Einleitung 1. 3 Beweistechniken und einige Beweise Teil I 19

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1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis iv Einleitung 1 1 Aussagen, Mengen und Quantoren Aussagen und logische Verknüpfungen Mengen Die Quantoren und Verneinung (Negation) von Aussagen Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R Bruchrechnung Rechenregeln für reelle Zahlen und Ordnungsrelationen Intervalle Beweistechniken und einige Beweise Teil I 19 4 Potenzrechnung, Logarithmen und Rechnen mit Beträgen Potenzen und Wurzeln Der Logarithmus Die Logarithmengesetze Der Betrag Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen Quadratische Gleichungen und Ungleichungen Quadratische Gleichungen und Quadratische Ergänzung Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen Wurzelgleichungen Bruchungleichungen Betragsungleichungen in zwei Variablen iii

2 iv INHALTSVERZEICHNIS 6 Funktionen Definition und Grundlagen Eigenschaften von Funktionen Die Umkehrfunktion Spezielle Funktionen Die Potenzfunktion Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion Polynomfunktionen Allgemeine (affin-)lineare Funktionen Stückweise lineare Funktionen Trigonometrische Funktionen Herleitung und Definition Die Additionstheoreme Index 60

3 Kapitel 6 Funktionen 6.1 Definition und Grundlagen Definition Seien X, Y Mengen. Eine Vorschrift f, die jedem Element x X genau ein Element y Y zuordnet, heißt Funktion oder auch Abbildung von X nach Y. Wir setzen in diesem Fall f(x) := y. X bezeichnen wir als Definitionsbereich und schreiben hierfür Def(f) := D f := X. Weiter bezeichnen wir Y als Werte- oder auch Zielbereich von f. Schreibweise: f : X Y, x f(x). Ist f : X Y eine Funktion, so heißt Bild(f) := {y Y x X : y = f(x)} das Bild oder auch die Wertemenge oder Bildmenge von f. Man beachte: die Wertemenge einer Funktion, also die Menge der tatsächlich angenommenen Werte, ist eine im allgemeinen echte Teilmenge des Wertebereichs von f. Zum Beispiel für die Funktion f : R R, x x 2 ist Bild(f) = [0, ). Anmerkung: Eine Funktion hat also stets drei Bestandteile, neben der eigentlichen Zuordnungsvorschrift x f(x) nämlich auch Definitions- und Wertebereich. So haben zum Beispiel die Funktionen f : R R, x x 2, g : [0, ) [0, ), x x 2 zwar dieselbe Zuordnungsvorschrift x x 2, aber verschiedene Definitions- und Wertebereiche. Dies ist zum Beispiel wichtig bei der Frage, ob eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt (dies ist für g der Fall, aber nicht für f) - diese Frage werden wir allgemein später im Abschnitt 6.3 behandeln. Achtung: Wir unterscheiden die Funktion f von ihren Funktionswerten f(x). Insbesondere ist f(x) keine zulässige Schreibweise für die ganze Funktion f, sondern nur die Bezeichnung des einen Funktionswertes f(x) für ein festes x X. Definition (Der Graph einer Funktion). Für eine Funktion f : X Y heißt die Menge G f := {(x, y) X Y y = f(x)} der Graph der Funktion f. Gilt X, Y R, so ist der Graph G f eine Teilmenge des R 2, und die Funktion f läßt sich gut durch ihren Graphen veranschaulichen: 41

4 42 6. Funktionen Bild 6.A Graph einer Funktion als Teilmenge des R 2 Anmerkung: Der oben beschriebene Funktionenbegriff sollte Ihnen von der Schule geläufig sein und stellt zudem eine anschauliche und zum Arbeiten auch praktische Begriffsbildung dar. Dennoch ist diese Definition mathematisch noch nicht exakt (was für ein mathematische Objekt ist eine Zuordnungsvorschrift?) - die Beschreibung über den Graphen stellt hingegen eine Möglichkeit dar, Funktionen sehr abstrakt, aber dafür konkret als bestimmte Typen von Mengen zu definieren. Ohne dies weiter zu vertiefen, soll diese Variante der Definition hier genannt werden: Definition einer Funktion als Menge. Seien X, Y Mengen. Ein Funktion f von X nach Y ist eine Teilmenge f X Y so, daß es zu jedem x X genau ein y Y gibt mit (x, y) f. Wir schreiben in diesem Fall f : X Y, und für (x, y) f schreiben wir y = f(x). Definition (Hintereinanderausführung von Funktionen). Seien X, Y, D f, D g Mengen und f : D f Y und g : D g X beliebige Funktionen. Dann wird die Verkettung von f mit g definiert als f g : D f g Y, x f(g(x)) mit D f g := {x D g g(x) D f }. Man bezeichnet f g als die die Hintereinanderausführung oder auch Verkettung von g und f oder sagt kurz f nach g oder f Kringel g. Beispiel Seien f : R R, x 4 x 2 und g : [0, ) R, x x. Bestimmen Sie die Funktionen f g und g f mit ihren Definitionsbereichen. Es gilt D f g = {x 0 x R} = [0, ), und für alle x [0, ) gilt (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = 4 ( x) 2 = 4 x. Umgekehrt ist D g f = {x R 4 x 2 0} = [ 2, 2], und für alle x [ 2, 2] gilt (g f)(x) = g(f(x)) = g(4 x 2 ) = 4 x 2.

