(3) Wurzelfunktionen. Definition Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion g : D R heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle (x, y) R 2 die Äquivalenz

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1 (3) Wurzelfunktionen Definition Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion g : D R heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle (x, y) R 2 die Äquivalenz Definition y = f (x) g(y) = x gilt. Für jedes k N ist die k-te Wurzelfunktion k die Umkehrfunktion von f k : R + R +, x x k. Für alle x, y R + gilt also y = x k k y = x. Beispiele: Es gilt 2 25 = 5, da 5 2 = 25 Hinweis: Schreibweisen a und 2 a sind gleichbedeutend Es gilt 3 64 = 4, da 4 3 = 64.

2 Der Funktionsgraph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Funktionsgraphens der Ausgangsfunktion an der Geraden y = x. Beispiel: Quadrat- und Quadratwurzelfunktion y x Die Wurzelfunktionen wachsen langsamer als jede affin-lineare Funktion mit positiver Steigung.

3 Mit Hilfe der Wurzelfunktionen können beliebige rationale Potenzen einer positiven reellen Zahl definiert werden. Man definiert y a/b = b y a = ( b y) a für y R +, b N, a Z. Beispiele: 25 3/2 = 25 3 = 5 6 = 5 3 = /3 = = /3 = = 3 2 = 1 9 Es gelten die Rechenregeln y r+s = y r y s, (y r ) s = y rs für alle y R + und r, s Q.

4 (4) Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Für jedes b > 1 gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion exp b : R R + mit folgenden Eigenschaften. exp b (r) = b r für alle r Q Die Funktion exp b ist streng monoton wachsend, d.h. aus x < y folgt jeweils exp b (x) < exp b (y). Man nennt sie die Exponentialfunktion zur Basis b. Häufig schreibt man b x statt exp b (x), für beliebiges x R. Die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e 2, als Basis wird in der Regel mit exp (statt exp e ) bezeichnet.

5 Beispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759. Daraus folgt 4, 707 < 3 2 < 4, 759. Eine bessere Näherung für 3 2 erhält man durch 3 1,414 4, 728 und 3 1,415 4, 733. Der auf drei Stellen gerundete Wert beträgt 3 2 4, 729.

6 Satz (Rechenregeln für die Exponentialfunktion) Für alle b R + und x, y R gilt b x+y = b x b y und (b x ) y = b xy Die Exponentialfunktionen wachsen schneller als jede Potenzfunktion. y 150 f (x) = x g(x) = x 3 h(x) = exp(x) x

7 Anwendung: Modellierung von Wachstumsprozessen Eine Bakterienpopulation bedeckt zum Zeitpunkt t = 0 eine eine Fläche von 1 cm 2. Die Fläche verdoppelt sich alle 24 Stunden. Wie groß ist sie nach 5 Stunden? Fläche vergrößert sich in t Stunden um den Faktor 2 t/24 Vergrößerung nach 5 Stunden also um den Faktor 2 5/24 1, 155 Ergebnis: 2 5/24 1 cm 2 1, 155 cm 2

8 Anwendung: Radioaktiver Zerfall Eine radioaktive Substanz besitzt eine Halbwertszeit von 1, 5 Stunden. Wenn die Ausgangsmenge 35 g beträgt, wieviel ist davon noch nach (a) 50 Minuten (b) 24 Stunden vorhanden? Substanzmenge ändert sich in t Stunden um den Faktor 2 t/1,5 (Halbierung in 1, 5 Stunden) zu (a) Änderung um den Faktor 2 ( 5/6)/1,5 = = 2 5/9 0, 68 verbleibende Stoffmengen also 0, g 23, 81 g zu (b) Änderung um den Faktor 2 ( 24)/1,5 = = , verbleibende Stoffmenge also 1, g 5, g 534, 1 µg

9 Definition (Logarithmusfunktion) Sei b R, b > 1. Die Logarithmusfunktion log b zur Basis b ist die Umkehrfunktion von exp b. Es gilt also y = exp b (x) = b x x = log b (y) für alle x R, y R +. Die Logarithmusfunktion zur Basis e 2, 718 wird der natürliche Logarithmus ln(x) genannt. Beispiele: 8 = 2 3 log 2 (8) = /3 = 100 log = 2 3 b 1 = b log b (b) = 1 für alle b R, b > 1 b 0 = 1 log b (1) = 0 für alle b R, b > 1 Insbesondere gilt ln(e) = 1 und ln(1) = 0.

10 Der Graph der Logarithmusfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen der Exponentialfunktion an der Geraden y = x (Eigenschaft der Umkehrfunktion). y f (x) = 2 x g(x) = log 2 (x) y = x x 2 4

11 Satz Für die Logarithmusfunktionen gelten folgende Rechenregeln. Sei b R, b > 1. log b (xy) = log b (x) + log b (y) für alle x, y R log b (x r ) = r log b (x) für alle r, x R log b (x) = ln(x) ln(b) für alle x R+ b x = e x ln(b) für alle x R Beweis: zu (i) b log b (xy) = xy = b log b (x) b log b (y) = b log b (x)+log b (y) Anwendung von log b auf beide Seiten liefert log b (xy) = log b (x) + log b (y).

