1. Tangente, Ableitung, Dierential
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- Bettina Goldschmidt
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1 1. Tangente, Ableitung, Dierential Variablen un Funktionen 1.1. Verallgemeinern Sie ie folgenen Gruppen von Gleichungen mithilfe von Variablen. (1) = 3 + 5, 1 2 = (2) = (3 + 5) 2, = ( 1 + 3) Für welche Zahlen können ie Variablen in en folgenen Gleichungen stehen? Geben Sie je ein Beispiel. (1) x + y = y + x. (2) a a = 1. (3) h = h 2 (4) c + = 0. (5) s 2 + t 2 = 1. (6) z 2 1 = 0. (7) k = 1. (8) u 2 + v 2 = Für welche Zahlen können ie Variablen in en folgenen Gleichungen nicht stehen? Geben Sie je ein Beispiel. (1) x + y = y + x. (2) a a = 1. (3) h = h 2 (4) c + = 0. (5) s 2 + t 2 = 1. (6) z 2 1 = 0. (7) k = 1. (8) u 2 + v 2 = Gegeben sei y = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Welche von en Variablen hier ist unabhängig? Welche ist abhängig? 1.5. Drücken Sie y urch x aus. Geben Sie abei ie zulässigen Werte von x an. (1) x y = 0. (2) xy = 1. (3) x = y 2. (4) y 1 x+1 = 1. (5) x 1 y+1 = 1. (6) y 1 x+1 = 0. (7) x 1 y+1 = 0. (8) x 2 y 2 = Gegeben sei ie Funktion f(x) = x 2. Bestimmen Sie en Wert von y. (1) y = f(0). (2) y = f( 2). (3) y = f(1 + 2). (4) y = f(2) f(1). (5) y = f(1, 2345) f( 1, 2345). (6) y = f(1)/f(0). (7) f(y) = 4. (8) f(y) = 4. (9) f( y) = 4. (10) f(y + 1) = Nehmen wir an, ass y = f(x) für jee reelle Zahl x (x R). Kann ie Symbolkette f(x) ie folgenen Ausrücke bezeichnen? (1) 1. (2) x. (3) x 100. (4) 1/x. (5) x. (6) x 2. (7) 1/(x + 1) 2. (8) 1/(x 2 + 1). (9) 2 x. 1
2 1.8. Gegeben sei ie Funktion f(z) = z 2. Drücken Sie y urch x explizit aus. Geben Sie abei ie zulässigen Werte von x an. (1) y = f(x). (2) x = f(y). (3) y = x 2 f(x). (4) x = y 2 f(y). (5) y = f(x)/x. (6) x = f(y)/y. (7) y 2 = f(x). (8) x 2 = f(y). (9) f(x y) = 0. (10) f(x y) = 1. (11) f(x) f(y) = 0. (12) f(x) f(y) = Gegeben seien ie Funktionen f(z) = z 2 un g(z) = z +1. Stellen Sie y als explizite Funktion von x ar, inem Sie y urch x ausrücken. Geben Sie abei ie zulässigen Werte von x an. (1) y = f(x) + g(x). (2) y = f(x) g(x). (3) y = f[g(x)]. (4) x = f[g(y)]. (5) y = g[f(x)]. (6) x = g[f(y)]. (7) y = f[f(x)]. (8) y = g[g(x)]. (9) y = [f(x)] 2. (10) y = [g(x)] 2. (11) f(y) = g(x). (12) g(y) = f(x). (13) y = f(t), x = g(t). (14) y = g(t), x = f(t) Gegeben seinen ie folgene Funktionen von zwei Argumenten: a(u, v) = u + v, s(u, v) = u v, m(u, v) = u v, (u, v) = u/v un p(u, v) = u v. Drücken Sie z urch x un y explizit aus. Geben Sie abei ie zulässigen Werte von x un y an. (1) z = m(1, 1). (2) z = s(x, 0). (3) y = a(x, z). (4) 1 = (m(x, y), z). (5) z = a[m(x, x), m(y, y)]. (6) p(z, 2) = s[p(x, 2), p(y, 2)]. (7) 0 = m(y, z). (8) m(z, y) = m(x, y) Bestimmen Sie, ob er Punkt (x 0, y 0 ) em Graphen er Funktion f(x) gehört. (1) f(x) = 1, (x 0, y 0 ) = (1, 0). (2) f(x) = 1/x, (x 0, y 0 ) = ( 1, 1). (3) f(x) = x 