2.4 Grenzwerte bei Funktionen

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1 28 Beispiel Im Beispiel am Ende von Abschnitt 2.1 (Seiten 22 und 24) haben wir gesehen, dass für die Anzahl a n von Bakterien nach n Tagen gilt a n = 2500 (1,04 n +1). Nach wieviel Tagen sind es eine Million Bakterien? 2.4 Grenzwerte bei Funktionen Betrachten wir die rationale Funktion f(x) = x2 1 x 2 +3x+2 = x 2 1 (x+1)(x+2). Sie ist für x = 1 und x = 2 nicht definiert. Doch wie verhält sich f in der Nähe von 1 und 2? Nähert sich x dem Wert 1 oder 2, dann strebt der Nenner der Funktionsgleichung nach 0. Strebt der Funktionswert deshalb nach, oder nach, oder hat der Zähler auch einen Einfluss? Der Graph von f (bzw. das Einsetzen von Werten von x in die Funktionsgleichung), zeigt uns, dass sich für x gegen 1 der Funktionswert der Zahl 2 nähert. Man sagt, dass f an der Stelle x 0 = 1 den Grenzwert a = 2 hat. Präzise kann die Näherung von x gegen 1 durch Folgen beschrieben werden.

2 29 Definition Sei f : D R eine Funktion und x 0 eine reelle Zahl, die Grenzwert einer Zahlenfolge (x n ) n N mit x n D ist. Dann ist a der Grenzwert von f an der Stelle x 0, falls für jede Folge (x n ) mit x n D, x n x 0 für alle n, und lim n x n = x 0 gilt, dass Wir schreiben dann a = lim n f(x n). a = lim x x 0 f(x). Die reelle Zahl x 0 kann dabei in D liegen, muss aber nicht. Beispiel Betrachten wir nochmals die Funktion f : D R, f(x) = von vorher mit D = R\{ 2, 1}. x2 1 x 2 +3x+2 = x 2 1 (x+1)(x+2) x 0 = 1: Sei (x n ) eine Folge mit lim n x n = 1, x n D und x n 1 für alle n. x 0 = 2: Da für x 2 insbesondere x 1 ist, gilt (x+1)(x 1) lim f(x) = lim x 2 x 2 (x+1)(x+2) = lim x 1 x 2 x+2. Ist nun (x n ) eine Folge mit Grenzwert 2 und alle Folgenglieder x n sind kleiner als 2, dann strebt f(x n ) gegen +. Gilt jedoch x n > 2 für alle n, dann strebt f(x n ) gegen. Der Grenzwert lim f(x) existiert also nicht. x 2 Wie in diesem Beispiel verhält sich eine Funktion manchmal unterschiedlich, je nachdem ob sich x der Stelle x 0 von links oder von rechts nähert. Für den linksseitigen Grenzwert betrachtet man nur Folgen x n mit x n < x 0, man schreibt lim x x 0 f(x). Für den rechtsseitigen Grenzwert betrachtet man nur Folgen x n mit x n > x 0, man schreibt lim x x 0 f(x).

3 30 Satz 2.5 Sei f : D R eine Funktion und a in R. Dann ist a = lim f(x) genau dann, x x 0 wenn sowohl der linksseitige Grenzwert limf(x) als auch der rechtsseitige Grenzwert limf(x) x x0 x x0 existieren und beide gleich a sind. Beispiele 1. Sei f : R R definiert durch Dann gilt f(x) = { 1 falls x 0 2 falls x < 0. Der Grenzwert lim x 0 f(x) existiert also nicht. 2. Sei f : R\{1} R, f(x) = 1 x 1. Für x 0 1 gilt 1 lim x x 0 x 1 = 1 lim x 1 = 1 x 0 1. x x 0 Hingegen ist 1 1 lim = und lim x 1 x 1 x 1 x 1 = Analog zum Grenzwert von f an einer Stelle x 0 in R definiert man den Grenzwert von f für x und für x. Betrachtet man den Graphen von f, so bedeutet lim f(x) = a, dass die horizontale Gerade y = a eine Asymptote für x ist. Genauer heisst dies, dass der Graph für genügend grosse x im horizontalen Streifen zwischen den Geraden y = a+ε und y = a ε liegt. Beispiel Sei f : R\{1} R, f(x) = 1 x 1 lim x wie vorher. Dann gilt 1 x 1 = lim x 1 x 1 = 0. x

