Anleitung 6 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 20 Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung 6 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Cauchy Integralformeln, Taylor-Reihen, Singularitäten, Laurent-Reihen Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 2 Wichtig: Für die gesamte Anleitung gilt, sofern nicht ausdrücklich anders vermerkt: D C zusammenhägnedes Gebiet, C stückweise C Kurve in D, f : D C holomorph. **************************************************************** Wir hatten bereits: Cauchyscher Integralsatz (CIS) : D einfach zusammenhängend und C geschlossen : Einfach zusammenhängend: D hat keine Löcher C f(z) dz = 0. Homotopie: Sind C und C zwei geschlossene, in D homotope (d.h. stetig und ohne Aufschneiden ineinander verformbare) stückweise C Kurven, dann gilt f(z) dz = f(z) dz C Für jede geschlossene Kurve Γ,und jedes z 0 / Γ gilt { (z z 0 ) n Uml(C, z 0 ) 2πi n = dz, = 0 n Z, n Γ Cauchyschen Integralformeln (CIF): Seien f, D wie oben vereinbart, C : [a, b] D \ {z 0 } geschlossen, z 0 homotop, stkw. C, Uml (C, z 0 ) = Dann gilt f(z 0 ) = 2πi f (n) (z 0 ) = n! 2πi C C C f(z) z z 0 dz (CIF I) f(z) dz (CIF II) (z z 0 ) n+ Falls k = Uml(C, z 0 ) erhält man auf der linken Seite noch den Faktor k.

3 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 3 Beispiel A: C k = { z C : z = re iφ, r = k, φ [0, 2π] }. e z dz = (z 3) n+ C C 3 C 4 e z dz = (z 3) n+ e z 2πi dz = 4 (z 3) n+ n! Beispiel B: Zu berechnen sei (2z + 4i) cos(iπz) dz (z i) 2 (z + 2) C k (e z ) (n) 3 = 2πi n! ( ) n e 3. mit C k : z = k, k =, 2, 3, 4, Uml(C k, ) =. C (2z + 4i) cos(iπz) (z i) 2 (z + 2) dz = C 2 (2z + 4i) cos(iπz) (z i) 2 (z + 2) dz = C 2 (2z + 4i) cos(iπz) (z + 2) (z i) 2 dz ( (2z + 4i) cos(iπz) = 2πi (z + 2) ) z=i ( ) ( 2(i + 2) (2i + 4i)( ) = 2πi = 2πi. (i + 2) 2

4 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 4 C 3 C 4 (2z + 4i) cos(iπz) (z i) 2 (z + 2) (2z + 4i) cos(iπz) (z i) 2 (z + 2) dz : dz : Partialbruchzerlegung liefert: (2z + 4i) (z i) 2 (z + ) = az + b (z i) + c 2 z + 2 = C 4 ( z 2i cos(iπz) (z i) ) 2 z + 2 dz = z 2i (z i) 2 z + 2 = 2πi ( (cos(iπz)(z 2i)) z=i (cos(iπz)) z=2) = 2πi( cos(2πi)).

5 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 5 Taylor-Reihen Wie schon in R gilt T (z; f, z 0 ) = a n (z z 0 ) n = n=0 a n = 2πi C n=0 f (n) (z 0 ) n! f(z) dz (z z 0 ) n+ (z z 0 ) n. wobei C den Punkt z 0 ein Mal positiv umläuft. Die Reihe konvergiert im größten Kreis um z 0 in dem f analytisch ist gegen f. Beispiel a) Seien z 0, a, b komplexe Zahlen. Die Taylor-Reihe der Funktion f : z a z b mit Entwicklungspunkt z 0 hat den Konvergenzradius z 0 b. Für z = b = z 0 (z 0 b) liegt ein Pol der Funktion f vor. Verwende geometrische Reihe: Ziel (z z 0 ) Potenzen! a f(z) = (z z 0 ) + (z 0 b) = a ( (z 0 b) z z ) 0 b z 0 a = z 0 b a ( ) k z z0 z z = 0 z 0 b b z 0 b z 0 Konvergenz liegt vor für z z 0 b z 0 < also z z 0 < b z 0 = r. Der satz aus der Vorlesung besagt, dass die Reihe in diesem Kreis nicht gegen irgendwas, sondern gegen f konvergiert. Beispiel b) Die Taylor-Reihe der Funktion zum Entwicklungspunkt z 0 = i f : C \ R C, f(z) = ln(z), g(z) = f (z) = z = (z (i )) + i = ( ) z (i ) (i ) + i Für z (i ) i <, also z z 0 < 2 erhält man