5 6.1. Definition und Grundlagen 43 Definitionsbereich/Wertemenge reeller Funktionen Im Folgenden sei stets D R und f : D R eine Funktion. Eine solche Funktion nennt man auch reellwertige (reelle) Funktion. Wir verwenden in dieser Situation auch die Bezeichnung W f := Bild(f) = {y R x D : f(x) = y} für die Wertemenge von f. Oft werden reelle Funktionen - im Gegensatz zur obigen Definition - etwas lax nur durch ihre Abbildungsvorschrift vorgegeben, und auf eine konkrete Angabe des Definitionsbereiches wird verzichtet. In diesem Fall bezeichnen wir mit D f den maximalen Definitionsbereich von f, dies ist die größte Teilmenge von R, auf der die Abbildungsvorschrift x f(x) noch sinnvoll definiert ist. Weiter heißt in diesem Fall W f := {y R x D f : f(x) = y} die maximale Wertemenge von f. Mit dem oben eingeführten Begriff der Verkettung von Funktionen läßt sich mathematisch sauber (wenn auch noch nicht ganz exakt) formulieren, was mit dem maximalen Definitionsbereich einer Zuordnungsvorschrift gemeint ist: Die von uns notierten Zuordnungsvorschriften sind Terme, die die Verkettung bestimmter elementarer Funktionen darstellen, deren Definitionsbereich bekannt ist - wie z.b. der elementaren Funktionen : [0, ) R, x x, log : (0, ) R, x log(x), oder der Inversionsabbildung R\{0} R, x 1 x. Der maximalen Definitionsbereich einer Zuordnungsvorschrift, die sich als Verkettung solcher elementare Funktionen darstellen läßt, ist schlicht der Definitionsbereich dieser Verkettung gemäß der obigen Definition. Beispiele Die Funktion f sei durch die Zuordnungsvorschrift x log( x 2 + x + 2) gegeben. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich D f und die Wertemenge W f an, indem Sie f in geeigneter Weise als Verkettung zweier Funktionen schreiben. Lösung: Die Funktion f ist in der Form f = u v mit den (elementaren) Funktionen u = log : (0, ) R, x log(x) und v : R R, x x 2 + x + 2. Dann ist D f = D u v = {x R x D log } = {x R x 2 + x + 2 > 0}. Durch scharfes Hinsehen erhalten wir die zwei Nullstellen 1 und 2 der quadratischen Gleichung x 2 x 2 = 0 (Normalform). Wir verfahren wie in Abschnitt dargestellt. Für alle x R gilt x 2 + x + 2 > 0 x 2 x 2 < 0 (x + 1)(x 2) < 0 x ( 1, 2). Also ist D f = ( 1, 2). Wir bestimmen nun die Wertemenge: Nach Definition gilt W f = {log(y) y = v(x) für ein x D f }.

