Mathematische Einführung

Transkript

1 und euklidische Geometrie

2 Motivation Warum braucht man eine mathematische Einführung? Die Physik ist in der Sprache der Mathematik formuliert. Mathematische Methoden essentiell zur Lösung von physikalischen Problemen. Auffrischung und Erweiterung der Schulmathematik.

3 Definitionen Einführung Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte {a i i = 1,...} unserer Anschauung bzw. unseres Denkens. (Cantor) Das Objekt a i einer Menge A nennt man Element der Menge A. Man schreibt: a i A. Die Mächtigkeit einer Menge A - beschrieben mit A - ist gleich der Anzahl der Elemente in dieser Menge. Seien A, B zwei. Wenn für alle Elemente a i A gilt, dass a i B so ist A eine Teilmenge von B. Man schreibt. A B. Existiert in B mindestens ein Element, welches nicht in A liegt, so ist A echte Teilmenge von B, man schreibt: A B.

4 Beispiele Einführung Beispiel 1: A = {rot, blau, gelb} B = {blau, rot} a 1 = rot, a 2 = blau, a 3 = gelb, b 1 = blau, b 2 = rot A = 3, B = 2 B A Beispiel 2: A = {1, 2, 5, 7} B = {1, 3, 5, 7, 11} a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 5, a 4 = 7 b 1 = 1, b 2 = 3, b 3 = 5, b 4 = 7, b 5 = 11 A = 4, B = 5 A B

5 Verknüpfung von Seien A = {a i }, B = {b i } zwei beliebige. Im Schnitt der A und B liegen Elemente, die sowohl Element von A als auch Element von B sind. Kurzschreibweise: x (A B) (x A) (x B) In der Vereinigung der A und B liegen Elemente, die entweder Element von A oder Element von B sind. Kurzschreibweise: x (A B) (x A) (x B) In der Differenzmenge A \ B befinden sich Elemente, die in A aber nicht in B liegen. Kurzschreibweise: x (A \ B) (x A) (x / B)

6 Beispiele: Verknüfung von Beispiel 3: A = {rot, blau, gelb} B = {blau, rot} (A B) = {rot, blau} (A B) = {rot, blau, gelb} (A \ B) = {gelb} (B \ A) = {} Beispiel 4: A = {1, 2, 5, 7} B = {1, 3, 5, 7, 11} (A B) = {1, 5, 7} (A B) = {1, 2, 3, 5, 7, 11} (A \ B) = {2} (B \ A) = {3, 11}

7 Beispiele: Wichtige Beispiel 5: Die leere Menge := { } Beispiel 6: Die Menge der natürlichen Zahlen N N := {1, 2, 3,...} Beispel 7: Die Menge der ganzen Zahlen Z Z := N {0} N Beispiel 8: Die Menge der rationalen Zahlen Q Q := { p q p, q Z} Beispiel 9: Die Menge der reelleen Zahlen R R := Q {x x ist irrational}

8 Übungsaufgaben - Aufgabe 1: Sei A die Menge aller Elektronikgeräte und B die Menge aller Mobiltelefone. Welche Geräte liegen in der Menge (A B), (A B), (A \ B) und (B \ A)? Aufgabe 2: Sei A die Menge aller positiven ganzen Zahlen im Bereich 1 bis 20 und B die Menge aller Primzahlen im Bereich 1 bis Geben Sie A und B exakt an. 2 Bestimmen Sie A B, A B, A \ B und \A. 3 Bestimmen Sie A, B, A \ B und B \ A. Aufgabe 3*: Überlegen Sie sich, ob die Vereinigung, der Schnitt und die Differenz kommutativ bzw. assoziativ ist. Erinnerung: Eine Relation ist.....kommutativ, wenn gilt: A B = B A...assoziativ, wenn gilt: A (B C) = (A B) C

9 Darstellung von Brüchen Der gewöhnliche Bruch: Z N := Z : N Hierbei: Z ist der Zähler, N ist der Nenner und es gilt: Z, N Z, N 0. Von einem echten Bruch spricht man, wenn gilt Z < N, ansonsten spricht man von einem unechten Bruch. Ein gemischter Bruch setzt sich zusammen aus einem ganzzahligen Anteil und verbleibendem Anteil als echter Bruch. Beispiel = 4 2 3

10 Multiplikaton/Division von Brüchen Zwei Brüche werden multipliziert indem man sowohl Zähler als auch Nenner miteinander multipliziert. Beispiel = = Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Divisorbruches multipliziert. Beispiel : 7 9 = = = 6 7 Werden sowohl Zähler als auch Nenner mit einer Zahl multipliziert (durch eine Zahl dividiert), so spricht man von Erweitern (Kürzen).

11 Addition/Subtraktion von Brüchen Stimmen zwei oder mehrer Brüche in ihrem Nenner überein, so spricht man von gleichnamigen Brüchen. Brüche können gleichnamig gemacht werden, in dem man sie auf den gleichen Hauptnenner bringt. Praktisch sucht man dazu das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner. a n ± b n = a ± b n Beispiel = = = =

12 Übungsaufgaben - en Führen Sie folgende Rechnungen durch. Erhält man einen echten oder unechten Bruch? Stellen Sie das Ergebnis ggfs. als gemischten Bruch dar. Aufgabe =? Aufgabe =? Aufgabe =? Aufgabe 7* ( ) =?

