Vorkurs Mathematik 2016

Transkript

1 Vorkurs Mathematik 2016

2 Vorkurs Mathematik Wozu braucht man den Logarithmus? Schallpegel (db) Schallintensität (W/m 2 ) 120 Düsenjet in 500m Entfernung Rock-Konzert 1 90 U-Bahn PKW leise Unterhaltung 10-6 Wie laut ist laut? 30 ruhiges Zimmer Blätterrauschen Hörbarkeitsgrenze Die Schallintensität I läuft von I 0 = W m 2 bis über 100 = 1 W m 2, deshalb ist eine logarithmische Darstellung als Schallpegel P besser: P = 10log 10 I I 0. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

3 Vorkurs Mathematik Logarithmische Darstellung, Logarithmenpapier Schalldruckpegel L p = 20log 10 P P0 mit P 0 = Pa. Wegen der über weite Strecken extrem flachen Kurve ist eine Darstellung mit den üblichen linear skalierten Achsen wenig aussagekräftig. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

4 Vorkurs Mathematik Viel besser ist eine halblogarithmische Darstellung (Logarithmenpapier): Schalldruckpegel L p = 20log 10 P P0 mit P 0 = Pa. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

5 Vorkurs Mathematik Rechnen mit Logarithmen Alle Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen. Für x,y > 0 und a > 0, a 1 sowie r,b > 0 gilt b = log a c a b = c, a b = e b lna, log a (xy) = log a x +log a y, log a ( xy ) = log a x log a y, log a x r = r log a x, log a x r = log a 1 x r = log a x r = r log a x, wichtige Beziehungen: log a 1 = ln1 = 0,log a a = lne = 1. Umrechnungsformel: log a x = log b x log b a und log a x = lnx lna. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

6 Vorkurs Mathematik TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

7 Winkel... Teil der Ebene, der von zwei Strahlen ( Schenkeln ) mit gleichem Anfangspunkt ( Scheitel ) begrenzt wird Winkelmessung... Quantitative Erfassung der Öffnungweite, d. h. lediglich der relativen Lage der Strahlen zueinander TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

8 Die Winkelmessung im Bogenmaß erfolgt unter Beachtung des Drehsinns am Einheitskreis: 1 0 ϕ ϕ 1 Die Größe des Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge des ausgeschnitten Bogens auf dem Einheitskreis. Der Vollkreis entspricht einem Winkel von 2π (Umfang des Einheitskreises). Einheit: Zur Identifikation als Winkel verwendet man mitunter den Radiant: 1 rad= 1 m m = 1. Mathematisch gesehen ist das verzichtbar. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

9 Beim Gradmaß wird die Größe des Vollkreises auf 360 normiert. Damit entspricht dem Winkel π im Bogenmaß die Gradangabe 180. Für beliebige Winkel gelten die Umrechnungsformeln Winkel in Grad = 180 Winkel in Radiant π Winkel in Radiant = π Winkel in Grad 180 Wie groß ist der rechte Winkel (90 ) im Bogenmaß? Wieviel Grad entspricht 1 rad? TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

10 Prägen Sie sich einige Werte auch im Bogenmaß ein. Achten Sie beim Rechnen mit Winkeln auf korrekte Taschenrechnereinstellung ( /rad). TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

11 Unter dem Begriff Winkelfunktionen fasst man die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen. Wir erinnern uns zunächst an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. 1 sin ϕ ϕ 0 ϕ cos ϕ 1 Durch Skalieren der Skizze erhält man die klassischen Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck doch dazu später. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

12 sin(x +2π) = sin(x), cos(x +2π) = cos(x), d. h. Sinus und Kosinus sind 2π-periodisch, sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x), d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade, sin(x) = cos(x π/2) und cos(x) = sin(x + π/2), d. h. die Graphen sind um π/2 gegeneinander verschoben, sin 2 (x) +cos 2 (x) = 1 (Satz des Pythagoras), sin(x) = 0 x = kπ mit k Z und cos(x) = 0 x = (k +0.5)π mit k Z, TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

13 Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen sin(2x +1) = 0 und cos( π 2 3x) = 3 2. Nutzen Sie die die Eigenschaften von Seite 12 wie auch die Funktionswerttabelle auf Seite??. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = sin(2x +1) und g(x) = cos( π 2 3x). Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus dem vorigen Beispiel graphisch. Was ändert sich am Graphen einer Funktion y = f (x), wenn man x durch kx (k > 0), x bzw. x c ersetzt? Was ändert sich wenn man y = kf (x)(k > 0) statt y = f (x) betrachtet? TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

14 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und einen guten Start ins Studium an der TU Bergakademie Freiberg! Originalfoto: Regi51 TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik