Teleskopreihen und -produkte

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1 Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Teleskopreihen und -produkte Aktualisiert: 5 Juli 06 vers 00 Oft kann man Summen und Produkte geschickt umformen, sodass sie eine besonders einfache Struktur erhalten Eine Summe der Form F k + F k heisst Teleskopsumme Natürlich heben sich die meisten Terme weg, sodass der Wert der Summe gleich F n + F ist Analog nennt man ein Produkt der Form n F k + F k ein Teleskopprodukt Sein Wert ist F n + /F Die Schwierigkeit bei der ganzen Sache ist natürlich, einen gegebenen Ausdruck so umzuschreiben, dass er die gewünschte Form erhält Es folgen nun einige Beispiele Beispiel Berechne die Summe n k k! Lösung Es gilt k k! k + k! k +! k! Damit wird die Summe zu k +! k! n +! Beispiel Zeige, dass für jede natürliche Zahl N gilt n > Lösung Die Idee ist, zu faktorisieren Es gilt n N N + + n n N + N > n n n + n Beachte, dass das ursprüngliche Produkt kein Teleskopprodukt ist Erst die Aufspaltung in zwei Teile macht die Berechnung möglich

2 Ein polynomialer Bruch, dessen Nenner das Produkt von zwei Polynomen ist, lässt sich stets als Summe oder eben als Dierenz von zwei einfacheren Brüchen schreiben Dies ist ein Spezialfall der sogenannten Partialbruchzerlegung Diese Beobachtung hilft beim Aunden von Teleskopsummen, wie das nächste etwas schwierigere Beispiel zeigt Beispiel 3 Berechne die Summe 4k 4k 4 + Lösung Der Nenner erinnert an die Identität von Sophie Germain: 4a 4 + b 4 a + ab + b a ab + b Damit erhält man nun 4k 4k 4 + k + k + k k + k + k + k k + k k + k + k + k k + k + k + + n + n + Manche Summen und Produkte, die trigonometrische Ausdrücke enthalten, lassen sich mit dieser Methode ebenfalls berechnen Wichtig ist dabei die Kenntnis der gebräuchlichsten Additionstheoreme und der Summen-zu-Produkt Formeln Beispiel 4 Finde den Wert von cos kx Lösung Ist x mπ für m Z, dann hat die Summe den Wert n Ist x nicht von dieser Form, dann multiplizieren wir die Summe mit sin x/ das ist 0 nach Voraussetzung! und erhalten mit Hilfe der Produkt-zu-Summen Formel für ein Produkt von Sinus und Cosinus sin x cos kx sin sin Die ursprüngliche Summe hat daher den Wert n + k + sinn + x sinx/ x sin x sin x k x

3 Aufgaben Berechne die Summe k!k + k + Sei a, a,, a n eine arithmetische Folge mit Dierenz d Finde den Wert von n a k a k+ 3 Berechne 4 Berechne die Summe k + k + n arctan k + k + 5 Putnam 84 Finde den Wert der unendlichen Summe 6 k 3 k k 3 k+ k+ 6 Beweise die Ungleichung < 00 7 USA 9 Zeige, dass gilt cos 0 cos + cos cos + + cos cos 88 cos 89 sin 8 Berechne die Summe k + k + k k + 9 Zeige, dass gilt > 4 0 Berechne die Summe k k

4 Sei n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl, sodass der Bruch a/π irrational ist Finde den Wert der Summe cos a cos 3a + cos a cos 5a + + cos a cosn + a USA 96 Zeige, dass das arithmetische Mittel der Zahlen n sin n für n, 4, 6,, 80 gleich cot ist 3 Putnam Zeige, dass gilt 4 Berechne das Produkt n 3 n n n Sei F F, F 3, die Fibonaccifolge Berechne die Summe F n0 n 6 Shortlist 0 Seien x,, x n beliebige reelle Zahlen Zeige, dass gilt x + x x + + x + x x n x + x + + x n < n 7 Zeige, dass für jede natürliche Zahl N gilt 8 Berechne den Wert des Produkts n n0 + < n tan k π n + 9 Shortlist 05, A Suppose that a sequence a, a, of positive real a k+ a k ka k + k for every positive integer k Prove thath a + a + + a n n for every n Tipps Siehe Beispiel 4

5 Der Nenner des Bruchs ist ein Produkt, der Bruch lässt sich als Dierenz von zwei einfacheren schreiben vergleiche Beispiel 3 3 Der Wurzelterm lässt sich vereinfachen Danach wie Aufgabe 4 Hier benötigt man das Additionstheorem für den Arcustangens: arctan u ± arctan v arctan u ± v uv, welches aus dem Additionstheorem für den Tangens folgt Beweis? 5 Siehe Beispiel 3 6 Es fehlt die Hälfte der Faktoren für ein Teleskopprodukt Wie könnte man die herzaubern? Wieso steht auf der rechten Seite eine Wurzel? 7 Verwende die Identität sina b cos a cos b tan a tan b 8 Zuerst sollte man den Nenner rationalisieren Das heisst, erweitere so, dass der Nenner rational wird Danach wie Beispiel 3 9 Auch hier fehlt die Hälfte der Summanden Siehe Aufgabe 6 0 Siehe Beispiel 3 Wende erst die Dierenz-zu-Produkt Formel auf die Nenner an Eine Formel wie im Hinweis zu Aufgabe 7 existiert auch für den Cotangens Leite sie her und verwende sie Multipliziere mit sin und verwende die Produkt-zu-Dierenz Formel, um die Summe zu vereinfachen Danach muss man sich an die Symmetrie der Cosinusfunktion erinnern 3 Vergleiche Beispiel 4 Verwende die Identität von Sophie Germain 5 Beweise zuerst mit Induktion die Formel F m F m F m F m m F m, m Verwende sie für m n, n, um die Summe umzuformen 6 Die linke Seite ist keine Teleskopreihe, aber nicht allzuweit davon entfernt Diesen Defekt kann man durch anwenden einer Standardungleichung beheben Beachte die Wurzel rechts 7 Siehe Beispiel 8 Verwende die Doppelwinkelformel für den Tangens 5