2 + 1, (x 0, y 0 ) = ( 2, 3). (4) f(x) = x 2 + 1, (x 0, y 0 ) = ( 2, 3) Bestimmen Sie, in welchen Punkten sich ie Graphen er folgenten Funktionen schneien. (1) f(x) = 1, g(x) = 2. (2) f(x) = 1, g(x) = x. (3) f(x) = 1, g(x) = x 2. (4) f(x) = x, g(x) = 1/x. (5) f(x) = x, g(x) = 1/x. (6) f(x) = 2x 1, g(x) = x 2. Gleichung einer Geraen, ie urch en Ursprung geht Schreiben Sie ie Gleichungen er Geraen auf, ie mit en Achsen x un y übereinstimmen Bestimmen Sie ie Gleichung er Geraen, ie urch en Ursprung un em Punkt (x 0, y 0 ) geht. (1) (x 0, y 0 ) = (1, 2). (2) (x 0, y 0 ) = (1, 2). (3) (x 0, y 0 ) = ( 1, 2). (4) (x 0, y 0 ) = (0, 1). (5) (x 0, y 0 ) = (1, 0). (6) (x 0, y 0 ) = (0, 0). 2
3 1.15. Gegeben sei ie Gerae, ie urch ie Punkte (x 1, y 1 ) = (1, 2) un (x 2, y 2 ) geht. Geht sie auch urch en Ursprung? (1) (x 2, y 2 ) = (10, 20). (2) (x 2, y 2 ) = (10, 20). (3) (x 2, y 2 ) = ( 10, 20). (4) (x 2, y 2 ) = (1, 2). Gleichung einer Geraen, ie urch einen gegebenen Punkt geht Schreiben Sie ie Gleichungen er Geraen auf, ie parallel zu en Achsen x un y urch en Punkt (1, 1) gehen Bestimmen Sie ie Gleichung er Geraen, ie urch ie Punkte (x 1, y 1 ) = (1, 2) un (x 2, y 2 ) geht. (1) (x 2, y 2 ) = (2, 3). (2) (x 2, y 2 ) = ( 2, 3). (3) (x 2, y 2 ) = ( 2, 3). Tangente (4) (x 2, y 2 ) = (1, 3). (5) (x 2, y 2 ) = (2, 2). (6) (x 2, y 2 ) = (0, 0) Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente an en Einheitskreis im Punkt x = x 0. (1) x 0 = 1. (2) x 0 = 1. (3) x 0 = 0. (4) x 0 = 2/2. (5) x 0 = 2/ Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion y = f(x) im Punkt x = x 0. (1) f(x) = x 2, x 0 = 0. (2) f(x) = x 3, x 0 = 0. (3) f(x) = 1/x, x 0 = 1. (4) f(x) = 1/x, x 0 = 1. Tangente an ie quaratische Parabel y = x Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion y = x 2 im Punkt x = x 0. (1) x 0 = 0. (2) x 0 = 1. (3) x 0 = 1. (4) x 0 = In welchem Punkt soll man ie Tangente an en Graphen er Funktion y = x 2 urchführen, soass ihr Steigung en Wert k hat? (1) k = 0. (2) k = 1. (3) k = 1. (4) k = In welchem Punkt soll man ie Tangente an en Graphen er Funktion y = x 2 urchführen, soass sie auch urch en Punkt (x 1, y 1 ) geht? (1) (x 1, y 1 ) = (1, 0). (2) (x 1, y 1 ) = (1, 1). (3) (x 1, y 1 ) = ( 2, 3). (4) (x 1, y 1 ) = (0, 1) Leiten Sie ie allgemeine Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion y = ax 2 + bx + c im Punkt x 0 her, wobei a, b, c un x 0 beliebige reelle Zahlen sin. 3
4 Verallgemeinerung auf eine beliebige Funktion Bestimmen Sie wenigstens zwei Werte von x, bei enen sich ie Graphen er Funktionen f(x) un g(x) schneien. (1) f(x) = (1 + x 2 ) x, g(x) = ( ) x. (2) f(x) = (1 + x) 2 x, g(x) = (1 + 5) 2 x. (3) f(x) = (1 + x) 2 x, g(x) = (1 + 2) 2 x. (4) f(x) = 9 + x 2 x, g(x) = 9 + ( 4) 2 x. (5) f(x) = [6/(1 + x 2 )] x, g(x) = [6/( )] x. (6) f(x) = x 2, g(x) = 100 x Bestimmen Sie ie Gleichung er Geraen, ie en Graphen er Funktion y = f(x) in