Residuen II. Residuen III. Beispiel. Beispiel. f (z) = 1 + z 2. gilt nach 2) , Res (f ; i) = Res (f ; i) = 1 = 1. Die Funktion

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Thilo Fiedler
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1 Residuen II Komplexe Partialbruchzerlegung, Residuensatz Für gilt nach 2) Res (f ; i) = 1 2z = 1 z=i 2i f (z) = z 2, Res (f ; i) = 1 2z = 1 z= i 2i Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 Residuen III Die Funktion f (z) = Komplexe Partialbruchzerlegung, Residuensatz e iz z(z 2 + 1) 2 hat bei z 0 = i einen Pol zweiter Ordnung. Nach dem letzten Satz, Teil 3), gilt Res (f ; i) = g (i) = 3 4e wobei die Funktion g(z) aufgrund der Darstellung durch f (z) = g(z) = e iz z(z + i) 2 (z i) 2 e iz z(z + i) 2 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 gegeben ist.

2 Satz Sei r(x) = p(x)/q(x) eine rationale Funktion, die keine Singularitäten auf R besitzt, und es gelte grad (q) grad(p) + 2. Dann gilt r(x)dx = 2πi Im z>0 Res (R; z). Beweis Wegen grad (q) grad(p) + 2 existiert nach dem Majorantenkriterium das oben stehende uneigentliche Integrale, denn für x 1 gilt p(x) q(x) c x 2. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 II Beweis Wir approximieren jetzt das uneigentliche reelle Integral durch ein komplexes Integral entlang einer Kurve. Wir wählen die Kurve wie folgt: Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198

3 Beweis des Residuensatzes Beweis (Forstsetzung) Ist r hinreichend groß, so liegen alle Singularitäten z k von r(z) mit strikt positivem Imaginärteil innerhalb der Kurve c 1 + c 2. Daraus folgt 2πi Res (R; z k ) = r(z)dz = r(z)dz + r(z)dz. Im z k >0 c 1 +c 2 c 1 Nun gilt c 2 r(z)dz = c 1 r r r(z)dz r(z)dz (r ). Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 Beweis des Residuensatzes II Beweis (Forstsetzung) Weiter berechnet man r(z)dz max z =r c 2 r(z) πr πr c r 2 0 (r ). Daraus folgt die Behauptung unmittelbar. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198

4 Integralberechnung mit Residuensatz Wir untersuchen das uneigentliche Integral dx 1 + x 6. Die Funktion r(z) = 1/(1 + z 6 ) besitzt sechs Polstellen, von denen drei in der oberen Halbebene liegen, nämlich e i π 6, e i π 2, e i 5π 6. Ferner gilt: Res(r; z k ) = 1 6z 5 = z k zk 6. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 Integralberechnung mit Residuensatz II (Fortsetzung) Damit folgt ( dx 1 + x 6 = 2πi 1 6 ei π 1 6 = π 3 6 ei π ( sin π 6 + sin π 2 + sin 5π 6 5π ei 6 ) ) = π 3 (2 sin π ) Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198

5 Residuen und Integralberechnung Wir untersuchen das Integral e iωx x 2 dx, a > 0, ω > 0. + a2 Der letzte Satz läßt sich nicht direkt anwenden, aber wegen e iωz z 2 + a 2 = e ωy z 2 + a 2 1 z 2 + a 2 c z 2 (y 0) entlang des Weges c 2, gilt die Aussage analog. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 Residuen und Integralberechnung II Wir erhalten also e iωx x 2 + a 2 dx = 2πi ( ) e iωz Res z 2 + a 2;z k Imz k >0 e iωz = 2πi 2z = π z=ia a e ωa. = 2πi Res ( e iωz z 2 + a 2;ia ) Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198

6 Weitere Anwendungen Satz Sei f (z) holomorph auf {z : Imz > ε}, ε > 0, mit Ausnahme endlich vieler Singularitäten in der oberen Halbebene Im z > 0. Gilt lim f (z) = 0, z,y 0 so folgt CHW f (x)e ix dx = 2πi Imz k >0 Res (f (z)e iz ; z k ). Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 Weitere Anwendungen II Es gilt cos x 1 + x 2 dx = π e, sinx 1 + x 2 dx = 0 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198

7 Weitere Anwendungen des Residuensatzes Satz Sei r(z) eine rationale Funktion ohne Polstellen in 0 x < und es gelte grad q > grad p. Für 0 < α < 1 gilt 0 r(x) x α dx = 2πi 1 e 2παi z k C\{0} Res ( ) r(z) z α ; z k. Dabei ist folgender Zweig von z α zu wählen: z = re iφ, 0 < φ < 2π z α = r α e iαφ. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198 Weitere Anwendungen des Residuensatzes II Man berechnet 0 1 x α (1 + x) dx = π sin(πα). Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 198

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