Formelsammlung für Automatisierungstechnik 1 & 2

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Arwed Messner
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1 Formelsammlung für Automatisierungstechnik & 2 Aus Gründen der Vereinheitlichung, der gleichen Chancen bw. um etwaigen Diskussionen vorubeugen, sind als Prüfungsunterlagen für die Vorlesungsklausuren aus Aut und Aut2 nur die mathematischen Formelsammlungen [Bartsch], [Bronstein], [Springer] und die nachfolgenden Tabellen ugelassen. Es sind demnach auch keine Ergänungen (Kopien aus dem Skript, Veränderungen der Tabellen, etc.) erlaubt. Laplace Transformation Zeitbereich f(t) t Bildbereich ˆf(s) s s 2 e at s a t n e at n! (s a) n+ sin bt cos bt e at sin bt e at cos bt b s 2 + b 2 s s 2 + b 2 b (s a) 2 + b 2 s a (s a) 2 + b 2 Tabelle : Korrespondenen ur Laplace Transformation.

[Bronstein], [Springer] und die nachfolgenden Tabellen ugelassen. Es sind demnach auch keine Ergänungen (Kopien aus dem Skript, Veränderungen der Tabellen, etc.) erlaubt.

2 Zeitbereich Bildbereich I. Linearität α f (t) + α 2 f 2 (t) α ˆf (s) + α 2 ˆf2 (s) II. Ähnlichkeitssat f(at) a ˆf( s a ) ( 0 ) III. Verschiebungssat f(t a) e as ˆf(s) + f(t)e st dt IV. Dämpfungssat e at f(t) ˆf(s + a) a V. Differentiation f(t) s ˆf(s) f(+0) VI. Integration VII. Umkehrung u V VIII. Umkehrung u VI IX. Faltungssat X. Grenwertsäte t 0 t 0 t 0 f(τ)dτ tf(t) t f(t) f (τ)f 2 (t τ)dτ f (t τ)f 2 (τ)dτ lim f(t) = lim t +0 lim t + s s ˆf(s) d ds ˆf(s) ˆf(σ)dσ ˆf (s) ˆf 2 (s) s ˆf(s) s f(t) = lim s 0 Tabelle 2: Rechenregeln ur Laplace Transformation. 2

Integration VII. Umkehrung u V VIII. Umkehrung u VI IX. Faltungssat X.

3 Das Nyquistkriterium Der Regelkreis nach Kapitel 6 AT mit der Übertragungsfunktion des offenen Kreises L(s), L(s) = (s) n(s) ist genau dann BIBO stabil, wenn gilt:,, n teilerfremde Polynome in s,. Die stetige Winkeländerung von + L(s) ist arg( + L(jω)) = (max (grad, gradn) (N (n) N + (n))) π, 2. bw. die stetige Winkeländerung von + L(s) ist arg( + L(jω) ) = (max (grad, gradn) (N () N + ())) π. Partialbruchentwicklung Die Partialbruchentwicklung einer rationalen Übertragungsfunktion G (s) = h (s s i ) k i i= p(s) m ((s a i ) 2 + b 2 i )l i i= hat die folgende allgemeine Form G (s) = c 0 + h k i c i,j (s s i ) + m j i= j= i= l i j= d i,j + e i,j s ((s a i ) 2 + b 2 i )j mit grad(p) h k i + 2 i= m l i = grad(q) = n. Die Koeffiienten c i,j, d i,j, e i,j ergeben sich aus einem System linearer Gleichungen. i= 3

Partialbruchentwicklung Die Partialbruchentwicklung einer rationalen Übertragungsfunktion G (s) = h (s s i ) k i i= p(s) m ((s a i ) 2 + b 2 i )l i i= hat die folgende allgemeine Form G (s) = c 0 + h

4 Transformation Zeitbereich Bildbereich (f k ) f () () (kt ) (e akt ) (kt e akt ) ((kt ) n e akt ) (sin bkt ) (cos bkt ) (e akt sin(bkt )) (e akt cos(bkt )) T ( ) 2 e at T e at ( e at ) 2 n a n e at sin bt 2 2 cos bt + ( cos bt ) 2 2 cos bt + e at sin bt 2 2e at cos bt + e 2aT ( e at cos bt ) 2 2e at cos bt + e 2aT Tabelle 3: Korrespondenen ur Transformation. 4

at ) 2 n a n e at sin bt 2 2 cos bt + ( cos bt ) 2 2 cos bt + e at sin bt 2 2e at cos bt +

5 Zeitbereich Bildbereich I. Linearität (α f,k + α 2 f 2,k ) α f, () + α 2 f,2 () III. Verschiebungssat (f k+n ) (f k n ) ) n (f n () f j j j=0 ) n (f n () + f j j j= IV. Dämpfungssat (a k f k ) f ( a ) V. Differen VI. Summe (f k+ f k ) (f k f k ) f j ) k ( ( j=0 k f j ) j=0 ( )f () f 0 f () f f () f () VII. ((kt )f k ) T d d f () VIII. IX. Faltungssat 0 k = 0 ( f k kt ) k > 0 k f k j g j j=0 k f j g k j j=0 T f (ζ) dζ ζ f ()g () X. Grenwertsäte f 0 = lim f () lim k k + = lim( )f () 5 Tabelle 4: Rechenregeln ur Transformation.

Summe (f k+ f k ) (f k f k ) f j ) k ( ( j=0 k f j ) j=0 ( )f () f 0 f () f f () f () VII. ((kt )f k ) T d d f () VIII. IX.

6 q Transformation G(s) G # (q) s + s a q T 2 q q T 2 + q A A = 2 T tanh(at 2 ) q T 2 s 2 q 2 ( q T )( + q ) 2 B ( + s a )2 ( + q A = 2 A )2 T tanh(at 2 ) B = A + aa T 2 4 a A Tabelle 5: Korrespondenen ur q-übertragungsfunktion. 6

7 Fouriertransformation Zeitbereich x(t) Frequenbereich ˆx(ω) σ(t + T ) σ(t T ) 2 sin(ωt ) ω e a t, a > 0 2a a 2 + ω 2 e a t 2jω sgn(t), a > 0 a 2 + ω 2 { e at t 0 0 t < 0, a > 0 a + jω { 0 t > 0 e at t 0, a > 0 a jω sin(ω 0 t) t t 2 + a 2 π(σ(ω + ω 0 ) σ(ω ω 0 )) π a e a ω Tabelle 6: Korrespondenen ur Fourier Transformation. 7

0 t < 0, a > 0 a + jω { 0 t > 0 e at t 0, a > 0 a jω sin(ω 0 t) t t 2 + a 2 π(σ(ω

8 Signalbereich Frequenbereich I. Linearität a x (t) + a 2 x 2 (t) a ˆx (ω) + a 2ˆx 2 (ω) II. Ähnlichkeitssat x(a t), a R a ˆx(ω a ) III.Verschiebungssat x(t T ) e jωt ˆx(ω) IV. Modulation e jω 0t x(t) ˆx(ω ω 0 ) V. Differentiation ẋ(t) jω ˆx(ω) VI. Integration VII. Umkehrung u V VIII. Faltung IX. Fenster X. Glätten t x(τ)dτ jt x(t) x (τ) x 2 (t τ) dτ x (t τ) x 2 (τ) dτ 2T f(t) x(t) t+t t T ˆx(ω) + πˆx(0)δ(ω) jω 2π 2π d dω ˆx(ω) ˆx (ω) ