Hörsaalübung 3, Analysis II

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani Hörsaalübung 3, Analysis II SoSe 2016, 02/03. Mai Integration II: Partielle Integration Partialbruchzerlegung (PBZ) Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 x a dx = xa+1 a+1 + C a R, a 1 x 1 dx = ln x + C sin(β x)dx = 1 β cos(β x) + C β R, β 1 cos(β x)dx = 1 β sin(β x) + C 1 cos 2 dx = tanx + C x e (β x) dx = 1e(β x) β + C sinhxdx = coshx + C coshxdx = sinhx + C 1 1+x2 dx = arctanx + C 1 1+x2 dx = arctanx + C 1 1 x2 dx = Artanh x + C x < 1 1 dx = arcsinx + C x < 1 1 x2 1 dx = Arsinh x + C 1+x2 dx = Arcosh x + C x > 1 1 x 2 1 2

3 Partielle Integration oder Umkehrung der Produktregel der Differentiation: (f(x) g(x)) = f(x)g (x) + f (x)g(x) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx Beispiele: (x + 1) sin(x) x ln(x)dxdx 3

4 Typische Anwendungsbereiche: Polynom cos/sin/exp/ln/arcsin etc. Produkte aus Exponential /Sinus /Cosinusfunktionen Faustregeln: Polynom cos sin f = Polynom, g = exp cos sin exp Bei Polynom n ten Grades : n-mal partiell integrieren! Polynom arccos arcsin g = Polynom, f = ln arccos arcsin ln cos exp sin sin cos exp 2 mal partiell integrieren 4

5 Beispiel 1: H1a, P1b ln(x 2 + 1)dx = = xln(x 2 + 1) 2 = xln(x 2 + 1) 2 x 2 x dx = xln(x 2 + 1) 2 = xln(x 2 + 1) 2 = xln(x 2 + 1) 2x + 2arctan(x) + C =: F(x) + C 5

6 1 0 ln(x 2 + 1)dx = [ ] 1 xln(x 2 + 1) 2x + 2arctan(x) + C 0 = = 6

7 Beispiel 2: P1a, H1b 1 1 (x 2 x + 1)cos(kπx)dx = (x 2 + 1)cos(kπx)dx x cos(kπx) dx = 2 { [ (x 2 + 1) sin(kπx) kπ ] x sin(kπx) kπ dx } = 2 = = = = 4( 1)k (kπ) 2 7

8 Beispiel 3: H1c, P1c e 2x cos(4x 3)dx = [ e 2x 2 cos(4x 3) ] e 2x ( 4sin(4x 3))dx 2 = e2x 2 cos(4x 3) + 2e 2x sin(4x 3)dx = e2x 2 cos(4x 3) + e2x sin(4x 3) e 2x 4cos(4x 3)dx Es folgt e 2x cos(4x 3)dx = e2x 5 ( 1 2 ) cos(4x 3) + sin(4x 3) + C. 8

9 Beispiel 4: H1d I = sin(3x) cos(5x)dx : Kann man wie Beispiel 3) zwei Mal partiell integrieren: I = sin(3x) cos(5x) dx f(x) = sin(3x), f (x) = cos(3x)3 g (x) = cos(5x) g(x) = sin(5x) 5 I = sin(3x) sin(5x) 5 I = sin(3x) sin(5x) cos(3x) sin(5x) 5 dx cos(3x) sin(5x) dx I = sin(3x) sin(5x) u(x) = cos(3x), u (x) = 3sin(3x) [ cos(3x) cos(5x) 5 v (x) = sin(5x) v(x) = cos(5x) 5 3sin(3x) cos(5x) ] dx 5 9

10 Also I = sin(3x) cos(5x) dx = sin(3x) sin(5x) cos(3x)cos(5x) + 9 sin(3x) cos(5x)dx 25 }{{} I sin(3x) cos(5x)dx = 5 25 sin(3x) sin(5x) cos(3x)cos(5x) + C sin(3x) cos(5x)dx = 5 16 sin(3x) sin(5x) cos(3x)cos(5x) + C 10

11 Alternativ und viel einfacher: Additionstheoreme benutzen: sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) cos(α ± β) = cos(α)cos(β) sin(α)sin(β) sin(α)cos(β) = 1 (sin(α + β) + sin(α β)) 2 sin(α)sin(β) = 1 (cos(α β) cos(α + β)) 2 cos(α)cos(β) = 1 (cos(α β) + cos(α + β)) 2 I = (sin(3x + 5x) + sin(3x 5x)) dx = 1 2 sin(3x) cos(5x)dx = 1 2 (sin(8x) sin(2x)) dx = 1 2 ( cos(8x) 8 + cos(2x) ) 2 + C. 11