6 44 6. Funktionen Wir bestimmen daher zunächst die Wertemenge von v: Mit quadratischer Ergänzung erhalten wir v(x) = x 2 + x + 2 = (x 2 x 2) = [ (x 1/2) 2 1/4 2 ] = 9/4 (x 1/2) 2 für alle x R, und hieraus lesen wir ab: W v = {v(x) x D f } = (0, 9 4 ]. Damit folgt W f = {log(y) y W v } = {log(y) y (0, 9/4]} = (, log(9/4)]. (Für das letzte = verweisen wir zunächst auf die Anschauung, tatsächlich gehen hier Argumente wie Monotonie und Stetigkeit der Funktion log ein.) 2. Die Funktion f sei durch die Abbildungsvorschrift x gegeben. Bestimmen Sie x den maximalen Definitionsbereich D f und die maximale Wertemenge W f. Der Ausdruck x ist sinnvoll definiert, falls x 0 und x 0 ist. Die zweite Ungleichung ist auf jeden Fall erfüllt für x > 0; Ist hingegen x < 0, so gilt x 0 x x 1. Damit folgt D f = (, 1] (0, ). Zur Bestimmung der Wertemenge stellen wir zunächst fest, daß W f [0, ) ist, da Wurzeln immer nicht-negativ sind. Außerdem ist 1 / W f, denn wäre f(x) = 1 für ein x D f, so wäre x = 1, also auch x = 1 und damit 1 x = 0, was aber nicht möglich ist. Sei nun umgekehrt y [0, ), y 1. Dann gilt für alle x D f : x = y x = y2 x + 1 = xy 2 x xy 2 = 1 x(1 y 2 ) = 1 x = 1 y 2 1 (beachte, daß y 2 1, also y ist). Wenn wir zeigen können, daß x := 1 y 2 1 D f ist, so haben wir gezeigt, daß y = f(x) W f ist und damit insgesamt W f = [0, )\{1}. Dazu machen wir eine Fallunterscheidung: Fall 1: y > 1. Dann ist y 2 1 > 0, also auch x = 1 y 2 1 > 0 und damit x D f. Fall 2: y < 1, also auch 0 y 2 < 1. Dann ist 1 y 2 1 < 0, und hieraus folgt 1 1 (machen Sie sich dies anhand der Rechenregeln für Ungleichungen klar!). Also y 2 1 ist x = 1 y und damit auch in diesem Fall x D f.

7 6.1. Definition und Grundlagen Geben Sie den Definitionsbereich der durch die Zuordnungsvorschrift x 4 (x 1) 2 definierten Funktion f an, und skizzieren Sie den Graphen der Funktion. Lösung: Es gilt D f = {x R 4 (x 1) 2 0}. Dazu berechnen wir: 4 (x 1) 2 0 x x x 3 für alle x R, also ist D f = [ 1, 3]. Einschub: Die Kreisgleichung In Abschnitt haben wir die Kreisgleichung für den Einheitskreis, d.h. für den Kreis um Null mit Radius r = 1 kennengelernt: x 2 + y 2 = 1. Seien x 0, y 0 R, r > 0. Dann lautet die allgemeine Kreisgleichung (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2, x, y, R Die Lösungsmenge dieser Gleichung, also die Menge K := {(x, y) R 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 } R 2 beschreibt (im R 2 ) einen Kreis um (x 0, y 0 ) mit Radius r. Durch Umformung sieht man, daß der Kreis sich aus den Graphen der Funktionen f 1 : [x 0 r, x 0 + r] R, x r 2 (x x 0 ) 2 + y 0 (oberer Halbkreis) und f 2 : [x 0 r, x 0 + r] R, x r 2 (x x 0 ) 2 + y 0 (unterer Halbkreis) zusammensetzt. Mit den obigen Überlegungen erkennt man, daß der resultierende Kreis aus einer Verschiebung um x 0 nach rechts und y 0 nach oben aus dem Kreis um Null mit Radius r hervorgegangen ist. Zurück zur Aufgabenstellung: Das gegebene f stellt einen unteren Halbkreis um (1, 0) mit Radius r = 2 dar: Bild 6.B

8 46 6. Funktionen Als weitere Anwendung der obigen Definition wollen wir uns verschiedenen Manipulationen von Graphen widmen, wie Verschieben, Spiegeln, Strecken oder Stauchen. Dieses wird durch besonders einfache Verkettungen bewirkt, auch wenn diese der Einfachheit halber nicht mehr explizit aufgeschrieben werden. Die Betrachtung dieser Verkettungen erlaubt einem häufig, auf einfache Weise den Graphen der resultierenden Funktion f zu zeichnen oder Definitions- und Bildmenge zu bestimmen. Beispiel Definiere h : R R, x x 2 + x + 2. Es gilt h(x) = x 2 + x + 2 = (x 2 x 2) = [ (x 1/2) 2 1/4 2 ] = [ (x 1/2) 2 9/4 ] für alle x R. Der Graph von h entsteht nun aus dem Graphen der Funktion g : R R, x x 2 durch Verschieben um 1/2 nach rechts, Verschieben um 9/4 nach unten und Spiegelung an der x- Achse. Genauer gilt h = f 2 g f 1 mit den Funktionen f 1 : R R, x x 1/2 und f 2 : R R, y (y 9/4). Daraus ist ersichtlich, daß D f = R und W f = (, 9/4] gilt. Wir betrachten nun eine allgemeinere Situation: Die Funktion f (anstelle von h) sei durch f(x) = ±c g ( ± b( x + a) ) + d, a, b, c, d R, b, c > 0 gegeben, wobei g eine elementare Funktion mit D g = R ist. Ist D g R, so müssen die Definitionsbereiche der kombinierten Funktionen entsprechen angepaßt werden, worauf wir hier wegen der Übersichtlichkeit aber nicht eingehen. Im Folgenden werden wir alle Schritte anhand g(x) = x 3 illustrieren. Bild 6.C g(x) = x 3 In Bezug auf den Graphen von f(x) = ±c g ( ± b( x + a) ) + d bewirkt a eine Verschiebung des Graphen von g um a entlang der x-achse (s. Bild 4.M); b eine 1/b-fache Streckung in Richtung der x-achse (für b > 1 wird der Graph also gestaucht) (s. Bild 4.N); vor b eine Spiegelung an der Achse x = a (s. Bild 4.O);

9 6.2. Eigenschaften von Funktionen 47 Bild 6.D g(x 1) = (x 1) 3 Bild 6.E g(1/2(x 1)) Bild 6.F g( 1/2(x 1)) c eine c-fache Streckung in Richtung der y-achse (s. Bild 4.P); vor c eine Spiegelung an der x-achse (s. Bild 4.Q); d eine Verschiebung des Graphen um d in Richtung der y-achse (s. Bild 4.R). Bild 6.G 3 g( 1/2(x 1)) Bild 6.H 3 g( 1/2(x 1)) Bild 6.I 3 g( 1/2(x 1)) Eigenschaften von Funktionen Definition (Monotonie von Funktionen). Eine Funktion f : D R, x f(x) heißt auf D monoton wachsend (fallend), falls für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) ( bzw. f(x 1 ) f(x 2 )). Entfallen die Gleichheitszeichen, so spricht man von strenger Monotonie. Beispiele Die Funktion f : [0, ) R, x x 2 ist streng monoton wachsend.: Beweis. Seien x 1, x 2 [0, ) mit x 1 < x 2. Dann gilt x 2 x 1 > 0 und x 2 > x 1 0, also auch x 2 + x 1 x 2 > 0 und damit f(x 2 ) f(x 1 ) = x 2 2 x 2 1 = (x 2 x 1 )(x 2 + x 1 ) > 0, also f(x 1 ) < f(x 2 ).

10 48 6. Funktionen 2. Die Funktion f : R R, x x 2 ist weder monoton wachsend noch monoton fallend. Beweis. Es ist 1 < 0 und f( 1) = 1 > 0 = f(0), also ist f nicht monoton wachsend, und es ist 0 < 1, aber f(0) = 0 < f(1), also ist f auch nicht monoton fallend. 3. Die Wurzelfunktion : [0, ) R, x x ist streng monoton wachsend. Beweis. Seien x 1, x 2 [0, ) mit x 1 < x 2. Dann gilt x 2 x 1 > 0 und x 2 > x 1 0, also auch x 2 + x 1 x 2 > 0 und damit f(x 2 ) f(x 1 ) = x 2 x 1 = ( x 2 x 1 )( x 2 + x 1 ) x2 + x 1 = x 2 x 1 x2 + x 1 > 0, also f(x 1 ) < f(x 2 ). Definition (gerade und ungerade Funktionen). Eine Funktion f : R R, x f(x) heißt gerade oder symmetrisch, bzw. ungerade oder antisymmetrisch, wenn gilt f( x) = f(x), bzw. f( x) = f(x) für alle x R. Bild 6.J monoton wachsende Funktion Bild 6.K gerade Funktion Bild 6.L ungerade Funktion 6.3 Die Umkehrfunktion Dieser Abschnitt ist der Berechnung von Umkehrfunktionen gewidmet. Dabei ist zu beachten, daß im allgemeinen nicht jede Funktion überhaupt eine Umkehrfunktion besitzt! Im folgenden sei f : R D R eine reelle Funktion und W = {y R x D : f(x) = y} die Wertmenge von f, also die Menge derjenigen reellen Zahlen, die als Funktionswert von f angenommen werden. Existiert zu jedem y W genau ein x D mit y = f(x), so nennt man die Funktion injektiv. Nach den Ausführungen zum Quantor Es existiert genau ein... im Rahmen von Beispiel (vgl. zweite Vorlesung) ist die Funktion genau dann injektiv, wenn folgendes gilt: x 1, x 2 D : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2.