4 Stetige Funktionen Für die Funktion f(x) = 1 x 1 von vorher gilt also für alle x 0 1, dass lim f(x) = 1 x x 0 x 0 1 = f(x 0). Tatsächlich strebt in den meisten Fällen f(x) gegen f(x 0 ) für x x 0. Man nennt in diesen Fällen die Funktion f stetig in x 0. Definition Sei f : D R eine Funktion und x 0 in D. Dann heisst f stetig in x 0, wenn gilt lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Die Funktion heisst stetig in D, wenn f in jedem Punkt x 0 D stetig ist. Anschaulich bedeutet die Stetigkeit von f in einem Punkt x 0, dass der Wert f(x) nahe bei f(x 0 ) ist, sobald x genügend nahe bei x 0 ist. Beispiele 1. f : R R, f(x) = x 2. Sei x 0 R und (x n ) eine beliebige Folge mit lim n x n = x Betrachten wir noch einmal f : R R definiert durch f(x) = 1 für x 0 und f(x) = 2 für x < 0 (vgl. Seite 30). Der Grenzwert lim x 0 f(x) existiert nicht, also ist f in x 0 = 0 nicht stetig. In allen anderen Punkten x 0 0 ist f jedoch stetig. Der Graph macht in x 0 = 0 einen Sprung: 3. Macht der Graph an einer Stelle nur einen Knick, dann ist die Funktion an dieser Stelle immer noch stetig. Sei f : R R definiert durch { x+2 falls x 0 f(x) = 2 falls x < 0

5 32 Die Stetigkeit ist eine sehr schwache Eigenschaft und trifft für alle vernünftigen Funktionen zu. Satz 2.6 Alle elementaren Funktionen (Polynome, rationale Funktionen, Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen (siehe Abschnitt 2.6)) sind stetig in ihrem Definitionsbereich. Aus diesen elementaren Funktionen kann man eine Vielzahl von weiteren stetigen Funktionen konstruieren. Satz 2.7 Seien f,g : D R zwei in einem Punkt x 0 D stetige Funktionen. Dann gilt: (1) Die Summe f + g ist stetig in x 0. Hierbei ist die Funktion f + g : D R definiert durch (f +g)(x) = f(x)+g(x). (2) Das Produkt f g ist stetig in x 0. Hierbei ist die Funktion f g : D R definiert durch (f g)(x) = f(x) g(x). (3) Ist g(x 0 ) 0, so ist auch der Quotient f g stetig in x 0. Hierbei ist die Funktion f g definiert durch f f(x) g (x) = g(x). (4) Seien f : D R und g : D R zwei Funktionen mit f(d) D. Sei f stetig in x 0 und g stetig in f(x 0 ). Dann ist die Komposition g f stetig in x 0. Existiert der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x 0 ausserhalb des Definitionsbereichs, so kann man die Funktion an dieser Stelle stetig fortsetzen, indem man setzt Beispiele 1. Betrachten wir noch einmal f(x 0 ) = lim x x 0 f(x). f(x) = x 2 1 (x+1)(x+2) auf D = R\{ 2, 1} wie in Abschnitt 2.4. Nach Satz 2.6 ist f stetig auf ganz D. Auf Seite 29 haben wir gesehen, dass lim f(x) = 2. Durch die Definition f( 1) = 2 x 1 erhalten wir also eine auf der Menge R\{ 2} stetige Funktion. Der Grenzwert lim f(x) x 2 existiert hingegen nicht. Auf 2 ist f nicht stetig fortsetzbar ( 2 ist eine Polstelle). 2. Sei f : R\{0} R, f(x) = sin ( 1 x). Nach Satz 2.7 ist diese Funktion stetig in R\{0}. Sie lässt sich jedoch nicht stetig nach 0 fortsetzen, denn der Grenzwert von f für x 0 existiert nicht.