12 Integration rationaler Funktionen f(x) = p(x)/q(x) p und q : Polynome mit reellen Koeffizienten Gesucht: Stammfunktion von f. Schritt 1 : Polynomdivision p(x)/q(x) = g(x) + p(x)/q(x) g, p: Polynome und grad(p) < grad(q). BEISPIEL: f(x) = x5 + 8x 3 2x x 2 x 4 + 2x 2 3 x 5 +8x 3 2x x 2 : x 4 + 2x 2 3 = x === =========== f(x) = x + 6x3 2x x 2 x 4 + 2x 2 3 6x 3 2x x 2 Der polynomiale Teil (hier x) kann einfach integriert werden. 12

13 Im folgenden: Integration von f(x) := p(x)/q(x) p, q reelle Polynome, und grad(p) < grad(q). IDEE : Schreibe f als Summe einfacherer Brüche. Die Nenner dieser Brüche müßten dann multiplikative Faktoren von q sein. Zerlege also q in einfachere Faktoren. f(x) = p(x) q(x) = p 1(x) q 1 (x) + p 2(x) q 2 (x) + + p n(x) q n (x) Schritt 2 : Bestimme Nullstellen bzw. quadrat. Faktoren von q BEISPIEL: x 4 + 2x 2 3 = 0 (x 2 1)(x 2 + 3) = 0 (x 1)(x + 1)(x 2 + 3) = 0 = f(x) = p(x) x 4 + 2x 2 3 = p(x) (x 1)(x + 1)(x 2 + 3) 13

14 Schritt 3 : Ansatz für f Kann ich f schreiben als: f(x) = p(x) (x 1)(x + 1)(x 2 + 3) =? x 1 +? x + 1 +? x 2 + 3? Im allgemeinen Fall gehen wir von Grad(p) Grad (q) 1 aus. Bildet man aus den Brüchen rechts wieder einen Bruch mit (dem alten) gemeinsamen Nenner, so sollten im Zähler Polynome bis Grad(q) 1 entstehen können. Daher der Ansatz: f(x) = p(x) (x 1)(x + 1)(x 2 + 3) = a x 1 + b x cx + d x Schritt 4 : Berechnung der Unbekannten im Ansatz für f f(x) = 6x3 2x x 2 x 4 + 2x 2 3 = a x 1 + b x cx + d x Bilde auf der rechten Seite wieder den gemeisamen Nenner: 14

15 f(x) = 6x3 2x x 2 x 4 + 2x 2 3 = a(x + 1)(x2 + 3) + b(x 1)(x 2 + 3) + (cx + d)(x 1)(x + 1) (x 1)(x + 1)(x 2 + 3) Da die Nenner gleich sind, müssen auch die Zähler gleich sein! Also 6x 3 2x 2 +14x 2 = a(x+1)(x 2 +3)+b(x 1)(x 2 +3)+(cx+d)(x 1)(x+1)! 1.Möglichkeit : Zähler ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich 2.Möglichkeit : Einsetzen einfacher Werte, insbesondere Einsetzen der Nullstellen von q. 15

16 6x 3 2x 2 +14x 2! = a(x+1)(x 2 +3)+b(x 1)(x 2 +3)+(cx+d)(x 1)(x+1) x = 1 : = b( 2)(4) = b = 3 x = +1 : = a(2)(4) = a = +2 x = 0 : 2 = (2)(1)(3) + 3( 1)(3) + d( 1) = d = 1 6x 3 = (a + b + c)x 3 = (5 + c)x 3 = c = 1 Es gilt also f(x) = 2 x x x 1 x Schritt 5 : Integration der Bausteine Zwei der Bausteine der Summe können wir sofort integrieren. 1 ln x a + C k = 1. (x a) dx = 1 k + C k N, k 1. (k 1)(x a) k 1 Es bleibt: x 1 x dx 16

17 IDEE : zerlege in einen Logarithmus also h /h Term und einen arctan also 1/(1 + t 2 ) Term x 1 x dx = 1 2x 2 2 x dx = 1 2xdx 2 x = ln(x2 + 3) 3(1 + x2 3 )dx 3dy 1 x dx = 1 2 ln(x2 + 3) y 2 = 1 2 ln(x2 + 3) f(x)dx = 3 3 arctany + C. ( 2 x x x 1 ) dx x = 2ln x 1 + 3ln x ln(x2 + 3) 3 3 arctan( x 3 ) + C. Methode übertragbar auf beliebige Nenner mit einfachen Nullstellen. 17