11 6.3. Die Umkehrfunktion 49 Ist f injektiv, so heißt die Funktion f 1 : W D, y x, wobei x D die eindeutige Zahl mit f(x) = y ist, die Umkehrfunktion von f. Es gilt also für alle x D und y W: f 1 (f(x)) = x und f(f 1 (y)) = y. Man kann sich überlegen (wir werden dies in den untenstehenden Beispiele auch tun), daß die Graphen von f und f 1 symmetrisch zur Geraden y = x liegen, man erhält den Graphen der Umkehrfunktion f 1 also durch Spiegeln des Graphen von f an der Hauptdiagonalen. Beispiele (1) Streng monotone Funktionen sind immer injektiv und besitzen somit auch immer eine Umkehrfunktionen. (2) Die Funktion f : [0, ) R, x x 2 ist streng monoton wachsend, vgl. Beispiel (1), also insbesondere injektiv, Ihre Umkehrfunktion ist die Wurzelfunktion : [0, ) R, x x. (3) Die Funktion f : R R, x x 2 ist nicht injektiv, denn es gilt f(1) = 1 = ( 1) 2 = f( 1), aber 1 1, bzw. mit anderen Worten: y := 1 liegt im Wertebereich von f aber besitzt zwei verschiedene Urbilder. Wir kommen nun zu etwas aufwendigeren Beispielen, bei denen insbesondere die Umkehrfunktion zu berechnen ist. Beispiele Zeigen Sie, daß die Funktion f : R\{ 1} R, x x 1 x+1 injektiv ist. Geben Sie die Umkehrfunktion von f an und zeichnen Sie deren Graphen. Lösung: Wie auf der Skizze zu sehen ist die Funktion f injektiv und somit invertierbar, wir geben aber zusätzlich noch einen formalen Beweis: Seien dazu x 1, x 2 R\{ 1} mit f(x 1 ) = f(x 2 ). Dann gilt x 1 1 x = f(x 1) = f(x 2 ) = x 2 1 x 2 + 1, und damit folgt (x 1 1)(x 2 + 1) = (x 2 1)(x 1 + 1), also x 1 x 2 x 2 + x 1 1 = (x 1 1)(x 2 + 1) = (x 2 1)(x 1 + 1) = x 2 x 1 x 1 + x 2 1, und hieraus folgt schließlich x 2 + x 1 = x 1 + x 2, also 2x 1 = 2x 2 und damit x 1 = x 2, was zu zeigen war. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion müssen wir nun formal die Gleichung y = x 1 x+1 nach y auflösen. Sei dazu x R\{ 1} und y = x 1 x+1. Dann ist auch y 1, denn es kann nicht

12 50 6. Funktionen x 1 = x + 1 sein. Damit können wir die folgenden Umformungen vornehmen: y = x 1 x+1 (x + 1)y = x 1 x(y 1) = 1 y y 1 x = ( y+1 y 1 ) Dies zeigt, daß es zu jedem y R\{1} genau ein x R\{ 1} gibt mit f(x) ) = y, also. Um die ist insbesondere Bild(f) = R\{1}, und dieses x ist gegeben als x = ( y+1 y 1 Umkehrfunktion f 1 zu notieren, muß man sich klarmachen, daß das obige y die Variable sein soll und man daher in der letzten Gleichung x und y vertauschen muß. Wir erhalten also als Umkehrfunktion: f 1 : R\{1} R\{ 1}, x ( ) x + 1. x 1 Bild 6.M Graph der Funktion f Bild 6.N Graph der Funktion f 1 2. Sei a > 0. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich D f und die zugehörige Wertemenge W f von der durch die folgende Abbildungsvorschrift definierte reellen Funktion f an: x 1 a + x. Zeigen Sie ferner, daß f injektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion f 1. Lösung: Es gilt D f = [0, ). Für jedes x 0 gilt zudem 0 < 1 a + x 1 a + 0 = 1 a,

13 6.3. Die Umkehrfunktion 51 also ist W f (0, 1/a]. Sei nun x 0, dann gilt: y = 1 a+ x a + x = 1 y x = 1 y a x 0bzw. y 1 ( ) 2 a x = 1 y a Dies zeigt, daß W f = (0, 1/a] ist (ist y (0, 1/a], so ist y = f(x) für x = ( 1 y a ) 2 Df ), und es ergibt sich die Umkehrfunktion f 1 : (0, 1/a] [0, ), x ( ) 1 2 x a.