12 zu (ii) b log b (xr ) = x r = (b log b (x) ) r = b r log b (x) Anwendung von log b auf beide Seiten liefert log b (x r ) = r log b (x). zu (iii) b ln(x) ln(b) = (e ln(b) ) ln(x) ln(x) ln(b) ln(b) = e ln(b) = e ln(x) = x = b log b (x) Anwendung von log b auf beide Seiten liefert ln(x) ln(b) = log b(x). zu (iv) b x = (e ln(b) ) x = e x ln(b)

13 Anwendung: Modellierung von Wachstumsprozessen Eine Bakterienpopulation bedeckt zum Zeitpunkt t = 0 eine Fläche von 1 cm 2. Die Fläche verdoppelt sich alle 24 Stunden. Wie lange dauert es, bis sich die Fläche auf 100 m 2 vergrößert hat? Es gilt 1 m 2 = 10 4 cm 2. Ein Wachstum von 1 cm 2 auf 100 m 2 entspricht also dem Faktor Gesucht ist also t R mit 2 t/24 = 10 6 t/24 = log 2 (10 6 ). Es gilt t 24 = log 2 (10 6 ) = ln(106 ) ln(2) = 6 ln(10) ln(2) also t = 24 6 ln(10) ln(2) 478, 36. Die gesuchte Zeit beträgt also 478, 36 Stunden 19, 9 Tage.

14 Anwendung: Radioaktiver Zerfall Gegeben sind 1 kg einer radioaktiven Substanz, deren Halbwertszeit 1, 5 Stunden beträgt. Wie lange dauert es, bis noch 1 mg übrig ist? Es gilt 1 kg = 10 6 mg. Eine Verringerung von 1 kg auf 1 mg entspricht also einer Abnahme um den Faktor Gesucht ist also t R mit 2 t/1,5 = 10 6 t/1, 5 = log 2 (10 6 ). Es gilt 2 3 t = log 2(10 6 ) = ( 6) ln(10) ln(2) also t = ( 3 2 ) ( 6) ln(10) ln(2) = 9 ln(10) ln(2) 29, 89. Die gesuchte Zeit beträgt also ungefähr 29 Stunden und 53 Minuten (da 0, ).

15 In der Chemie wird der Logarithmus zur Basis 10 auch für die Definition des ph-werts einer Lösung verwendet. Der ph-wert einer Lösung beträgt ph = log 10 c(h 3 O + ), wobei c(h 3 O + ) die Konzentration der H 3 O + -Ionen in der Lösung im mol/l bezeichnet. Die Gleichung kann umgeformt werden zu c(h 3 O + ) = 10 ph. Lösungen mit einem ph-wert kleiner 7 bezeichnet man als sauer, Lösungen mit ph > 7 als basisch. Beispiele: Ein Liter reines Wasser (ph-wert 7, neutral) enthält also 10 7 mol an H 3 O + -Ionen. Eine Lösung mit einer Konzentration von 2, mol/l an H 3 O + -Ionen hat einen ph-wert von log 10 (2, ) = log 10 (2, 5) log 10 (10 3 ) = log 10 (2, 5) ( 3) log 10 (10) = 3 1 log 10 (2, 5) 2, 602.

16 (5) Sinus- und Kosinusfunktion In der Mathematik werden Winkel stets im Bogenmaß angegeben. Dabei handelt es sich um die Länge des dem Winkel entsprechenden Kreisbogens am Einheitskreis (dem Kreis vom Radius 1). Der Einheitskreis hat einen Umfang von 2π, wobei π 3, die Kreiszahl bezeichnet. Also entsprechen 360 im Bogenmaß der Zahl 2π 6, Allgemein entsprechen k Grad also kπ 180 Beispiel: 90 = 90π 180 = 1 2π 1, im Bogenmaß.

17 Definition (trigonometrische Funktionen) Sei α R mit 0 < α < 1 2π. Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypothenuse der Länge 1, das neben dem rechten Winkel einen Winkel mit Bogenmaß α besitzt. Dann bezeichnet man die Gegenkathete als Sinus, die Ankathete als Kosinus des Winkels α. 1 sin(α) α cos(α)

18 Für Winkel α mit 1 2π < α < π sind Sinus und Kosinus durch folgendes Dreieck festgelegt. In diesem Bereich ist cos(α) negativ. sin(α) 1 α cos(α) Außerdem definiert man sin(0) = sin(π) = 0 und sin( 1 2π) = 1, cos( 1 2π) = 0.

19 Durch die Festlegungen sin(0) = sin(π) = 0, cos(0) = cos(π) = 1 und sin(x + π) = sin(x), cos(x + π) = cos(x) wird die Definition von Sinus- und Kosinusfunktion auf alle α R ausgedehnt. Graph der Sinus- und Kosinusfunktion y π π 3 2 π x π π 3 2 π 2π sin(x) cos(x)

20 Die Exponentialfunktion kann auf die komplexen Zahlen ausgedehnt werden. Die so erweiterte Funktion hängt mit der Sinus- und Kosinusfunktion durch die Formel e x+iα = e x (cos(α) + i sin(α)) für x, α R zusammen. Insbesondere gilt die Eulersche Formel e iπ = e 0 (cos(π) + i sin(π)) = 1 (( 1) + i 0) = 1. Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion können auch die Additionstheoreme sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) für Sinus- und Kosinusfunktion hergeleitet werden.

21 Beweis der Additionstheoreme: cos(α + β) + i sin(α + β) = e i(α+β) = e iα e iβ = (cos(α) + i sin(α)) (cos(β) + i sin(β)) = cos(α) cos(β) + i sin(α) cos(β) + i cos(α) sin(β) + i 2 sin(α) sin(β) = (cos(α) cos(β) sin(α) sin(β)) + i (sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)). Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil auf beiden Seiten erhalten wir beide Additionstheoreme.