibt zwei verschiedene reelle Nullstellen ii) D = 0 : Es gibt eine (doppelte) reelle Nullstelle x 1, = b a iii) D 0 : es gibt keine reelle Nullstellen Sind x 1 und x die Nullstellen der quadratischen Funktion, a x + b x + c = 0, so kann man die Funktionsgleichung als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben: Beispiel: 1) f (x) = x 10 x + 1 f ( x) = a ( x x 1 ) ( x x ) Nullstellen: x 10 x + 1 = 0 x 1 =, x = 3 Produktform der Parabel: f (x) = ( x ) (x 3) Mit Hilfe der gefundenen Nullstellen lässt sich ein Polynom als Produkt mehrerer Faktoren schreiben, indem die Faktoren ( x Nullstelle ) ausgeklammert werden. Faktorisieren: f (x) = (x ) (x 3) ) f (x) = 6 x x + 1 x f (x) = x(6 x + 18 x + 1) Nullstellen: x(6 x + 18 x + 1) = 0 x 1 = 0, x = 1, x 3 = Faktorisieren: f (x) = 6 (x 0) ( x ( 1)) ( x ( )) = 6 x ( x + 1) ( x + ) M. Komasi

3 Polynomfunktionen höheren Grades Einer Polynomfunktion ist eine Funktion der Form: f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Bemerkung: Eine Polynomfunktion n-ten Grades besitzt höchstens n reelle Nullstellen. Satz: Ist f x eine ganzrationale Funktion n ten Grades und ist x 1 eine Nullstelle von f x, dann existiert eine ganzrationale Funktion g (x) vom Grad n 1 mit: (x x 1 ): Linearfaktor f (x) = ( x x 1 ) g (x) g (x): 1. reduzierte Polynom vom Grade n 1 Beispiel: 1) f (x) = x 3 4 x + x + 6 Durch probieren findet man die erste Nullstelle bei daher in der Form x 1 = 1. Die Polynomfunktion ist f (x) = x 3 4 x + x + 6 = (x ( 1)) g (x) = ( x + 1) g( x) darstellbar, wobei die 1. reduzierte Polynom durch Polynomdivision erhält: g (x) eine quadratische Funktion ist, die man g (x) = ( x 3 4 x + x + 6) : (x + 1) = x 5 x + 6 Daher gilt: - (x 3 + x ) 5 x + x ( 5 x 5 x) 6 x (6 x + 6) f (x) = x 3 4 x + x + 6 = ( x + 1) 0 Linearfaktor (x 5 x + 6) 1. reduzierte Polynom Faktorisieren: f (x) = ( x + 1) ( x ) (x 3) M. Komasi 3

4 Horner-Schema Das Horner-Schema ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern. Es kann genutzt werden, um die Polynomdivision sowie die Berechnung von Nullstellen zu vereinfachen. f x = a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 a n 0, f (x 1 ) = 0 x 1 a n a n 1 a n... a 0 a n x 1 [a n 1 + (a n x 1 )] x 1. x 1 = x 1 = a n a n 1 + (a n x 1 ) b n 1 a n + ([a n 1 + (a n x 1 )] x 1) b n b n 3.. f (x 1 )= 0 Die Koeffizienten b n 1, b n, b n 3,, b 0 f (x) = ( x x 1 ) g (x) sind die Koeffizienten des 1. reduzierten Polynoms. f (x) = ( x x 1 ) (b n 1 x n 1 + b n x n + b n 3 x n b 0 ) Beispiel: 1) f (x) = 1 x x 4 13 x 3 39 x + 36 x + 108, x 1 = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) f (x) = ( x x 1 ) g (x) f (x) = ( x ( 3)) (1 x 4 13 x + 36) 1. reduzierte Polynom = ( x + 3) ( x 4 13 x + 36) Die restlichen Nullstellen sind die Nullstellen des 1. reduzierten Polynoms x 4 13 x 36 = 0, z = x z 13 z 36 = 0 z 1 = 9, z 1 = x = 9 x = 3, x 3 = 3 z = 4, z = x = 4 x 4 =, x 5 = Produktdarstellung: f x = x 3 x 3 x x M. Komasi 4