14 52 6. Funktionen

15 Kapitel 7 Spezielle Funktionen In diesem Kapitel wird eine Reihe von elementaren Funktionen mit ihren Graphen und elementaren Eigenschaften angegeben. 7.1 Die Potenzfunktion Im Folgenden verwenden wir die Notationen R >0 := (0, ), R <0 := (, 0) und R 0 := [0, ). Man nennt R >0 die positiven Zahlen, R <0 die negativen Zahlen und R 0 die nicht-negativen Zahlen. Eine Funktion f : D f R, für die es ein r Q gibt mit f(x) = x r für alle x D f, heißt Potenzfunktion. Dabei unterscheiden wir die folgenden Fälle: 1. r = 0. f ist eine konstante Funktion mit (maximalem) Definitionsbereich D f = R. 2. r = 1. f ist eine lineare Funktion (siehe auch Abschnitt 7.4), D f = R. 3. r N, r 2. D f = R. 4. r Z, r 1. D f = R \ {0} 5. r N, r > 0. D f = R r Z, r < 0. D f = R >0 53

16 54 7. Spezielle Funktionen Bild 7.A Bild 7.B Beispiel Es sei n N, n 2. Dann ist die Funktion f : [0, ) R, x x n injektiv (denn f ist streng monoton wachsen), und die Umkehrfunktion f 1 ist gegeben durch f 1 (x) = n x = x 1 n für alle x Df 1 = [0, ). Der Graph der Umkehrfunktion f 1 entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der Achse x = y, wie man in Bild 4.E sehen kann. Allgemeiner gilt: Jede Potenzfunktion f : D f R, x x r mit r Q\{0} ist injektiv und besitzt eine Umkehrfunktion, die selbst wieder eine Potenzfunktion ist, nämlich f 1 : W f R, x x 1 r. 7.2 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion Sei a > 0, a 1. Die Funktion f : R R, x a x( = e x log(a)) nennt man Exponentialfunktion mit Basis a. Im Fall a = e heißt f einfach die Exponentialfunktion. Man beachte: Nach dem Kommentaren in Abschnitt haben wir a x für x R\Q noch gar nicht definiert. Dies wird aber im Rahmen der Vorlesung Analysis 1 nachgeholt. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a ist die Logarithmusfunktion log a : R >0 R, x log a (x)

17 7.3. Polynomfunktionen 55 Bild 7.C 7.3 Polynomfunktionen Als Polynomfunktionen bezeichnen wir bestimmte Summen von Potenzfunktionen. Ein Funktion p : R R gegeben durch p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, für alle x R mit a 0, a 1,..., a n R, n N 0, nennen wir eine Polynomfunktion. Ist a n 0, so ist p eine Polynomfunktion n-ten Grades und n heißt der Grad von p. Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Bild 7.D Graph einer Polynomfkt. fünften Grades

18 56 7. Spezielle Funktionen 7.4 Allgemeine (affin-)lineare Funktionen Definition (Lineare Funktion). Eine Funktion f : R R heißt linear, wenn für alle x, y, c R gilt f(x + y) = f(x) + f(y) und f(cx) = c f(x). Wie man leicht einsieht, ist für jedes b R die Funktion f b : R R, x b x linear im Sinne dieser Definition. Tatsächlich sind dies auch schon alle lineare Funktionen, es gilt also: Ist f : R R linear, so gibt es ein b R mit f = f b. Wir wollen dieses Aussage beweisen. Dafür überlegen wir vorab: Wenn es ein solches b gibt, so muß insbesondere f(1) = f b (1) = b 1 = b sein. Wir nehmen dies nun umgekehrt also Motivation, b = f(1) zu wählen, was auch zum gewünschten Ziel führt dies zeigt der folgende Beweis. Sei f : R R linear. Definiere b := f(1). Wir zeigen, daß dann f = f b ist. Sei dazu x R beliebig, dann gilt f(x) = f(x 1) f linear = x f(1) = b x = f b (x). Also ist f = f b. Insbesondere gilt für lineare Funktionen f immer f(0) = 0. Allgemeiner betrachtet man auch verschobene lineare Funktionen: Die Funktion f : R R, x a + bx mit a, b R, nennt man allgemeine lineare Funktion bzw. genauer allgemeine affin-lineare Funktion. 1 Die Funktion f ist eine Polynomfunktion ersten Grades. Beispiel Skizzieren Sie den Graphen solch einer Funktion im Falle 1. a = 0, b = 2 2. a = 1, b = 0 3. a = 1, b = Stückweise lineare Funktionen Wir bringen nun ein Beispiel einer immer noch einfachen Funktion, die aber nicht zu den elementaren Funktionen gehört. Dennoch läßt sie sich durch Fallunterscheidungen aus elementaren (nämlich affin-linearen) Funktionen zusammensetzen. 1 Wir bereiten hier bereits die Begriffsbildung vor, die Sie in der Vorlesung Lineare Algebra 1 kennenlernen werden, dort ist die Bezeichnung lineare Funktion für den Fall a = 0 reserviert. Der Zusatz affin steht für den möglichen Fall a 0.