Punkten x = x 0 = 0 un x = x 1 schneiet. (1) f(x) = (1 + x 2 ) x, x 1 = 1. (2) f(x) = (1 + x) 2 x, x 1 = 3. (3) f(x) = (1 + x) 2 x, x 1 = 2. (4) f(x) = 9 + x 2 x, x 1 = 4. (5) f(x) = [6/(1 + x 2 )] x, x 1 = 2. (6) f(x) = x 2, x 1 = 3. (7) f(x) = 3x x 3, x 1 = 2. (8) f(x) = (a + x) 2 a 2, x 1 = 100, a R Bestimmen Sie ie allgemeine Gleichung er Geraen, ie en Graphen er Funktion y = f(x)x in en Punkten x = x 0 = 0 un x = x 1 schneiet, wobei urch f(x) eine beliebige Funktion bezeichnet wir, ie in en Punkten x = x 0 un x = x 1 eniert ist Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion y = f(x) im Punkt x = x 0 = 0. (1) f(x) = (1 + x 2 ) x. (2) f(x) = (1 + x) 2 x. (3) f(x) = (1 + x) 2 x. (4) f(x) = 9 + x 2 x. (5) f(x) = [6/(1 + x 2 )] x. (6) f(x) = x 2. (7) f(x) = 3x x 3. (8) f(x) = (a + x) 2 a 2, a R Bestimmen Sie ie allgemeine Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion y = f(x)x im Punkt x = x 0 = 0, wobei urch f(x) eine beliebige Funktion bezeichnet wir, essen Graph in einer Umgebung von x 0 eine glatt urchgezogene Linie arstellt Bestimmen Sie wenigstens zwei Werte von x, bei enen sich ie Graphen er Funktionen f(x) un g(x) schneien. (1) f(x) = (1 + x 2 ) (x 3), g(x) = ( ) (x 3). (2) f(x) = 20 + (1 + x) 2 (x 10), g(x) = 20 + (1 + 5) 2 (x 10). (3) f(x) = (1 + x) 2 (x + 1), g(x) = (1 + 2) 2 (x + 1). (4) f(x) = x 2 (x + 2), g(x) = ( 4) 2 (x + 2). (5) f(x) = [6/(1 + x 2 )] (x 1), g(x) = [6/( )] (x 1). (6) f(x) = x(x 1), g(x) = 100 (x 1) Bestimmen Sie ie Gleichung er Geraen, ie en Graphen er Funktion y = f(x) in en Punkten x = x 0 un x = x 1 schneiet. (1) f(x) = (1 + x 2 )(x 3), x 0 = 3, x 1 = 1. (2) f(x) = (1 + x 2 )(x + 3), x 0 = 3, x 1 = 1. (3) f(x) = 2 + (1 + x 2 )(x 3), x 0 = 3, x 1 = 1. (4) f(x) = 2 + (1 + x 2 )(x + 3), x 0 = 3, x 1 = 1. 4
5 (5) f(x) = 6(x 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1, x 1 = 2. (6) f(x) = 6(x + 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1, x 1 = 2. (7) f(x) = (x 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1, x 1 = 2. (8) f(x) = (x + 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1, x 1 = 2. (9) f(x) = 3(x 2) (x 2)x 2, x 0 = 2, x 1 = 2. (10) f(x) = 3(x + 2) (x + 2)x 2, x 0 = 2, x 1 = 2. (11) f(x) = (x 2) (x 2)x 2, x 0 = 2, x 1 = 2. (12) f(x) = (x + 2) (x + 2)x 2, x 0 = 2, x 1 = Bestimmen Sie ie allgemeine Gleichung er Geraen, ie en Graphen er Funktion y = y 0 + f(x)(x x 0 ) in en Punkten x = x 0 un x = x 1 schneiet, wobei urch f(x) eine beliebige Funktion bezeichnet wir, ie in en Punkten x = x 0 un x = x 1 eniert ist Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion y = f(x) im Punkt x = x 0. (1) f(x) = (1 + x 2 )(x 3), x 0 = 3. (2) f(x) = (1 + x 2 )(x + 3), x 0 = 3. (3) f(x) = 2 + (1 + x 2 )(x 3), x 0 = 3. (4) f(x) = 2 + (1 + x 2 )(x + 3), x 0 = 3. (5) f(x) = 6(x 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (6) f(x) = 6(x + 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (7) f(x) = (x 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (8) f(x) = (x + 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (9) f(x) = 3(x 2) (x 2)x 2, x 0 = 2. (10) f(x) = 3(x + 2) (x + 2)x 2, x 0 = 2. (11) f(x) = (x 2) (x 2)x 2, x 0 = 2. (12) f(x) = (x + 2) (x + 2)x 2, x 0 = Bestimmen Sie ie allgemeine Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion y = y 0 + f(x)(x x 0 ) im Punkt x = x 0, wobei urch f(x) eine beliebige Funktion bezeichnet wir, essen Graph in einer Umgebung von x 0 eine glatt urchgezogene Linie arstellt Bestimmen Sie in allgemeiner Form ie Steigung er Tangente an en Graphen er Funktion y = f(x) in einem beliebigen Punkt x = x 0. (1) f(x) = 1/(x + 1). (2) f(x) = x 3. Hinweis: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. (3) f(x) = x. Hinweis: a b = (a b)/( a + b). Ableitung un Dierential Bestimmen Sie ie Ableitung y = f (x) un as Dierential y = f(x) er Funktion y = f(x) im Punkt x = 0. (1) f(x) = (1 + x 2 ) x. (2) f(x) = (1 + x) 2 x. (3) f(x) = (1 + x) 2 x. (4) f(x) = 9 + x 2 x. (5) f(x) = [6/(1 + x 2 )] x. (6) f(x) = x 2. (7) f(x) = 3x x 3. (8) f(x) = (a + x) 2 a 2, a R. 5
6 1.36. Bestimmen Sie in allgemeiner Form ie Ableitung y un as Dierential y er Funktion y = f(x)x im Punkt x = 0, wobei urch f(x) eine beliebige Funktion bezeichnet wir, essen Graph in einer Umgebung von x 0 eine glatt urchgezogene Linie arstellt Bestimmen Sie ie Ableitung un as Dierential er Funktion y = f(x) im Punkt x = x 0. (1) f(x) = (1 + x 2 )(x 3), x 0 = 3. (2) f(x) = (1 + x 2 )(x + 3), x 0 = 3. (3) f(x) = 2 + (1 + x 2 )(x 3), x 0 = 3. (4) f(x) = 2 + (1 + x 2 )(x + 3), x 0 = 3. (5) f(x) = 6(x 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (6) f(x) = 6(x + 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (7) f(x) = (x 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (8) f(x) = (x + 1)/(1 + x 2 ), x 0 = 1. (9) f(x) = 3(x 2) (x 2)x 2, x 0 = 2. (10) f(x) = 3(x + 2) (x + 2)x 2, x 0 = 2. (11) f(x) = (x 2) (x 2)x 2, x 0 = 2. (12) f(x) = (x + 2) (x + 2)x 2, x 0 = Bestimmen Sie in allgemeiner Form ie Ableitung un as Dierential er Funktion y = y 0 + f(x)(x x 0 ) im Punkt x = x 0, wobei urch f(x) eine beliebige Funktion bezeichnet wir, essen Graph in einer Umgebung von x 0 eine glatt urchgezogene Linie arstellt Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente an en Graphen er Funktion f(x) im Punkt x = 2. Gegeben ist, ass f(2) = 3 un f(x) = g(x), wobei: (1) g(x) = x. (2) g(x) = 1 + x 2. (3) g(x) = x Bestimmen Sie ie Ableitung un as Dierential er Funktion y = f(x). (1) f(x) = 1. (2) f(x) = x. (3) f(x) = x 2. (4) f(x) = ax 2 + bx + c; a, b, c R. (5) f(x) = 1/x. (6) f(x) = 1/(x + 1). (7) f(x) = x 3. (8) f(x) = x. 2. Stetigkeit. Grenzwert Beispiel einer nicht ierenzierbaren Funktion 2.1. In welchen Punkten ist ie Funktion f(x) nicht ierenzierbar? { (1) f(x) = x 1. x, falls x < 0 (6) (2) f(x) = x 2 f(x) = 1. x 2, falls x 0 (3) f(x) = x 2 { , falls x < 0 (4) f(x) = x 2 2x + 1. (7) f(x) = x 2, falls x 0 (5) f(x) = 1/(x + 1). 6
