Hörsaalübung 5, Analysis II

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr.H.P.Kiani Hörsaalübung 5, Analysis II SoSe 8, 4./ 5. Juni Rotationskörper und Kurvenintegrale Die ins Netz gestellten Kopien der Unterlagen sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 x a dx = xa+ a+ + C a R, a x dx = ln x + C sin(β x) dx = β cos(β x) +C β R, β cos(β x) dx = β sin(β x) +C β R, β cos dx = tanx + C x e (β x) dx = e(β x) β + C β R, β sinh xdx = coshx + C cosh xdx = sinhx + C +x dx = arctan x + C x dx = Artanh x + C x < dx x = arcsinx + C x < dx = Arsinh x + C = ln(x + +x ) +x dx = Arcosh x + C x > x

3 Volumen von Rotationskörpern Sei K der Körper K der durch Rotation des Graphens der Funktion f : [a, b] R + {}, f(x) =y um die x-achse entsteht. Zur Volumenberechnung zerlegen wir [a, b] in Teilintervalle Z : a = x < x < x < x n = b. und schneiden den Körper mit Ebenen durch x i, parallel zur y z Ebene Abbildung : Rotation von f(x) = x sin(x) um die x-achse 3

4 Es entstehen Kreisscheiben mit den Flächeninhalten Q(x) = π (f(x i )) Approximiere den Körper, der zwischen der Mantelfläche und der x-achse entsteht, durch Zylinderscheiben parallel zur y z Ebene, mit den Radien f(x i ) und der Höhen x i x i. V V n := n i= π ( f(x i )) (x i x i ) Ist f integrierbar, so konvergiert V n bei gegen Null konvergierenden Feinheiten der Zerlegungen gegen das Volumen des Rotationskörpers und die Summen konvergieren gegen ein Integral. Nämlich gegen V = π b a ( f(x)) dx. 4

5 Beispiel: Rotation der oberen Hälfte der Ellipse x a + y b =, a,b > um die x-achse. Volumen des Rotationsellipsoids x a + y b + z b =, a,b >. Rotiere y = f(x) =b x a, a x a. V = π a a b [ = πb x x a ] a x3 3a dx = πb a = 4 3 πab a ( x a ) dx 5

6 3 z=sin(x pi/) Mantelflächen von Rotationskörpern Betrachte Körper K dessen Mantelfläche durch Rotation des Graphens einer Funktion f :[a, b] R + {}, f(x) =y um die x-achse entsteht. Schneide den Körper mit Ebenen parallel zur y z Ebene und approximiere Mantelfläche Mantelflächen von Kegelstümpfen. 6

7 Exkurs: Mantelflächen von Kegelstümpfen l h l r 5 l =l l h r Für die Mantelfläche M K eines Kegels gilt: M K πl = πr πl = r l = M k = πr l. Für den Kegelstumpf gilt M = πr l πr l. Strahlensätze: r r = l l oder r l = r l und damit für die Mantelfläche des Kegelstumpfes: M = πr l πr l = πr l +πr l πr l πr l = πl (r +r ) πr l πr l = π(l l )(r + r ) = πl(r + r ). 7

8 Für unseren Rotationskörper gilt (Beweisidee für hinreichend glattes f) x i- x i 8

9 li =(x i x i ) +(f(x i ) f(x i )) ( =(x i x i ) [+ )] (f(x i ) f(x i ) x i x i =(x i x i )) ( +(f (ξ i )) ) M n i= π (f(x i )+f(x i )) +(f (ξ i )) (x i x i ) Für Feinheit der Zerlegung im Falle der Konvergenz: M = b a πf(x) +(f (x)) dx 9

10 Beispiel: Rotation des Graphen von f :[, π ] R, f(x) =sinx um die x-achse M = b a Substitution: u := πf(x) +(f (x)) dx =π du dx = π sin(x) +cos (x) dx. Liefert M = π

11 Partielle Integration mit h (u) =,g(u) = +u =(+u ),g (u) = +u du = u +u u u du +u = u +u u + +u du = u +u u + du + +u +u du = u +u +u du + +u du Substutution t = sinh(u), dt=cosh(u) du (nützlich in Hc)

12 Also +u du = u +u + Arsinh(u)+C = u +u +ln(u + +u )+C +u du = = ( u ) +u + Arsinh (u) +C ( u +u +ln(u + ) +u )+C Dieses integral kann ab jetzt als bekannt vorausgesetzt werden. Für unsere Mantelfläche folgt damit M = π [ u +u +ln(u + ] ( +u ) = π ) +ln(+ ) Bemerkung: Das war kein besonders doofes Beispiel. Mantelflächen sind meistens so fies!

13 Kurven und Bogenlängen Zum Beispiel: Bahn eines Teilchens. Ort x(t) des Teilchens zum Zeitpunkt t [a, b]: c :[a, b] R 3 c (t) x (t), c(t) = c (t) = x (t) = x(t) c 3 (t) x 3 (t) Geschwindigkeit: ċ :[a, b] R 3 ċ (t) ẋ (t), ċ(t) = ċ (t) = ẋ (t) ċ 3 (t) ẋ 3 (t) Definition: Eine stetige Funktion c :[a, b] R n heißt (Parameterdarstellung einer) Kurve im R n mit Anfangspunkt c(a) und Endpunkt c(b). 3

14 Die Kurve heißt geschlossen, wenn c(a) =c(b) gilt. c heißt Stückweise C Kurve, falls es eine Zerlegung von [a, b] gibt, so dass jede Komponentenfunktion c i,i=,,nauf jedem Teilintervall der Zerlegung, stetig differenzierbar ist. ċ (t) Eine C ċ Kurve heißt glatt, wenn ċ(t) = (t).. ċ n (t) 4