18 Mehrfache Nullstellen des Nenners: Doppelte Nullstelle: f(x) = q(x) Im Ansatz Term bzw. Summand: ax + b (x x 0 ) 2 Zum integrieren: zerlege Zähler in a(x x 0 ) + (b + ax 0 ) ax + b (x x 0 ) = a(x x 0) 2 (x x 0 ) + b + ax 0 2 (x x 0 ) = a 2 (x x 0 ) + b + ax 0 (x x 0 ) 2 Unser Ansatz führt bei der Integration also auf ax + b (x x 0 ) 2 = c 1 (x x 0 ) 1 + c 2 (x x 0 ) 2 Also wähle doch gleich die rechte Seite als Ansatz bei doppelter Nullstelle 18

19 Beispiel für Dreifache Nullstelle : 4x 3 + 7x 2 + 3x + 1 I = f(x)dx = x(x + 1) 3 Ansatz f(x) = αx2 + βx + γ (x + 1) 3 + δ x ( ) Führt zu f(x) = 3x2 + 4x (x + 1) x Integration von 3x2 + 4x (x + 1) 3 Zerlege Zähler in a(x + 1) 2 + b(x + 1) + c 3x 2 + 4x = 3(x + 1) 2 2(x + 1) 1 Integriere: = 3(x + 1) 2 3x 2 + 4x (x + 1) 3 dx = 3(x + 1) 2 2(x + 1) 1 (x + 1) 3 dx 2(x + 1) + (x + 1) 3 (x + 1) 1 3 (x + 1) 3dx = 3 (x + 1) (x + 1) 1 2 (x + 1) 3dx 19

20 Also am Ende: f(x) = a (x x 0 ) + b (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) 3 Dann mache doch gleich diesen Ansatz statt (*)! Also in unserem Beispiel mit x 0 = 1 gleich der Ansatz f(x) = a (x x 0 ) + b (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) x Analoger Ansatz bei k-fachen reellen Nullstellen = entstehende Summanden haben die Form c m (x x 0 ) m und können direkt integriert werden. 20

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22 Zusammenfassung: Integration beliebiger rationaler Funktionen Schritt 1 : Falls Zählergrad Nennergrad: Polynomdivision. Wir befassen uns im folgenden mit der Integration von f(x) := p(x)/q(x) p, q reelle Polynome, und grad(p) < grad(q). Schritt 2 : Zerlegung von q in Linearfaktoren und quadratische Faktoren. Bestimme alle Nullstellen von q. Schritt 3 : Ansatz Schreibe für jede m fache reelle Nullstelle n folgende Terme in die angesetzte Summe: a 1 (x n) 1 + a 2 (x n) a m (x n) m Schreibe für jedes m fache Paar komplexer Nullstellen z k, z k mit (x z)(x z) = (x 2 + αx + β) folgende Terme in die angesetzte Summe: 21

23 b 1 x + c 1 (x 2 + αx + β) 1 + b 2 x + c 2 (x 2 + αx + β) b m x + c m (x 2 + αx + β) m. Beispiel: f(x) = p(x) x 5 2x 4 + 2x 3 2x 2 + x = p(x) x (x 1) 2 (x 2 + 1) Ansatz: f(x) = ã 1 (x 0) 1 + a 1 (x 1) 1 + a 2 (x 1) 2 + b 1x + c 1 (x 2 + 1) 1 Schritt 4 : Berechnung der Unbekannten im Ansatz für f Um die noch freien Parameter in der Darstellung für f zu bestimmen, bringt man wieder alles auf einen (den alten) gemeinsamen Nenner und löst durch Koeffizientenvergleich oder Einsetzen bestimmter Werte. In unserem Beispiel Schritt 5 : Integration der Bausteine 22

24 Noch ein Beispiel: 5x f(x)dx = (x 1) 2 (2x 2 + 4x + 4) dx = 1 2 Ansatz: 5x (x 1) 2 (x 2 + 2x + 2) dx 5x (x 1) 2 (x 2 + 2x + 2) = a x 1 + b (x 1) + cx + d 2 (x + 1) a(x 1)(x 2 + 2x + 2) + b(x 2 + 2x + 2) + (cx + d)(x 1) 2 = 5x Einsetzen x = 1 liefert 5 = 5b = b = 1 Ausmultiplizieren und nach x Potenzen sortieren liefert: 23

25 (a+c)x 3 + (a+1 2c+d)x 2 + (2a 2a+2+c 2d)x + ( 2a+2+d) = 5x Also c = a, d = 1 3a, 2 2a 1 3a = 0 und damit a = 1 5, c = 1 5, d = 8 5 f(x)dx = 1 10 ( ) 1 x (x 1) x x 2 + 2x + 2 dx 24

26 = 1 10 ( ln x 1 5 x x + 2 x 2 + 2x + 2 dx ) 7 (x + 1) dx = 1 10 = 1 10 ( ln x 1 5 ) x ln(x2 + 2x + 2) 7arctan(x + 1) ( ln x 1 5 ) x ln(x2 + 2x + 2) 7arctan(x + 1) + C. + C. 25