5 Satz Sind x 1, x,, x n unterschiedliche Nullstelle der ganzrationalen Funktion n ten Grades, dann gilt: f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x x 1 ) (x x ) (x x n ). Mann nennt die Faktoren (x x 1 ) (x x ) (x x n ) als Linearfaktoren. Mehr-fache Nullstelle f x sei eine ganzrationalen Funktion n ten Grades. Dann ist x 1 eine mehr fache Nullstelle von f x, wenn eine ganzrationalen Funktion g x vom n k ten Grade mit g (x 1 ) 0 so existiert, dass f (x) = ( x x 1 ) k g (x) Beispiel: 1) f x = x 5 6 x 4 13 x 3 14 x 1 x 8, x 1 = Produktdarstellung: f (x) = ( x )(x )(x )(1 x + 1) f (x) = ( x ) 3 (x + 1) M. Komasi 5

6 . Gebrochen rationale Funktionen: Sind f x und g x ganzrationale Funktionen, so nennt man die Funktion r (x) = f (x) g( x), D r = R { x R g( x) = 0} gebrochen rationale Funktion. x 1 R heißt Nullstelle von r, falls f (x 1 ) = 0 und g x 1 0 gilt. x 1 R heißt Polstelle von r, falls f x 1 0 und g (x 1 ) = 0 gilt. x 1 R heißt Lücke von r, falls f (x 1 ) = 0 und g (x 1 ) = 0 gilt. Beispiele: 1) Die Funktion r (x) = mit D r = R {, 1} x 1 x + x = ( x + 1)( x 1) (x + )(x 1) hat für x N = 1 eine Nullstelle, für x P = eine Polstelle, und für x L = 1 eine Lücke. ) Die Funktion, r (x) = mit D r = R {, 3} x 4 x x 6 = ( x + )(x ) (x + )( x 3) hat bei x N = eine Nullstelle bei x P = 3 eine Polstelle und bei x L = eine Lücke. 3) Die Funktion r (x) = x + 3 x + x 3 mit D r = R {3} = (x + )(x + 1) (x 3) hat bei x N = 1 ; die Nullstellen bei x P = 3 eine Polstelle. M. Komasi 6

7 3. Potenzfunktionen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten Unter einer Potenzfunktion versteht man eine Funktion f mit f (x) = x n, x R, n N Bemerkungen: D f = R f (x) = x n = 1 x n Für gerades n sind die Potenzfunktionen gerade, für ungerades n ungerade. Beispiele: 1) f (x) = x 3 = 1 x 3 ) f (x) = x 4 = 1 x 4 Wurzelfunktionen Die Umkehrfunktionen der Potenzfunktion f (x) = x n, x R + 0, n N {1} heißen Wurzelfunktionen Bemerkung: f (x) = n x, x R 0 + Die Wurzelfunktionen sind streng monoton wachsende Funktionen. Die Wurzelfunktionen sind nur für nicht-negative Argumente definiert. x R 0 + Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Unter einer Potenzfunktion mit dem rationalen Exponenten versteht man die Funktion f (x) = n m x m n = x, m Z, n N Bemerkung: Die Potenzfunktionen sind für positive Exponenten streng monoton wachsend. Die Potenzfunktionen sind für negative Exponenten streng monoton fallend. M. Komasi 7

8 4. Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen. Primitive Periode Eine Funktion f : D Z heißt periodisch, wenn es eine Zahl p 0 gibt, so dass für alle x D gilt: x ± p D f x ± p = f x Existiert eine kleinste Zahl genannt. p 0 mit diesen Eigenschaften, dann wird sie primitive Periode Winkelmaße (Grad und Bogenmaß) Winkel im Einheitskreis können auf zwei Arten, dem Gradmaß und dem Bogenmaß, gemessen werden: Gradmaß: Unterteilung des Kreises in 360. Im Gradmaß gehen die Winkel vom Anfangswinkel 0 bis zum vollem Winkel von 360. Bogenmaß: Länge des Kreisbogens, den das zugehörige Winkelfeld aus dem Einheitskreis ausschneidet. Im Bogenmaß von 0 rad bis rad ( ist die Kreiszahl mit dem Wert = 3, ). Die Einheit ist Radiant (rad). Daraus ergeben sich zur Umrechnung von Gradmaß ins Bogenmaß oder umgekehrt folgende Gleichungen, mit α als der Winkel in Grad und x im Bogenmaß: x α = 360 = 180 x = 180 α und α = 180 x Tabelle spezieller Winkel in Gradmaß und Bogenmaß: α( Gradmaß) x( Bogenmaß) M. Komasi 8