13 Definition und Sprechweisen Beim Potenzieren wird ein Faktor x wiederholt (y-mal) multipliziert. x y := x x... x }{{} y mal y N n x m y = m n Q exp(y ln x) y R, x > 0 Sprechweise: x bezeichnet die Basis, y bezeichnet den Exponenten.

14 Rechenregeln Einführung a 0 = 1 a 0 a r = 1 a r r R, a > 0 a r+s = a r a s r, s R, a > 0 (a b) r = a r b r r R, a, b > 0 (a r ) s = a r s r R, a > 0

15 Übungsaufgaben - Berechnen Sie: Aufgabe =? Aufgabe =? Aufgabe 10 2, 5 3 =? Aufgabe 11* e π =?

16 Einführung Die Zahlendarstellung ergibt sich aus den verwendeten Zahlzeichen sowie dem jeweiligen Zahlensystem, in der Regel einem b-adischen System. Dabei: Wähle Basis b und stelle die Zahl als endliche Summe von Potenzen zu dieser Basis da: Zahlenwert = a 0 b 0 + a 1 b a n b n Eindeutige Darstellung einer Zahl bei festem Zahlensystem.

17 Wichtige b-adische Systeme Beispiel 14 Dezimalsystem b = 10, a i {0, 1, 2,..., 9} = Beispiel 15 Binärsystem b = 2, a i {0, 1} = =

18 Exponentialdarstellung Bei der Exponentialdarstellung wird eine Zahl charakterisiert durch eine Mantisse m, die Basis b und dem Exponenten d. Zahlenwert = m b d Diese Schreibweise hat eigene Vorteile: Übersichtlichkeit Näherungsrechnungen Vereinfachtes Durchführen elementarer Rechenoperatioen In der Physik stellt man in dieser Ergebnisse hauptsächlich zur Basis 10 dar.

19 Beispiele Einführung Beispiel 16 Lichtgeschwindigkeit c = m s = 2, m s m s Beispiel 17 Näherungsweises Rechnen c g = m s 1, Js ,81 m J s 2 = J s 2 s

20 Definition Einführung Seien X,Y zwei. Eine Funktion f : X Y ist eine Abbildung von X nach Y, bei der jedem Element aus X ein eindeutiges Zielelement aus Y zugewiesen wird. Man spricht von der Definitionsmenge X und der Zielmenge Y. Eine Funktion wird entweder durch eine Funktionsgleichung (z.b. f (x) = x 2 ) oder einer Zuordnungsvorschrift (z.b. x x 2 ) spezifiziert.

21 Darstellung von Funktionale Zusämmenhänge können in den einfachsten Fällen in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Dabei bezeichnet die x-achse die Abszisse und die y-achse die Ordinate. Jedem Element der Definitionsmenge wird nun durch die Funktionsgleichung ein Punkt auf der Ordinate zugeordnet. Bei der Darstellung muss auf die Definitionsmenge und Zielmenge geachtet werden.

22 Darstellung von

23 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln Definition und Sprechweisen Ausgangspunkt der Euklidischen Geometrie ist das Werk Die Elemente: Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Linie ist eine breitenlosen Länge. Eine Gerade ist eine Linie, die bzgl der Punkte auf ihr stets gleich liegt.... Wichtige Geometrische Figuren in der Ebene: 0-dim: Punkt 1-dim: Gerade, Strahl, Strecke, Bogen,... 2-dim: Dreieck, Trapez, Raute, n-eck, Kreis, Parabel,..

24 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2

25 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln Trigonometrische sin(α) = cos(α) = tan(α) = Gegenkathete von α Hypothenuse Ankathete von α Hypothenuse Gegenkathete von α Ankathete von α = a c = b c = a b

26 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln Trigonometrische

27 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln Trigonometrische Zusammenhänge zwischen sin, cos und tan tan(α) = sin(α) cos(β) cos(α) = sin(90 α) Additionstheorem für Sinus und Cosinus sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± sin(β)cos(α) cos(α ± β) = cos(α)cos(β) sin(α)sin(β)

28 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln charakteristische Größen Koordinaten des Mittelpunktes M = (x M, y M ) Durchmesser d des Kreises Radius r des Kreises Umfang U des Kreises

29 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln Kreisdarstellung und Definition von π Parametrisierung des Kreises mit Radius r x = x M + r cos(φ) φ [0, 2π) y = y M + r sin(φ) φ [0, 2π) Definition der Kreiszahl π π = Umfang des Kreises Durchmesser des Kreises 3, 14

30 Rechtwinklinge Dreiecke Der Kreis Angabe von Winkeln Winkelmaße Unter dem Vollwinkel ist derjenige Winkel zu verstehen, um den ein Strahl um seinen Anfangspunkt gedreht werden muss, damit er zum ersten Mal wieder seine ursprüngliche Ausrichtung erreicht. Gradmaß Unterteilung des Vollwinkels in 360 gleich große Teile. Maßeinheit Grad, Kennzeichnung durch Symbol. 1 Vollwinkel = 360 Bogenmaß Im Bogenmaß wird der Vollwinkel gleich 2π gesetzt. Maßeinheit Radiant, Kennzeichnung durch Symbol rad. 1 Vollwinkel = 2πrad