7 Stetigkeit 2.2. Finen Sie ie Unstetigkeitsstellen er Funktion f(x). { (1) f(x) = x. 0, falls x < 0 (6) f(x) = (2) f(x) = x /x. x, falls x 0 { (3) f(x) = x 1 /(x 2). 1, falls x < 0 (4) f(x) = (x 1)/(x 2 1). (7) f(x) = x 2, falls x 0 (5) f(x) = (x + 1)/(x 2 + 1). Eigenschaften von stetigen Funktionen 2.3. Kann er Liste er stetigen Basisfunktionen mit er Funktion y = x ergänzt weren? 2.4. Drücken Sie f(x) urch ie Basisfunktionen un ihre Umkehrungen mithilfe er vier Arithmetikoperationen aus. (1) f(x) = x. (2) f(x) = x x. (3) f(x) = log x x. (4) f(x) = tan x Ist ie Funktion f(x) in allen Punkten stetig, wo sie eniert ist? (1) f(x) = 1/x. (2) f(x) = x /x. (3) f(x) = x. (4) f(x) = 1/ x Die Funktion f(x) erfüllt ie folgene (Un)gleichungen: x 3 < f(x) < x 2 falls 0 < x < 1, f(x) = 0 falls x = 1, x 3 > f(x) > x 2 falls x > 1. Ist ie Funktion f(x) stetig im Punkt x = 1? 2.7. Ist ie Funktion f(x) = u(x)+v(x) im Punkt x = x 0 stetig, vorausgesetzt ass ie Funktionen u(x) un v(x) ie folgenen Beingungen erfüllen? (1) Beie sin im Punkt x = x 0 stetig. (2) Die eine ist im Punkt x = x 0 stetig, ie anere aber nicht. (3) Beie sin im Punkt x = x 0 nicht stetig Die zwei Funktionen f 1 (x) un f 2 (x) stimmen miteinaner bei x x 0 überein. Folgt araus, ass f 1 (x 0 ) = f 2 (x 0 )? 2.9. Die zwei stetigen Funktionen f 1 (x) un f 2 (x) stimmen miteinaner bei x x 0 überein. Folgt araus, ass f 1 (x 0 ) = f 2 (x 0 )? Grenzwert Beweisen Sie, ass er Grenzwert einer Funktion, falls er existiert, eineutig eniert ist Bestimmen Sie en Grenzwert. (1) lim x 0 x x. (2) lim x 0 x x. 7
8 (3) lim x 1 x 1 x 2 1. (4) lim x 0 x 1 x 2 1. (5) lim x 1 (6) lim x 1 x 1 x 2 1. x + 1 x 2 1. x 2 + x 2 (7) lim. x 1 x 1 x 2 + x 2 (8) lim x 2 x 2 + 3x (9) lim + 1 x x x 1 (10) lim 1 x. x x x 2 (11) lim. x 0 x (x + x) 2 x 2 (12) lim, x R. x 0 x (x + x) 3 x 3 (13) lim, x R. x 0 x ( 1 1 (14) lim x 0 x x + x 1 ), x R. x x + x x (15) lim, x R. x 0 x Einseitige Grenzwerte Bestimmen Sie ie einseitigen Grenzwerte: (1) lim x un lim x 0 x (2) lim x 0 x x. x +0 x un lim x +0 x. (3) lim x 0 x x un lim x +0 x x. (4) lim x x un lim x x. 3. Dierentiation-Regeln 3.1. Gegeben seien ie Funktionen u = u 0 +k u (x x 0 ) un v = v 0 +k v (x x 0 ), wobei k u un k v beliebige reelle Zahlen sin. Drücken Sie explizit ie Variable y = uv urch x aus Gegeben seien ie Funktionen z = z 0 +k z (y y 0 ) un y = y 0 +k y (x x 0 ), wobei k z un k y beliebige reelle Zahlen sin. Drücken Sie explizit ie Variable z urch x aus Beweisen Sie ie Faktor- un Summenregeln, inem Sie ie Eigenschaften er Grenzwerte benutzen Beweisen Sie ie Prouktregel, inem Sie ie Eigenschaften er Grenzwerte benutzen. Hinweis: u 1 v 1 u 0 v 0 = u 1 v 1 u 0 v 1 + u 0 v 1 u 0 v 0 = v 1 (u 1 u 0 ) + u 0 (v 1 v 0 ) Bestimmen Sie as Dierential un ie Ableitung er Funktion f(x) anhan er Prouktregel. Dabei können Sie ie Ergebnisse er vorherigen Aufgaben für ie Lösung er nachfolgenen benutzen. Beachten Sie ie Hinweise am Ene er Aufgabenliste. (1) f(x) = x 2. (2) f(x) = x 3. (3) f(x) = x 4. (4) f(x) = 1/x. (5) f(x) = 1/x 2. (6) f(x) = 1/x 3. Hinweise zu einzelnen Aufgaben. (1) x 2 = x x. (2) x 3 = x 2 x. (4) Dierenzieren Sie beie Seiten von er Ientitätsgleichung 1 = x/x. 8
