42.Trigonometrie - Beziehungen

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1 4.Trigonometrie - Beziehungen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen tan = cot = sin cos cos sin Aus 3a erhält man durch einfaches Formelumstellen die Hilfssätze 3b und 3c: 3 a tan cot= 3 b tan = cot 3 c cot= tan Satz 4 ist der Trigonometrische Pythagoras 4a sin + cos = 4b sin= cos 4c cos = sin Aus 5a erhält man durch einfaches Formelumstellen die Hilfssätze 5b und 5c 5 tan cos a = + b = + tan 5 cos 5 c tan cos = cos Aus 6a erhält man durch einfaches Formelumstellen die Hilfssätze 6b und 6c 6 cot sin a = + 6 sin b = + cot 6 c cot sin = sin Mit Satz 7-0 kann man jedes Winkelverhältnis in ein anderes umformen (die Vorzeichen der Wurzeln hängen dabei vom Quadranten ab) tan 7 sin = ± cos ± + tan ± + cot 8 cos = sin cot ± ± + cot ± + tan sin ± cos 9 tan = sin cos cot ± ± sin cos 0 cot = sin tan ± cos

2 4.Trigonometrie - Beziehungen Beweis von Satz sin tan = cos Beweis: Gegenkathete tan = erweitern Ankathete Gegenkathete Hypothenuse tan = Ankathete Hypothenuse Gegenkathete Hypothenuse tan = Hypothenuse Ankathete Hypothenuse tan= sin Ankathete Zähler und Nenner durch "Hypothenuse" teilen tan= sin Ankathete Hypothenuse sin tan= sin = cos cos

3 4.Trigonometrie - Beziehungen Beweis von Satz cot = cos sin cot = Ankathete Gegenkathete Erweitern des Bruches Ankathete Hypothenuse cot = Gegenkathete Hypothenuse Ankathete Hypothenuse cot = Hypothenuse Gegenkathete Hypothenuse cot= cos Gegenkathete Zähler und Nenner durch "Hypothenuse" teilen cot= sin Gegenkathete Hypothenuse cos cot= cos = sin sin

4 4.Trigonometrie - Beziehungen Beweis von Satz 3a-c tan cot= Beweis: sin cos tan cot= = cos sin 3b und 3c folgen direkt aus Satz 3a Beweis von Satz 4 Folgt aus dem normalen Satz des Pythagoras. Beweis von Satz 5 cos tan = + Beweis Satz Satz 4 Bruchrechnung anwenden umgekehrte anwenden Schreibweise sin + cos sin cos + = tan ( ) + = + tan cos cos cos cos Beweis von Satz 6 sin cot = + Beweis Satz 4 Satz anwenden Bruchrechnung anwenden sin + cos sin cos + = + cot sin sin sin sin

5 4.Trigonometrie - Beziehungen Beweis von Satz 8 cos = sin cot sin + cos = + cot + tan Wir erinnern uns an Satz 4 (trigonometrischer Pythagoras): Dann stellen wir Satz 4 nach cos um: cos = sin Wir ersetzen sin durch Formel 6b: sin = + ct o cos = + co t Satz 8a Den Radikanten vereinfachen (auf einen Nenner bringen) und vereinfachen: + cot + cot cot cos = = + cot + cot + cot + cot Dann Wurzelgesetz anwenden: cot cot cos = = cot cot + + S atz 8b Wir ersetzen cot im Zähler und Nenner durch Formel 3c: cot = tan tan cos = tan tan + + tan + tan tan tan tan tan = tan tan benutzen, um tan unter die Wurzel zu brin gen, dann kürzen: cos = + tan + tan + tan tan tan tan tan Satz 8c

6 4.Trigonometrie - Beziehungen Beweis von Satz 7 sin = cos tan sin cos + tan + cot Wir erinnern uns an Satz 4 (trigonometrischer Pythagoras): + = Dann stellen wir Satz 4 nach sin um: sin = cos Satz 7a Wir ersetzen cos durch Formel 5b: sin = + t an = + tan = Den Radikanten vereinfachen (auf einen Nenner bringen) und vereinfachen: + tan + tan ( ) tan sin = = + tan + tan + tan + tan Dann Wurzelgesetz anwenden: cos tan tan sin = = tan tn a + + Satz 7b Wir ersetzen tan im Zähler und Nenner durch Formel 3b: tan = cot sin = = cot + cot + cot cot + cot cot cot cot cot cot= cot benutzen, um cot unter die Wurzel zu bring en, dann kürzen: sin = + cot + cot + cot cot cot cot cot Satz 7c

7 4.Trigonometrie - Beziehungen Beweis von Satz 9 sin cos tan = sin cos cot Satz lautete: sin tan = cos cos ersetzen wird durch Hilfssatz 4c: cos sin = tan = sin sin Satz 9a Um Satz 9b zu beweisen, nehmen wir nochmals Satz : sin tan = cos sin ersetzen wird durch Hilfssatz 4b: sin = cos tan = cos cos Satz 9b Satz 9c haben wir schon bewiesen, er entspricht Hilfssatz 3b: tan = cot Satz 9c

8 4.Trigonometrie - Beziehungen Beweis von Satz 0 sin cos cot = sin cos tan Satz lautete: cos cot = sin cos ersetzen wird durch Hilfssatz 4c: cos sin = cot = sin sin Satz 0a Um Satz 0b zu beweisen, nehmen wir nochmals Satz : cos cot = sin sin ersetzen wird durch Hilfssatz 4b: sin= cos cot = cos cos Satz 0b Satz 0c haben wir schon bewiesen, er entspricht Hilfssatz 3c: cot = tan Satz 0c