6 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 6 g(z) = (i ) ( und für f(z) folgt dann ) k z (i ) = i T f (z; + i) = f(z 0 ) + = ln( + i) + Die Reihe konvergiert für z z 0 < 2. ( ) k (i ) k+ (z (i ))k = f (z). ( ) k (z (i ))k+ (k + )(i ) k+ k= ( ) k (z (i ))k k(i ) k Sie konvergiert aber sicher nicht in der ganzen Kreisscheibe mit Radius 2 um z 0 = +i gegen f(z) = ln(z). Warum? Konvergenz gegen f liegt für z z 0 < vor. Warum? Beispiel c) Die Taylor-Reihe der Funktion f : z z cos(z) sin(z) 2 mit Entwicklungspunkt z 0 = 0 konvergiert im größten Kreis um Null, in dem sin(z) 2 gilt gegen f. sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) = 2 = cos(x) = 0 x k = kπ + π 2, k Z sin(x k ) cosh(y) = 2 k = 2l, l Z, y = Arcosh(2) =.37 Die Reihe konvergiert im Kreis mit Radius r = (.37 ) 2 + (π/2) 2 gegen f. Man muss also die Reihe nicht berechnen, um den Konvergenzradius zu erhalten!

7 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 7 Singularitäten, Laurent-Reihen Häufig sind Funktionen nur in einzelnen Punkten (isolierte Singularitäten) nicht analytisch. Beispiel: Potential/elektrisches Feld einer Ladung Q im Punkt z 0 : Φ(z) = k Q k Q, E(z) = gradφ(z) = z z 0 z z 0 (z z 0) 3 Wie verhalten sich die Funktionen in der Nähe solcher Punkte? Seien: G C, f : G C holomorph in G. D := {z C : r < z z 0 < R} G Dann kann f in D in eine Laurent-Reihe entwickelt werden: f(z) = k= a n (z z 0 ) n, a n = 2πi C f(z) dz (z z 0 ) n+ wobei C irgendeine geschlossene, positiv orientierte, in D verlaufende Kurve mit Uml(C, z 0 ) = sein darf. Die Reihe konvergiert im größten Ringgebiet G gegen f. Die Reihe ist bei vorgegebenem Ring eindeutig. Ziel ist NICHT die Koeffizienten über die Integrale zu rechnen sondern umgekehrt. Die Koeff berechnet man z.b. mit Ist bekannten Reihen (z.b. bei (cos(z) + z 2 )/z 5 Bsp. g unten) geometrische Rihe (Bsp a,b oben, d,e unten) Ableitungen, Integrale (Bsp. b oben, Bsp f unten) k= zu f, so heißt a n (z z 0 ) n die im Ring 0 < z z 0 < R konvergente Laurent-Reihe a = f(z) dz =: Resf(z 0 ) 2πi C das Residuum von f an der Stelle z 0. Schreibweise: Resf(z 0 ) = Resf(z) z=z0 = Res(f; z 0 ).

8 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 8 Beispiel d: Geometrische Reihe Gegeben Sei f(z) :=. Die Funktion hat eine Definitionslücke (isolierte Singularität) in z = w und Gesucht ist: Entwicklung um z 0 w z w. Die Funktion ist analytisch in jedem der Ringe: R : 0 z z 0 < z 0 w R 2 : z 0 w < z z 0 < In R gilt wie im Beispiel b) zu Taylor-Reihen: (z z 0 ) (w z 0 ) = (z 0 w) z z 0 w z 0 = Laurent-Reihe = Taylor-Reihe, a k = 0 k < 0. z 0 w ( ) k z z0 = w z 0 (z z 0 ) k (w z 0 ) k+. In R 2 gilt z 0 w < z z 0. Damit wir eine konvergente geometrische Reihe erhalten teilen wir hier im. Schritt durch (z z 0 ). (z z 0 ) (w z 0 ) = (z z 0 ) = z z 0 ( w z 0 z z 0 ( w z0 z z 0 ) ) k = (w z 0 ) k (z z 0 ) k+ = k= (z z 0 ) k (w z 0 ) k+. Fragen: In R gilt a = 0, In R 2 gilt a =. Welcher Wert ist Resf(z 0 )? Oben wurde vorausgesetzt: z 0 w. Wie lautet die Laurent-Reihe für z 0 = w? Polynom höheren Grades im Nenner: verschiedene Nullstellen: PBZ und Behandlung der einzelnen Summanden. Z.B. z 0 = 0, 0 < a < b und f(z) = (z a)(z b) PBZ liefert f(z) = c z a + k z b Die Funktion ist in den Ringen R : 0 < z < a, R 2 : a < z < b, R 3 : b < z analytisch. Es gibt drei verschiedene Laurent-Reihen. Will man z.b. die Reihe, die für z = 0.5( a + b ) gegen f(z) konvergiert, muss man im Mittleren Ring rechnen. Ist man dagegen an Konvergenz für z = a/2 interessiert, berechnet man die Reihe in innersten Ring R.