9 3.6. Berechnen Sie as Dierential er Funktion z = u(y). Machen Sie ann in er erhaltenen Gleichung ie Substitution y = v(x) un y = v(x). Danach ersetzen Sie v(x) urch v (x). Beispiel: gegeben sei z = u(y) = y 2, y = v(x) = x + 1, ann z = 2y y = 2(x + 1) (x + 1) = 2(x + 1). (1) z = y 2, y = x 3. (2) z = y 3, y = x 2. (3) z = y 3, y = x (4) z = 1/y, y = x 2. (5) z = 1/y, y = x 3. (6) z = 1/y, y = x Bestimmen Sie as Dierential un ie Ableitung er Funktion f(x) anhan er Dierentiations-Regeln. Dabei können Sie ie Ergebnisse er vorherigen Aufgaben für ie Lösung er nachfolgenen benutzen. Beachten Sie ie Hinweise am Ene er Aufgabenliste. (1) f(x) = x 6. (2) f(x) = (x 2 + 1) 3. (3) f(x) = (10x 2 100x ) 6. (4) f(x) = x (2x + 1) 2 (5) f(x) = x 2 (2x + 1) 2 (6) f(x) = (x + 1) 3 (2x + 1) 2 (7) f(x) = (x + 1) 3 (x 2 x + 1) 2 (8) f(x) = 1/x 6. (9) f(x) = 1/(x + 1). (10) f(x) = 1/(x 2 + 1). (11) f(x) = 1/(x + 1) 2. (12) f(x) = 1/(3x 2 + 5x + 7). (13) f(x) = 1/(3x 2 + 5x + 7) 2. (14) f(x) = x. (15) f(x) = 3 x. (16) f(x) = 6 x. (17) f(x) = x + 1. (18) f(x) = x (19) f(x) = 4x 2 3x + 2. (20) f(x) = x 2/3. (21) f(x) = (x + 1) 2/3. (22) f(x) = 1/ x. (23) f(x) = 1/ 3 x. (24) f(x) = x 2/3. (25) f(x) = 1/ x + 1. (26) f(x) = 1/ x (27) f(x) = 1/ 7x 2 11x (28) f(x) = (x + 1)/x. (29) f(x) = x/(x + 1). (30) f(x) = (x 1)/(x + 1). (31) f(x) = (x + 1)/(x 1). (32) f(x) = (x + 1)/ x. (33) f(x) = x/(x + 1). (34) f(x) = 1/( x x 1). Hinweise zu einzelnen Aufgaben. (1) x 6 = (x 2 ) 3. (14) Dierenzieren Sie beie Seiten er Ientitätsgleichung x = ( x) 2. (29) x = x (34) Es lohnt sich, iese Funktion zu vereinfachen, bevor man sie ierenziert Nehmen wir an, es gilt: (x n ) = nx n 1, n N. Bestimmen Sie ie Ableitung er folgenen Funktionen. (1) x n+1. (2) x n. (3) x 1/n. (4) x 1/n. (5) x m/n, m Z, m Angenommen, ass ie Ableitungen er ierenzierbaren Funktionen f(x) un g(x) bekannt sin, bestimmen Sie [f(x)/g(x)] Berechnen Sie: (1) x x + 1. (2) x x (3) x x + 1. (4) x x
10 4. Ableitung er Exponential- un Potenzfunktionen Ableitung er Exponentialfunktion a x 4.1. Die Gerae y = x schneiet en Graph er Funktion a x 1 in en Punkten x = x 0 = 0 un x = x 1. Bestimmen Sie a, wenn (1) x 1 = 1. (2) x 1 = 0, 5. (3) x 1 = 0. (4) x 1 = Die Gerae y = 2x schneiet en Graph er Funktion a x 1 in en Punkten x = x 0 = 0 un x = x 1. Bestimmen Sie a, wenn (1) x 1 = 1? (2) x 1 = 0.5? (3) x 1 = 0? 