6 33 3. Die Funktion f : R\{0} R, f(x) = xsin ( 1 x) ist ebenfalls stetig in R\{0}. Sie lässt sich jedoch durch die Definition f(0) = 0 stetig nach 0 fortsetzen. Eigenschaften von stetigen Funktionen Ist eine Funktion stetig, dann kann man ihren Graphen ohne abzusetzen anständig zeichnen. Der folgende Satz präzisiert diese anschauliche Beschreibung. Satz 2.8 Auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] nimmt eine stetige Funktion f einen minimalen Wert m und einen maximalen Wert M an, und alle anderen Werte von f auf [a,b] liegen dazwischen. Zudem gibt es zu jedem c in [m,m] (mindestens) ein x in [a,b] mit f(x) = c. Folgerung (Nullstellensatz) Ist f stetig auf dem Intervall [a,b] und haben f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen, so hat f eine Nullstelle zwischen a und b, das heisst, es gibt ein x 0 (a,b) mit f(x 0 ) = 0. f(a)>0 a x 0 b f(b)<0

7 34 Beispiel Nach den Sätzen 2.6 und 2.7 ist die Funktion f(x) = 4e x +x 2 3 stetig auf dem Intervall [0,1]. Es gilt f(0) = 1 > 0 und f(1) = 0,528 < 0. Also hat f mindestens eine Nullstelle im (offenen) Intervall (0, 1). Wie wir eine Näherung für diese Nullstelle finden können, werden wir später sehen. 2.6 Trigonometrische Funktionen Der Winkel ist das Mass einer Rotation, und zwar einer Drehung im positiven Drehsinn (d.h. Gegenuhrzeigersinn). Wir zählen die Drehungen: ganze Drehungen plus Teile von ganzen Drehungen. Die üblichen Skalen für Winkel sind das Gradmass und das Bogenmass: Gradmass: Mass für die Drehung = 360 Bogenmass: Mass für die Drehung = 2π = Umfang des Kreises vom Radius 1 Das Bogenmass entspricht der Länge eines Bogens auf dem Einheitskreis mit dem entsprechenden Zentriwinkel. Drehungen Gradmass Bogenmass π 2 0 π 2 π 3π 2 2π 3π 4π Umrechnung: α Winkel im Gradmass = ϕ = 2π 360 α Winkel im Bogenmass ϕ Winkel im Bogenmass = α = 360 2π ϕ Winkel im Gradmass

8 35 Wir betrachten die Drehung als Prozess, und daher ist , und auch Nimmt man jedoch das Resultat der Drehung, das heisst die Endlage, dann gilt 540 = 180, 360 = 0 und auch 180 = 180. Nun starten wir mit dem Punkt P 0 = (1,0) auf dem Einheitskreis und drehen ihn um den Winkel ϕ. Dies liefert den Punkt P ϕ auf der Kreislinie. Wie oben bemerkt, gilt dann P ϕ+2π = P ϕ. Definition Die trigonometrischen Funktionen cos : R R (Cosinus) und sin : R R (Sinus) werden wie folgt definiert: cosϕ = x-koordinate des Punktes P ϕ sinϕ = y-koordinate des Punktes P ϕ Der Winkel ϕ wird dabei üblicherweise im Bogenmass angegeben. Es gilt cosϕ [ 1,1] und sinϕ [ 1,1] für alle ϕ in R, und jeder Wert zwischen 1 und 1 wird von beiden Funktionen angenommen, das heisst, die Bildmenge der Funktionen cos und sin ist jeweils das ganze Intervall [ 1,1]. Eigenschaften Die folgenden Eigenschaften können direkt am Einheitskreis abgelesen werden: (1) Periodizität: Es gilt P ϕ+2π = P ϕ und daher cos(ϕ+2πk) = cosϕ und sin(ϕ+2πk) = sinϕ für alle k Z, das heisst, cos und sin sind periodische Funktionen mit der Periode 2π. (2) Pythagoras: cos 2 ϕ+sin 2 ϕ = 1 für alle ϕ in R. (Hier ist cos 2 ϕ die übliche Kurzschreibweise für (cosϕ) 2.) (3) Nullstellen: cosϕ = 0 P ϕ auf y-achse ϕ = π 2 +kπ für k Z sinϕ = 0 P ϕ auf x-achse ϕ = kπ für k Z