9 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 9 (z + 3)2 Beispiel e: f(z) = z 2 + 6z + 8, z 0 = 0. Gesucht sei diejenige Laurent-Reihe, die für ẑ = 3 gegen f(ẑ) konvergiert.. Schritt: Nullstellen vom Nenner bestimmen: (z + 3) 2 z 2 + 6z + 8 = (z + 3) 2 (z + 2)(z + 4) f ist nicht definiert (hat isolierte Singularitäten) in z = 2 und z = 4. Sonst ist f analytisch. Wir betrachten die Funktion also auf dem Ring R 2 : 2 < z < 4. 2.Schritt: Evtl. Polynomdivision, Ausklammern etc. und PBZ f(z) = + (z + 2)(z + 4) = + 2 ( z + 2 z + 4 Zunächst bestimmen wir die Entwicklungen der einzelnen Terme: ) z > 2 : z + 2 = z < 4 : z + 4 Damit erhalten wir die folgende Entwicklung der Funktion f im Ring 2 < z < 4 : f(z) = k= ( 2) k 2 z k + 8 ( ) k 2 4 k= k+ zk

10 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 0 Mehrfache Nullstellen: PBZ, Eventuell Reihen der Ableitungsfunktionen Beispiel f: Z.B. z 0 = 0, 0 < a und f(z) = (z a) 2 Berechne erst die Reihe für g(z) = im gewünschten Ring (z a) 0 z < a bzw. a < z. Leite anschließend die Reihe ab. Ausblick: Integralberechnung über Laurent-Reihen Beispiel g: Sei C eine geschlossene Kurve, die Null einmal positiv umläuft. Die Funktion cos(z) + z2 f(z) = hat eine isolierte Singularität in z z 5 0 = 0. Es gilt a = Resf(0) = f(z) dz 2πi C Andererseits Also gilt f(z) = + z2 + z2 2! + z4 4! z6 6! ± z 5 = 2!z 3 + 4!z z 6! + z3 8! Isolierte Singularitäten C z 2 + cos(z) z 5 dz = 2πi 4!. z 0 C heißt isolierte Singulartät der analytischen Funktion f : G C, wenn eine punktierte Umgebung von z 0 zu G gehört, nicht aber z 0 selbst: 0 < z z 0 < r G, z 0 / G, r > 0. Beispiele: 0 und sind isolierte Singularitäten der Funktion f(z) := z z 2 (z ). - ist keine isolierte Singularität von f(z) := ln(z).

11 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) Klassifikation Sei z 0 isolierte Singulartät von f. Dann kann f in 0 < z z 0 < r in eine Laurent-Reihe entwickelt werden: f(z) = a k (z z 0 ) k. k= z 0 heißt hebbare Singularität a k = 0 k < 0. z 0 heißt Pol m-ter Ordnung mit m N a m 0, a k = 0 k < m. Die Laurent-Reihe hat also die Form a m (z z 0 ) m + a m+ (z z 0 ) m + + a (z z 0 ) + a k (z z 0 ) k z 0 heißt wesentliche Singularität a k 0 für unendlich viele k < 0. Beispiel ) f(z) := z(z 2 + 4) Die Funktion hat in den Nennernullstellen 0, 2i, 2i isolierte Singularitäten. Zur Klassifikation gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten.. Möglichkeit: Reihe berechnen. Für z 0 = 0, z < 2 gilt f(z) = z 4 ( ( z2 )) = 4z 4 ( ) k z 2k = 4 k ( ) k 4 k+ z2k = 4z + k= ( ) k z2k 4k+ } {{ } positive Potenzen z 0 = 0 ist also Pol erster Ordnung. 2. Möglichkeit: Reihe wird nicht berechnet f(z) = z 4( + z2 4 ) }{{} g(z) g(z) ist holomorph (analytisch) nahe z 0 = 0 und kann in eine Taylor-Reihe g(z) = g(z 0 ) + k= g (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k entwickelt werden. Damit ist f nahe z 0 f(z) = g(0) z + gegeben durch k= g (k) (0) k! (z 0) k Wegen g(0) = /4 0 ist die niedrigste in der Reihe vorkommende Potenz von (z 0) also -.

12 Komplexe Funktionen, SoSe 20, Anleitung 6, , ( Kiani) 2 ACHTUNG: Für z > 2 erhält man ( ) f(z) = z z ( ) =... = z 2 = ( 4) k z 2k also unendlich viele Terme mit negativen Potenzen! Frage: Liegt also doch eine wesentliche Singularität in z 0 = 0 vor? Beispiel 2) f(z) := sin(z) z 4 = hat f einen Pol 4. Ordnung in z 0 = 0? Beispiel 3) f(z) := e z+3 hat eine isolierte Singuarität in z 0 = 3. f(z) = ( ) k k! = + z + 3 k= (z ( 3))k ( k)! In z 0 = 3 liegt eine wesentliche Singularität vor. Beispiel 4) f(z) := z + 2i (z 2 + )(z 2 + 4)