Die elementaren trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen sind: Funktion Kurzzeichen Umkehrfunktion Kurzzeichen Sinus

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1 trigonometrische Funktionen Übersicht über die trigonometrischen Funktionen Die elementaren trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen sind: Funktion Kurzzeichen Umkehrfunktion Kurzzeichen Sinus sin Arkussinus arcsin Kosinus cos Arkuskosinus arccos Tangens tan Arkustangens arctan Kotangens cot Arkuskotangens arccot Sekans sec Arkussekans arcsec Kosekans csc Arkuskosekans arccsc Sinus stammt vom lateinischen Wort sinus = Bogen ab, was wiederum aus dem Sanskrit abgeleitet ist und dort Bogensehne bedeutet; Kosinus bedeutet Sinus des Komplementärwinkels und der Name Tanges ist auf den Begriff Tangente zurückzuführen (siehe Einheitskreis). Wegen der bestehenden engen Zusammenhänge zwischen den Funktionen würde bereits eine der Funktionen ausreichen, um beliebige trigonometrische Probleme zu lösen. Aus Bequemlichkeit sowie zur Vereinfachung benutzt man aber verschiedene Funktionen. Umrechnungsmöglichkeiten sind in der Tabelle dargestellt sin cos tan cot sec csc sin sin cos cos sin cos tan cot sec csc sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos tan tan cot cot tan cot tan tan tan tan tan cot cot cot cot cot sec sec sec sec sec sec sec sec csc csc csc csc csc csc csc csc Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite

2 Die trigonometrischen Funktionen lassen sich bezüglich Größe und Vorzeichen recht gut am Einheitskreis darstellen: für beliebige Winkel ist der Sinus am Einheitskreis als Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse definiert; bei einer Hypotenuse der Länge (Einheitskreis!) entspricht das der y Koordinate des Schnittpunktes am Einheitskreis. für beliebige Winkel ist der Kosinus am Einheitskreis als Quotient aus Ankathete und Hypotenuse definiert; bei einer Hypotenuse der Länge (Einheitskreis!) entspricht das der Koordinate eines Punktes am Einheitskreis. Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite

3 der Tangens entspricht dem Quotienten aus Sinus und Kosinus; er ist damit das Längenverhältnis der Gegenkathete zur Ankathete; bei einer Ankathete der Länge (Einheitskreis!) entspricht das der y Koordinate des Schnittpunktes des Schenkels unseres Winkels mit der senkrechten Tangente am Einheitskreis: reziprok zum Tangens entspricht der Kotangens dem Quotienten aus Kosinus und Sinus; er ist damit das Längenverhältnis der Ankathete zur Gegenkathete; bei einer Gegenkathete der Länge (Einheitskreis!) entspricht das der Koordinate des Schnittpunktes des Schenkels unseres Winkels mit der waagerechten Tangente am Einheitskreis: Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 3

4 der Sekans entspricht dem Reziprokwert des Cosinus, also dem Quotienten aus Hypotenuse und Ankathete. Bei einer Ankathete der Länge (Einheitskreis!) entspricht das der Länge des Schenkels unseres Winkels bis zum Schnittpunkt mit der senkrechten Tangente am Einheitskreis: der Kosekans entspricht dem Reziprokwert des Sinus, also dem Quotienten aus Hypotenuse und Gegenkathete. Bei einer Gegenkathete der Länge (Einheitskreis!) entspricht das der Länge des Schenkels unseres Winkels bis zum Schnittpunkt mit der waagerechten Tangente am Einheitskreis: Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 4

5 Additionstheoreme kein Additionstheorem, aber gern und häufig genutzt wird ein Zusammenhang, der aus dem Satz des Pythagoras folgt: sin cos Mindestens genauso häufig und gern genutzt werden Formeln, welche die trigonometrischen Funktionen von Winkelsummen und differenzen angeben, die sogenannten Additionstheoreme: sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin( ) sin cos ( cos )cos cos cos cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos( ) cos sin cos sin cos ( cos ) Ein Beweis kann mit Hilfe der Formel von Euler Moivre (siehe unten) werden: e i cos i sin geführt cos( ) i sin( i( ) ) e i i e e (cos i sin)(cos i sin ) (cos cos sin sin ) i (sin cos sin cos) Ein Vergleich der reellen sowie der imaginären Komponente ergibt die oben dargestellten Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. tan tan sin( ) tan( ) tan tan cos( ) tan tan sin( ) tan( ) tan tan cos( ) cot cot cos( ) cot( ) cot cot sin( ) (cot cot ) cos( ) cot( ) cot cot sin( ) Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 5