9 36 (4) Symmetrien: Ist P ϕ = (x,y), so gilt Die letzten zwei Zeilen besagen, dass cos eine gerade und sin eine ungerade Funktion ist. Dabei heisst eine reelle Funktion gerade, wenn f( x) = f(x) für alle x in D und sie heisst ungerade, wenn f( x) = f(x) für alle x in D. Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur x-achse, der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

10 37 (5) Additionstheoreme: Die Graphen von cos und sin: cos(α+β) = cosαcosβ sinαsinβ sin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ Wegen der Gleichung cosϕ = sin(ϕ+ π 2 ) ist der Graph von cos gegenüber dem Graphen von sin um π 2 nach links verschoben. Umkehrfunktionen Die Sinusfunktion ist als Funktion von R nach R nicht umkehrbar. Doch schränkt man den Zielbereich auf ihre Bildmenge [ 1, 1] ein, dann ist sie surjektiv. Bei geeigneter Einschränkung des Definitionsbereichs ist sie zusätzlich streng monoton wachsend, zum Beispiel auf dem Intervall [ π 2, π 2 ]. Also ist sin : [ π 2, π 2 ] [ 1,1] injektiv, und daher umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man Arcussinusfunktion arcsin : [ 1,1] [ π 2, π 2 ]

11 38 Analog ist die Cosinusfunktion streng monoton fallend auf dem Intervall [0, π], das heisst cos : [0, π] [ 1, 1] ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion heisst Arcuscosinusfunktion arccos : [ 1,1] [0,π] Definition Die Tangensfunktion ist definiert durch tanϕ = sinϕ cosϕ. Der Definitionsbereich ist {ϕ R cosϕ 0} = R\{ π 2 +kπ k Z}. Eigenschaften der Tangensfunktion: (1) Es gilt tan( ϕ) = tanϕ, d.h. tan ist eine ungerade Funktion. (2) Es gilt tan(ϕ+kπ) = tanϕ für alle k in Z, d.h. tan ist periodisch mit der Periode π. (3) Auf dem offenen Intervall ( π 2, π 2 ) ist tan streng monoton wachsend und die Bildmenge ist R.

12 39 Wegen der dritten Eigenschaft ist tan : ( π 2, π 2 ) R umkehrbar. Die Umkehrfunktion heisst Arcustangensfunktion arctan : R ( π 2, π 2 ) Modifizierte trigonometrische Funktionen Die Graphen der Funktionen f(x) = sin(x u), g(x) = sin(αx) und h(x) = Asinx sind gegenüber der Sinuskurve um u nach rechts verschoben, bzw. in der x-richtung gestaucht (für α > 1) oder gestreckt (für α < 1), bzw. in der y-richtung gestreckt (für A > 1) oder gestaucht (für A < 1). Hier die Graphen von sinx, sin(x 2), sin(2x), 2sin(x): Kombinationen von diesen Modifikationen tauchen bei Schwingungsproblemen in der Physik auf und haben meistens die Form y(t) = Asin(ωt+ϕ). Dabei ist t R die Zeit, ω die Kreisfrequenz, A(> 0) die Amplitude und ϕ die Phase. Diese Funktion ist periodisch mit der Periode (= Schwingungsdauer) T = 2π ω. Ihre Werte liegen zwischen A und A und ihr Graph ist um ϕ nach links verschoben.