9 Darstellung Sinusfunktion und Kosinusfunktion im Einheitskreis Wir betrachten einen Punkt P mit den Koordinaten x, y auf dem Einheitskreis. Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r = 1. Daraus folgt, dass die Hypotenuse auch gleich 1 ist. sin α = Gegenkathete Hypotenuse cosα = = Gegenkathete 1 Ankathete Hypotenuse = Ankathete 1 = Gegenkathete = Ankathete Der Ortsvektor von P schließt mit der x Achse einen Winkel α ein. Der Koordinatenursprung 0, 0, der Punkt x, 0 auf der x Achse und der Punkt P x, y bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt x + y = 1. Die Ankathete des Winkels α ist die Strecke zwischen 0, 0 und x, 0 und hat die Länge x, es gilt also cosα = x Die Gegenkathete des Winkels α ist die Strecke zwischen x, 0 und x, y, und hat die Länge y, es gilt also sin α = y Bei einem vollen Umlauf auf dem Einheitskreis (im positiven Drehsinn) durchläuft der Winkel α alle Werte zwischen 0 und 360 und die Sinus- und Kosinusfunktion dabei alle zwischen 1 und 1 gelegenen Werte. Bei nochmalige Umlauf wiederholen sich diese Funktionswerte: Die Sinus- und Kosinusfunktion sind daher eine periodische Funktion mit der primitiven Periode p = 360 bzw. sin(α + k ) = sin α cos(α + k ) = cosα Wird der Einheitskreis im negativen Drehsinn durchlaufen, so tritt bei den Funktionswerten ein Vorzeichenwechsel ein, d.h. Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion: sin( α) = sin α Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion: cos( α) = cosα M. Komasi 9

10 Sinus- und Kosinusfunktion y = sin x y = cos x Definitionsbereich x x Wertebereich 1 y 1 1 y 1 Periode Symmetrie ungerade gerade Nullstellen x k = k, k Z x k = + k, k Z Relative Maxima x k = + k, k Z x k = k, k Z Relative Minima x k = 3 + k, k Z x k = + k, k Z Monotonie auf [, ] streng monoton wachsend auf [0, ] streng monoton fallend α x 0 sin x 0 cos x M. Komasi 10

11 Tangens- und Kotangensfunktion Die Tangens-und Kotangensfunktion definieren wir durch die folgenden Gleichungen: tan x = sin x cos x, cot x = cos x sin x Die Tangens-und Kotangensfunktion besitzen die primitive Periode Die sind Überall definiert und stetig mit Ausnahme der Nennernullstellen. y = tan x y = cot x Definitionsbereich x R {x k }, x k = + k x R {x k }, x k = k Wertebereich y y Periode Symmetrie ungerade ungerade Nullstellen x k = k, k Z x k = + k, k Z Pole x k = + k, k Z x k = k, k Z Monotonie auf (, ) streng monoton wachsend auf (0, ) streng monoton fallend α x 0 tan x cot x M. Komasi 11

12 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrische Funktionen Trigonometrische Pythagoras sin x + cos x = 1 Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion sin( x 1 ± x ) = sin x 1 cos x ± cos x 1 sin x cos( x 1 ± x ) = cos x 1 cos x sin x 1 sin x tan( x 1 ± x ) = tan x 1 ± tan x 1 tan x 1 tan x cot(x 1 ± x ) = cot x 1 cot x 1 cot x 1 ± cot x Aus ihnen gewinnt man weitere wichtige Beziehungen wie z.b: sin( x) = sin x cos x cos( x) = cos x sin x sin x = 1 [1 cos( x)] cos x = 1 [1 + cos( x)] Die Kosinuskurve kann als eine um werden. cos x = sin ( x + ) Die Sinuskurve kann als eine um werden. sin x = cos ( x ) nach links verschobene Sinuskurve aufgefasst nach rechts verschobene Kosinuskurve aufgefasst M. Komasi 1

13 5. Arkusfunktionen Da die trigonometrischen Funktionen periodische Funktionen sind, sind sie nicht invertierbar. Beschränkt man sich jedoch auf ein Monotonieintervall der jeweiligen Ausgangsfunktion, kann die so erhaltene Eigenschafte Funktion invertiert werden Arkussinusfunktion Die Arkussinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall Sinusfunktion. [, ] beschränkten Bemerkung: Der Arkussinus liefert nur Winkel aus dem 1. und 4. Quadranten. y = sin x Definitionsbereich x y = arcsin x 1 x 1 Wertebereich 1 y 1 y Nullstellen x 0 = 0 x 0 = 0 Symmetrie ungerade ungerade Monotonie streng monoton wachsend streng monoton wachsend M. Komasi 13