19 7.5. Stückweise lineare Funktionen 57 Beispiel Schreiben Sie die Funktion f : R R, x 2 1 x x + 2 ohne Beträge, indem Sie sie auf geeigneten Intervallen als affin-lineare Funktionen schreiben. Skizzieren Sie ihren Graphen. Lösung: Zunächst ermitteln wir die kritischen Punkte, in denen die Terme innerhalb der Betragsstriche das Vorzeichen wechseln. Das sind die Punkte 1 und 2. Das führt uns auf die drei Teilintervalle von R: (, 2), [ 2, 1) und [1, ) auf denen eine einheitliche Darstellung ohne Beträge möglich ist. Sei x (, 2): Hier gilt f(x) = 2 1 x x + 2 = 2 (1 x) + (x + 2) = 3 + 2x Sei x [ 2, 1): Hier gilt: f(x) = 2 (1 x) (x + 2) = 1. Sei x [1, ): Hier gilt f(x) = 2 + (1 x) (x + 2) = 2x + 1 Insgesamt ist 3 + 2x x < 2 f(x) = 1 2 x < 1 1 2x x 1 Bild 7.E Graph der Funktion f

20 58 7. Spezielle Funktionen 7.6 Trigonometrische Funktionen Herleitung und Definition Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten die Definitionen sin α := Gegenkathete/Hypotenuse, cos α := Ankathete/Hypotenuse, tan α := Gegenkathete/Ankathete. Diese Definition ist nur für α < 90 möglich. Bild 7.F Die sog. Trigonometrischen Funktionen sin und cos erweitern diese Darstellung auf den Definitionsbereich R. Dies soll aus der Anschauung des Einheitskreises hergeleitet werden. Bild 7.G Umrechnung von Grad- und Bogenmaß Der Umfang des Einheitskreises ist 2π. Daraus leitet sich das Bogenmaß ab, das im Folgenden statt des Gradmaßes verwendet wird. Es gilt 180 =π, zwischen dem Gradmaß a und dem Bogenmaß b bestehen also die Beziehungen a = 180 π b und b = π 180 a. Dabei wird das Bogenmaß als eine reelle Zahl interpretiert, man hat also keine Maßeinheit für b.

21 7.6. Trigonometrische Funktionen 59 Über die Anschauung am Einheitskreis können wir die Definition von Sinus und Cosinus auf beliebige reelle Zahlen aussdehnen, wobei wir diese als Winkel gemessen im Bogenmaß auffassen. So erhalten wir die Funktionen sin : R R, x sin(x) und cos : R R, x cos(x), und wir können folgendes ablesen: Die Wertemengen W sin und W cos sind jeweils das Intervall [ 1, 1]. Schaubild des Sinus und Cosinus. Bild 7.H Schaubild des Tangens und Cotangens. Der Tangens tan(x) := sin(x) cos(x) ist definiert auf R \ {x cos(x) = 0} = R \ {kπ + π 2 k Z}. Der Cotangens cot(x) := cos(x) sin(x) ist definiert auf R \ {x sin(x) = 0} = R \ {kπ k Z}. Bild 7.I Die Funktionen sin und cos, bzw. tan und cot sind periodisch mit den Perioden 2π bzw. π, das heißt, für alle x R und k Z gilt sin(x) = sin(x + 2kπ), tan(x) = tan(x + kπ), cos x = cos(x + 2kπ), cot x = cot(x + kπ).