4.3. Bestimmen Sie ie Ableitung er folgenen Funktionen. (1) e x. (2) e 2x2. (3) e x2 +2x+3. (4) x e x. (5) x 2 e x. (6) e x. (7) 1/ e x. (8) e 1/x. (9) 2 x. (10) 2 2x+1. (11) 10 x. (12) 10 x10. (13) (x + 1)e x. (14) x 2 e 6x. (15) (x 6 + 1)e 2x. (16) e 3x /x. (17) e x /x 2. (18) x 2 /e x. (19) (e x + e x )/2. (20) (e x e x )/2. (21) e ex. Ableitung es Logarithmus log a y 4.4. Bestimmen Sie ie Ableitung er folgenen Funktionen. (1) ln x. (2) ln x 2. (3) ln 2x. (4) ln x. (5) ln(x + 1). (6) ln(3x 2 4x + 5). (7) ln(1/x). (8) ln(1/ x). (9) ln(1/ x 2 + 1). (10) 1/ ln x. (11) (ln x) 2. (12) ln x. (13) ln 3 x 3. (14) ln ln x. (15) log 2 x. (16) log 6 6x 6. (17) x ln x (18) x ln 2x (19) (x + 1) ln x (20) (ln x)/x. (21) x/ ln x. (22) e x ln x. (23) e x / ln x. (24) ln x/e x. (25) e 3x ln 2x. (26) x e x ln x. (27) ln(e x + 1). (28) e (ln x)+1. (29) e ln(x+1). (30) e 2x2 ln 2x 2. Ableitung er Potenzfunktion x a 4.5. Bestimmen Sie ie Ableitung er folgenen Funktionen. (1) 2x 5 3x 3 + 5x 5. (2) 3x 10 2x 9 + x 8. (3) (5x 2 1) 100. (4) (x + 1/x) 7. (5) x (x 2 + 1) 5. (6) x 3 ( 5x 5 + 7x 3 + 1). (7) 3 x (x 2 + 1). (8) x(x + 1) (9) 1/ x (10) ( 3 x 2 1) 5 (11) (x 3 + 1) 3/7 (12) (x 3 1) 3/7 (13) (x 5 3)e x. (14) (x 5 3) 2 e x2. (15) e x10. (16) e x 10. (17) e x. (18) ln(x ). (19) ln(5x 4 3x 2 1). (20) ln( x + 1). (21) x x. 10
11 4.6. Berechnen Sie mithilfe er Formel (f/g) = (f g fg )/g 2 (s. Aufgabe 3.9): (1) (2) (3) e x x + 1. e 2x x e 2x x 2 2x + 3. (4) (5) (6) 1 + e x 1 e x. 1 e x 1 + e x. ln x 2x Ableitung trigonometrischer Funktionen Raiant (7) (8) (9) ln x x 2 + x + 1. ln x e x + 1. e x ln x Die Funktion ϕ = f(y) hat ie Form ϕ = f(y)y, wobei f(y) eine stetige Funktion ist, für ie gilt: 1 y2 f(y) 1 1 y 2. Bestimmen Sie ϕ un ϕ bei y = 0. Betrachten Sie anach ie Variable y als Funktion von ϕ un berechnen Sie y un y bei ϕ = Gegeben sei, ass ( x y ) ein Einheitsvektor ist, er en Winkel α mit er x-achse bilet. Bestimmen Sie lim α, wenn (1) α in Vollwinkel ausgerückt wir. (2) α in Gra ausgerückt wir. (3) α in Raiant ausgerückt wir. α 0 y Ableitung von Sinus un Kosinus beim Nullwinkel 5.3. Bestimmen Sie en Quotienten von en Ableitungen es Sinus un es Kosinus, (sin ϕ) /(cos ϕ), bei einem beliebigen Winkel ϕ, inem Sie von er Ientitätsgleichung sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 ausgehen Bestimmen Sie (sin 2ϕ) un (cos 2ϕ) bei ϕ = Welche Werte würen (sin ϕ) un (cos ϕ) bei ϕ = 0 annehmen, wenn (1) er Winkel ϕ in Vollwinkel ausgerückt würe? (2) er Winkel ϕ in Gra ausgerückt würe? (3) ie Drehrichtung im Uhrzeigesinn als positiv gälte? sin ϕ 5.6. Bestimmen Sie en Grenzwert lim ϕ 0 ϕ. Viertelrehung. Ableitung von Kosinus un Sinus für einen willkürlichen Winkel 5.7. Bestimmen Sie ie Koorinaten es zweiimensionalen Vektors b, er um en Winkel π 2 relativ zum Vektor a gereht ist. (1) a = ( 1 0 ). (2) a = ( 0 1 ). (3) a = ( 1 1 ). (4) a = ( 2 5 ). (5) a = ( 3 7 ). (6) a = ( 4 8 ). 11 (7) a = ( cos ϕ sin ϕ ), ϕ R. (8) a = ( sin ϕ cos ϕ ), ϕ R. (9) a = ( cos ϕ sin ϕ ), ϕ R.