15 BEISPIELE: a) c :[, ] R 3, c(t) =A + t(b A) T A B R 3 fest. (geradlinige Verbindung von A und B) b) c :[, π] R, c(t) =(r cos(t), rsin(t)) T 5

16 c) c :[, π] R, c(t) =(acos t, b sin t) T d) c :[, 4π] R, c(t) =(acos t, b sin t) T e) c :[,π] R, c(t) =(acos(t), bsin(t)) T f) c :[, π] R, c(t) =(acos( t), bsin( t)) T Geschwindigkeit, Umlaufsinn, Anzahl der Durchläufe 6

17 g) c :[, ] R, c(t) =(t 3,t ) T (Kuspe) h) c :[, π] R, c(t) =(rt a sin t, r a cos t) T (Zykloide) i) c :[, π] R 3, c(t) =(r cos(t), rsin(t), t) T (Schraubenlinie mit Radius r, Ganghöhe π und 6 Windungen) Kuspe:(t 3,t ) Zykloide:(t sin t, cos t) Abbildung : Kuspe, Zykloide, Schraubenlinie mit 6 Windungen 7

18 j) Plotten in Matlab: D z.b. Kuspe t=-:.5:; % oder linspace(-,,4); plot(t.^3,t.^) 3D z.b. Schraubenlinie mit r =4 t=:.:*pi*6; plot3(4.*cos(t)./9,4.*sin(t)./9,t./3) 8

19 Kurvenlänge: Approximiere Kurve durch Polygonzug durch c(t i ),i=,,,m Länge des Polygonzugs: l(z) = m i= c(t i ) c(t i ) Für jede C Kurve gilt unabhängig von der Parametrisierung L(c) = b a ċ(t) dt. 9

20 Beispiel : Länge von c :[, 5] R 3, cos(πt) c(t) := sin(πt) = ċ(t) = π t 5 5 ċ(t) = L(c) = b a ċ(t) dt Radius, Anzahl Windungen, Ganghöhe:

21 5 5 Beispiel : c :[, π] R 3, c(t) := cos(t ) sin(t ) = ċ(t) = t t sin(t ) t cos(t ) ċ(t) =4t sin (t )+ 4t cos (t )+4=

22 L(c) = = π 4+4t dt = π [ t +t +ln(t + +t ) +t dt ] π siehe Seite - =π +4π +ln(π + +4π )

23 Definition: Sei c :[a, b] D, D R n, Kurve und f : D R eine skalare Abbildung. Dann ist das Kurvenintegral von f über c definiert durch fds := c c f(x) ds := b a f(c(t)) ċ(t) dt = b a f(x(t)) ẋ(t) dt. Beispiele: A) Länge: f(c(t)) = = c fds= Bogenlänge der Kurve, B) Masse: f(c(t)) = ρ(c(t)) = Dichte (Masse pro Längeneinheit) b = M =: fds= ρ(c(t)) ċ(t) dt c = Masse der Kurve (z.b. Drahtstück). a 3

24 Herleitung: Kurve Polygonzug, Dichte auf [c(t i ), c(t i )] ρ(c(t i )). Das Stück [c(t i ), c(t i )] hat die Masse: M i ρ(c(t i )) c(t i ) c(t i ). m m Gesamtmasse: M := M i = ρ(c(t i )) c(t i ) c(t i i= i= C) Trägheitsmoment Rotiert ein Massepunkt der Masse m im Abstand r mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse A, so gilt für die kinetische Energie E = mv = mr ω = θ A ω 4

25 θ A heißt Trägheitsmoment von m bezüglich A: k System von k Punkten: θ A = m i ri i= Trägheitsmoment des Massebelgten Drahtes θ A = c ρ(x)r (x) ds = b a ρ(c(t))(r(c(t))) ċ(t) dt. 5

26 Beispiel 3 Draht: c :[, ln(5)] R 3, c(t) := cos(t) sin(t) e t e t e t Massendichte (Masse pro Länge) = ρ(c(t)) := e t 5. Zu berechnen: Länge und Trägheitsmoment bzgl. der z Achse. Lösung: c(t) :=e t (cos(t), sin(t), ) T ċ(t) = 6

27 a) Die Länge des Drahtes ċ(t) = e t cos(t) sin(t) + e t sin(t) cos(t) = e t cos(t) sin(t) sin(t)+cos(t) ċ(t) = e t (cos(t) sin(t)) +(sin(t)+cos(t)) + L(c) = ln(5) e t dt = e t ln(5) =4. 7

28 b) Trägheitsmoment bzgl. der z Achse Masse = M = ln(5) ρ(c(t)) ċ(t) dt = ln(5) e t 5 e t dt Abstand zur Achse: r(t) = c (t) + c (t) = e t θ z Achse = = ln(5) ln(5) ρ(c(t)) (r(t)) ċ(t) dt ( ). e 5 t e t t e dt =4 8

29 Beispiel 4: Gegeben seien die Kurve c :[, π] R 3 c(t) := cos(t ) sin(t ) t und die Funktion f : R 3 R, f(x, y, z) =(x + y ) z. Berechnen Sie das Kurvenintegral von f längs c. Zu berechnen ist: b a f(c(t)) ċ(t) dt Wie in Beispiel : ċ(t) = ( t sin(t ), t cos(t ), ) ċ(t) =4t sin (t )+ 4t cos (t )+4= 4+4t 9

30 f(c(t)) =? f(x, y, z) = (x + y ) z 3