22 60 7. Spezielle Funktionen Die Additionstheoreme Seien x, y R. Dann gilt: 1. sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1, mit der Schreibweise sin 2 (x) := (sin(x)) 2, 2. sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y), 3. cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y). Die Additionstheoreme lassen sich geometrisch am Einheitskreis herleiten. Außerdem werden sie im Rahmen der Analysis-Vorlesung mit analytischen Methoden bewiesen, denen aber insbesondere eine formale Definition der Funktionen sin, cos zugrunde liegen. Setzt man bei 2. und 3. den Spezialfall x = y ein, so erhält man sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) und cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) für alle x R. Beispiel Sei x R, dann folgt mit den Additionstheoremen: cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) = cos 2 (x) ( 1 cos 2 (x) ) = 2 cos 2 (x) 1, bzw. cos 2 (x) = 1 (cos(2x) + 1). 2 Neben der bereits formulierten 2π-Periodizität kann man noch weitere Symmetrien von sin und cos aus der Definition am Einheitskreis ablesen, etwa: x R : sin(x + π) = sin(x) und cos(x + π) = cos(x). Beispiel Machen Sie sich anschaulich klar, daß für alle x R gilt ( sin x + π ) ( = cos(x) und cos x + π ) = sin(x), 2 2 und beweisen Sie dies mit den Additionstheoremen. Spezielle Werte von Sinus, Cosinus und Tangens. a) Leiten Sie folgende spezielle Funktionswerte am Einheitskreis her. x in x im Bogenmaß sin x cos x tan x b) Mithilfe der Ergebnisse aus a) und den Additionstheoremen berechnen Sie sin(π/8) und cos(π/8).

23 Index <, 15 =, 15 >, 15 A \ B, 7 D, 43 L, 16, 4 N, 11 Q, 11 R 2, 37 R >0, R >0, R 0, 53, 4 W, 43 Z, 11, 7, 15, 5, 15 log b a, 26, 4, 6 π, 12, 6, 4, 4 f g, 42 D f, 43 W f, 43 Abbildung, 41 Additionstheoreme, 60 allgemeine lineare Funktion, 56 Aussage, 3 Basis, 24, 26 Betrag, 28 Betragsungleichungen, 36 Beweistechniken, 19 Bild, 41 Bildmenge, 41 binomische Formeln, 15 Bogenlänge des Einheitskreises, 12, 58 Bogenmaß., 58 Bruchrechnung, 12, 20 Bruchungleichungen, 35 Cosinus, 59 Cotangens, 59 Definitionsbereich, 41 Definitionsmenge, 29, 30 Eigenschaft, 6, 8 Einheitskreis, 45, 58 Element einer Menge, 5 elementare Funktionen, 53 euklidische Ebene, 37 Exponent, 24 Exponentialfunktion, 54 Fallunterscheidungen, 35 Funktion, 41 gerade, 48 symmetrische, 48 trigonometrische Funktion, 58 ungerade, 48 Funktionen elementare, 53 ganze Zahlen, 11 gerade Funktion, 48 Gradmaß, 58 61

24 62 INDEX Graph einer Funktion, 41 Hintereinanderausführung von Funktionen, 42 injektiv, 48 Intervall, 16 abgeschlossenes, 16 offenes, 16 kartesisches Produkt, 7, 37 Kreisgleichung, 45 Kreuzprodukt, 7 Lösungsmenge, 16 leere Menge, 7 Logarithmengesetze, 27 Logarithmus, 26 Basis, 26 Logarithmusfunktion, 54 logische Verknüpfungen, 3 maximale Wertemenge, 43 maximaler Definitionsbereich, 43 Menge, 5 monoton, 47 fallend, 47 wachsend, 47 natürliche Zahlen, 11 Negation, 8 negative Zahlen, 53 nicht-negative Zahlen, 53 Obermenge, 6 Parabel, 33 Polynom, 55 n-ten Grades, 55 positive Zahlen, 53 Potenz, 24 gebrochene, 25 mit ganzzahligem Exponenten, 24 mit rationalem Exponenten, 25 Potenzfunktionen, 53 Potenzgesetze ganzzahlige Exponenten, 24 rationale Exponenten, 25 quadratische Gleichungen, 31 quadratische Ungleichungen, 31 quadratisches Ergänzen, 31 Quantoren, 7 rationale Gleichung, 34 rationale Zahlen, 11 reelle Zahlen Rechenregeln, 15 reellwertige Funktion, 43 relatives Komplement, 7 Schnittmenge, 7 Sinus, 59 streng monoton, 47 symmetrisch, 48 Tangens, 59 Tautologische Äquivalenz, 4 Teilmenge, 6 trigonometrische Funktionen, 58 spezielle Werte, 60 Umkehrfunktion, 48 Umrechenformel, 27 ungerade Funktion, 48 Ungleichungen Regeln, 16 Vereinigungsmenge, 7 Verkettung von Funktionen, 42 Verneinung, 8 Wertebereich, 41 Wertemenge, 41, 43 Wurzel, 24 q-te, 24 Wurzelgesetze, 25 Wurzelgleichungen, 34 Zielbereich, 41 Zuordnungsvorschrift, 41