6 Formel von Euler Moivre, Eulersche Identität: e i cos i sin cos i sin Wieso? Wir betrachten die Funktion f ( ) i e Die Eulersche Identität besagt, dass f ( ) für alle gilt. Beweisen lässt sich das, wenn man zeigt, dass der Nenner nie Null wird, für mindestens ein ausgewähltes f ( ) ist. f () für alle konstant, d.h. f ( ) 0 ist. Damit wäre gezeigt, dass die Behauptung der Eulerschen Identität stimmt. i i Der Nenner ist nie Null, denn es gilt e e e 0 cos0 i sin 0 f ( 0) für das Argument 0 ist die Forderung f ( ) erfüllt. i0 e Betrachten wir die Ableitung der Funktion: i i ( sin i cos ) e (cos i sin ) i e f ( ) i ( e ) i i i i sin e i cos e i cos e i sin e 0 i ( e ) Da die Ableitung überall Null ist, ist f () konstant und mit Punkt : f ( ). Damit kann die Eulersche Identität als bewiesen gelten. Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 6

7 Identitäten Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt aufgefasst werden kann: sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin sin( ) tan tan cos cos sin( ) tan tan cos cos sin( ) cot cot sin sin sin( ) cot cot sin sin Produkte der Winkelfunktionen In Umkehrung zu den eben beschriebenen Identitäten lassen sich Produkte der trigonometrischen Funktionen unter Verwendung ihrer Summe und Differenzen darstellen: sin sin [cos( ) cos( )] cos cos [sin( ) sin( )] sin cos [sin( ) sin( )] tan tan tan tan tan tan cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot tan tan tan tan tan cot tan cot tan cot cot tan cot tan Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 7

8 Umkehrfunktionen Mit jeder der vorgestellten trigonometrischen Funktionen lässt sich einem vorgegebenen Winkel ein Funktionswert zuweisen. Am Einheitskreis wurde das durch entsprechende Streckenabschnitte veranschaulicht. Umgekehrt erscheint es häufig nützlich, die umgekehrte Zuordnung vorzunehmen man weist einer physikalischen Größe (am Einheitskreis z.b. eine Strecke) einen Winkel zu. Dabei gibt es allerdings ein Problem: Als Funktion ist eine Zuordnung nur dann zulässig, wenn sie eindeutig ist. Das funktioniert z.b. bei der Bildung des Sinus ganz gut. Jedem Winkel wird ein Funktionswert zugeordnet diese sind allerdings für ausgewählte Winkelwerte gleich. Dreht man nun die Zuordnung um, müsste man dem gleichen Wert (hier Streckenabschnitt am Einheitskreis) mehrere Winkelwerte zuweisen. Das geht natürlich nicht. Daher die Forderung: Im Bereich, in dem eine Umkehrfunktion gebildet werden soll, muss der anfängliche funktionale Zusammenhang eineindeutig sein! Diese Forderung nach Eineindeutigkeit ist jeweils nur für ausgewählte Intervalle des Definitionsbereichs einer trigonometrischen Funktion erfüllt. Aus der Grafik lässt sich entnehmen, dass der Sinus z.b. im Intervall zwischen /... / eineindeutig ist. Für den Kosinus trifft das im Intervall 0... zu und für den Tangens zwischen /... /. In diesen Bereichen sollten die genannten Funktionen also eine Umkehrfunktion haben; die Zuordnung Strecke Winkel sollte also funktionieren. Die Umkehrfunktionen werden Arkusfunktionen genannt. Der Name wurde gewählt, weil der Funktionswert einen Winkel darstellt, der häufig im Bogenmaß (Arcus = Bogen) ausgedrückt wird. Entsprechend heißen die Umkehrfunktionen: arcsin, arccos, arctan, arccot, arc sec, arccsc. Entstanden sind diese Umkehrfunktionen durch Vertauschen der Zuordnung von unabhängiger und abhängiger Variable; die grafische Darstellung der Umkehrfunktionen sollte sich (im Definitionsbereich!) also auch durch Vertauschen von Abszisse Ordinate gewinnen lassen. Stellt man danach die unabhängige Variable wieder auf der Abszisse und die abhängige auf der Ordinate dar, hat man die Lösung. In der Grafik lässt sich das durch Spiegelung des Ausgangsgraphen an der Funktion y erreichen. Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 8

9 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen (Grafik) Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 9

10 Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln: sin(arcsin ( )) ; cos(arccos ( )) ; tan(arctan ( )) ; cot(arc cot( )) sin(arccos( )) denn mit y arccos( ) sin y cos y cos(arcsin( )) denn mit y arcsin( ) cos y sin y sin(arctan( )) denn mit y arctan( ) sin y tan y tan y cos(arctan( )) denn mit y arctan( ) cos y tan y Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, trigonometrische Funktionen Seite 0