14 Arkuskosinusfunktion Die Arkuskosinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall [ 0, ] beschränkten Kosinusfunktion. Bemerkung: Der Arkuskosinus liefert nur Winkel aus dem 1. und. Quadranten. y = cos x y = arccos x Definitionsbereich 0 x 1 x 1 Wertebereich 1 y 1 0 y Nullstellen x 0 = x 0 = 1 Monotonie streng monoton fallend streng monoton fallend M. Komasi 14

15 Arkustangensfunktion Die Arkustangensfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall ( beschränkten Tangensfunktion., ) Bemerkung: Der Arkustangens liefert nur Winkel aus dem 1. und 4. Quadranten. y = tan x Definitionsbereich < x < y = arctan x x Wertebereich < y < < y < Nullstellen x 0 = 0 x 0 = 0 Symmetrie ungerade ungerade Monotonie streng monoton wachsend streng monoton wachsend M. Komasi 15

16 Arkuskotangensfunktion Die Arkuskotangensfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall Kotangensfunktion. ( 0, ) beschränkten Bemerkung: Die Arkuskotangensfunktionenswerte werden meist unter Verwendung der Beziehung arccot x = arctan x über die Arkustangensfunktion berechnet. Die Arkuskotangensfunktion liefert nur Winkel aus dem 1. und. Quadranten. y = cot x y = arccot x Definitionsbereich 0 < x < < x < Wertebereich < y < 0 < x < Nullstellen x 0 = Monotonie streng monoton fallend streng monoton fallend M. Komasi 16

17 6. Exponentialfunktionen Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form f (x) = a x, a R + {1} Eigenschaften: f ( x) = a x (0 < a < 1) f ( x) = a x (a > 1) Definitionsbereich R R Wertebereich R + R + Monotonie streng monoton fallend streng monoton wachsend Bemerkung: Die streng monoton verlaufenden Exponentialfunktionen besitzen daher weder Nullstellen noch Extremwerte Spezielle Exponentialfunktionen f (x) = e x und f (x) = ( 1 x e) = e x wobei: e = lim n ( n n) =,71881 Eigenschaften: f ( x) = e x f ( x) = e x Definitionsbereich R R Wertebereich R + R + Monotonie streng monoton wachsend streng monoton fallend M. Komasi 17

18 7. Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktion f (x) = log a x ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f (x) = a x mit a R + {1} Eigenschaften: f (x) = a x f ( x) = log a x Definitionsbereich R R + Wertebereich R + R Nullstellen x 0 = 1 Monotonie 0 a 1 streng monoton fallend a 1 streng monoton wachsend Spezielle Logarithmusfunktionen a = e f ( x) = log e x = ln x M. Komasi 18

19 8. Hyperbelfunktionen Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen (Kettenlinie auch Seilkurve genannt) lauten: Sinus hyperbolicus y = sinh x = ex e x Kosinus hyperbolicus y = cosh x = e x + e x Tangens hyperbolicus y = tanh x = ex e x e x + e x Kotangens hyperbolicus y = coth x = e x + e x e x e x y = sinh x y = cosh x Definitionsbereich x x Wertebereich y 1 y Symmetrie ungerade gerade Nullstellen x 0 = 0 Extremwerte x 0 = 0 Minimum Monotonie streng monoton wachsend M. Komasi 19

20 y = tanh x y = coth x Definitionsbereich x x > 0 Wertebereich 1 < y < 1 y > 1 Symmetrie ungerade ungerade Nullstellen x 0 = 0 Pole x 0 = 0 Monotonie streng monoton wachsend Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen: sinh ( x 1 ± x ) = sinh x 1 cosh x ± cosh x 1 sinh x cosh ( x 1 ± x ) = cosh x 1 cosh x ± sinh x 1 sinh x tanh ( x 1 ± x ) = tanh x 1 ± tanh x 1 ± tanh x 1 tanh x Aus ihnen gewinnt man weitere wichtige Beziehungen wie z.b: cosh x sinh x = 1 sinh( x) = sinh x cosh x cosh( x) = sinh x + cosh x e x = cosh x + sinh x e x = cosh x sinh x (cosh x ± sinh x ) n = cosh(n x) ± sinh (n x) = e ±n x M. Komasi 0