12 5.8. Drücken Sie urch sin ϕ oer cos ϕ aus: (1) sin(ϕ + π 2 ). (2) cos(ϕ + π 2 ). (3) sin(ϕ + π). (4) cos(ϕ + π). (5) sin(ϕ + 3π). (7) sin(ϕ π). 2 2 (6) cos(ϕ + 3π). (8) cos(ϕ π) Bestimmen Sie ie Ableitungen (sin ϕ) un (cos ϕ) als Funktionen von ϕ = 0 im hypothetischen Fall, ass (1) er Winkel ϕ in Vollwinkel ausgerückt würe. (2) er Winkel ϕ in Gra ausgerückt würe. (3) ie Drehrichtung im Uhrzeigesinn als positiv gälte Bestimmen Sie ie Ableitung er folgenen Funktionen: (1) sin( x). (2) cos( x). (3) x sin x. (4) x 2 cos(2x + π 2 ). (5) sin(1/x). (6) x cos(1/x). (7) x 2 sin(1/x). (8) cos 2 x 2 + sin 2 x 2. (9) e x cos x. (10) e 3x cos( 2x + π). (11) 1/ sin x. (12) 1/ cos x. (13) cos 3 3x. (14) sin 5 5x 5. Ableitung von Tangens un Kotangens Bestimmen Sie ie Ableitung er folgenen Funktionen: (15) sin(sin x). (16) cos 2 2x + cos 2 (2x + π 2 ). (17) ( 1 2 x2 5) sin x. (18) 1 + cos 2x. (19) e cos x. (20) ln sin x. (21) ln cos x. (1) tan x + cot x. (2) tan(2x + 1). (3) cot x 2. (4) cos x tan x. (5) sin x tan x. (6) tan x cot x. (7) tan x/ cot x. (8) x tan(x/2). (9) x 2 cot(x/3). (10) cot 2 x. (11) e x cot x. (12) ln x cot x. Ableitung von Arkusfunktionen Stellen Sie ie Formeln für ie Ableitungen er Arkusfunktionen auf: (1) arccos x. (2) arcsin x Bestimmen Sie ie Ableitungen von (1) arcsin x 3. (2) 1 5 arctan x 5. (3) arccos x. (4) arcsin x 2. (5) arctan x. Zusätzliche Aufgaben Bestimmen Sie ie Ableitungen von (1) (6) arccot x 2. (7) arcsin 2 x. (8) arccot 2 x. (9) arcsin(1/x). (10) arccos 1 x 2. (3) arctan x. (4) arccot x. 1 n+1 xn+1, n 1. (2) ln[tan(x/2)]. (11) arcsin 1 x. (12) arccos x(2 x). (13) arctan x. (14) arcsin(sin x). (15) arcsin(cos x). 12
13 (3) ln(1/ cos x + tan x). (7) 1 ln[(x 1)/(x + 1)]. 2 (4) ln(1/ sin x + cot x). (5) ln(x + (8) 1 2 ln(x2 + 1). x 2 + 1). (6) ln(x + (9) arccos(1/x). x 2 1). (10) 2 arctan x 1. Hinweis zu Aufgabe (2): 2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ Bestimmen Sie ie Ableitungen nach x von (1) ln(x + x 2 + a 2 ). (6) arcsin x a, a 0. (2) ln(x + x 2 a 2 ), a x. (3) 1 2 ln(x2 + a 2 ). (4) (5) 1 2a ln x a x+a, a 0. 1 x a ln a b x b, a b. (7) 1 a arctan x a, a 0. (8) 1 a arccos a x, a 0. (9) 2 a arctan x a 1, a > 0. 13
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