13 40 Hier der Graph von y(t) = Asin(ωt+ϕ) mit A = 6, T = 2π ω = 8, ϕ = 3π 4 : Die blaue Kurve auf der rechten Seite ist der Graph der Funktion f(x) = sinx+cosx. Er sieht aus wie eine verschobene und in Richtung der y-achse gestreckte Sinuskurve. Satz 2.9 Jede Linearkombination A sin x + B cos x ist eine (modifizierte) trigonometrische Funktion und lässt sich in der Form Asinx+Bcosx = Csin(x+u) darstellen. Dabei ist C = A 2 +B 2, und u ist bestimmt durch die Gleichungen A = Ccosu, B = Csinu. Umgekehrt lässt sich jede modifizierte trigonometrische Funktion Csin(x+u) (oder Ccos(x+v)) als Linearkombination Asinx+Bcosx darstellen. Diese Tatsache folgt direkt aus dem Additionstheorem für die Sinusfunktion: Beispiele 1. sinx+cosx =? 2. 2sin(x π 3 ) =?

14 41 3 Komplexe Zahlen Für alle reellen Zahlen x gilt x 2 0. Es gibt also keine reelle Zahl, welche Lösung der Gleichung x 2 +1 = 0 ist. Allgemein hat die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c = 0, a,b,c R nur dann reelle Lösungen, wenn b 2 4ac 0 gilt. Im Bereich der reellen Zahlen ist also nicht jede algebraische Gleichung, das heisst a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0, mit a 0,...,a n R, lösbar. Dieser Mangel motiviert eine Erweiterung des Zahlbereichs R zu einem Zahlbereich, in dem alle algebraischen Gleichungen lösbar sind. Tatsächlich reicht es aus, den Bereich R so zu erweitern, dass 1. die spezielle Gleichung x 2 +1 = 0 lösbar ist, das heisst es soll eine imaginäre Zahl i geben, so dass i 2 = 1; 2. alle Grundrechenarten +,, und / uneingeschränkt durchführbar sind und die Rechenregeln für R erhalten bleiben. Der Bereich C der komplexen Zahlen ist der minimale Bereich mit diesen Eigenschaften. In diesem neuen Bereich sind automatisch alle algebraischen Gleichungen lösbar! Die Entwicklung der komplexen Zahlen war ein langer Prozess, der mehr als drei Jahrhunderte lang dauerte. Seit dem 19. Jh. werden die komplexen Zahlen jedoch in vielen Gebieten der Mathematik eingesetzt und auch in den Naturwissenschaften sind sie heute unverzichtbar. 3.1 Definitionen und Rechenregeln Ein Ausdruck der Form z = a+bi mit a,b R heisst komplexe Zahl. Die Zahl i nennt man imaginäre Einheit und sie erfüllt die Gleichung i 2 = i i = 1. Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Die Zahl a =: Re(z) heisst Realteil, die Zahl b =: Im(z) Imaginärteil von z. Ist b = 0, so ist z = a reell (insbesondere ist R C). Ist a = 0, so ist z = bi rein imaginär. Die Darstellung z = a+bi ist eindeutig, das heisst, zwei komplexe Zahlen z 1 = a+bi und z 2 = c+di sind gleich genau dann, wenn a = c und b = d. Die komplexen Zahlen kann man als Punkte der Gaußschen Zahlenebene darstellen.

15 42 Die zu z = a+bi konjugiert komplexe Zahl ist z = a bi. In der Zahlenebene erhält man z, indem man z an der reellen Achse spiegelt. Der Betrag z von z ist definiert als z = a 2 +b 2. Er entspricht dem Abstand des Punktes z vom Ursprung in der Zahlenebene. Definition der Addition und Subtraktion: (a+bi)±(c+di) := (a±c)+(b±d)i Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition und -subtraktion in der Zahlenebene. Wie multipliziert man zwei komplexe Zahlen? Definition der Multiplikation: Es gilt insbesondere (a+bi) (c+di) := (ac bd)+(ad+bc)i z z = z 2. Aus der Formel z z = z 2 ist ersichtlich, dass durch jede komplexe Zahl 0 dividiert werden kann. Es gilt nämlich z 1 = 1 z = z z 2 = z z z C. Dies führt zur folgenden Definition der Division. Definition der Division: Für w,z C gilt w z = w z z 2 Das heisst, wir erweitern den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Genau genommen müsste man die Subtraktion und Division eigentlich nicht definieren, denn sie sind als Umkehroperationen der Addition und der Multiplikation gegeben.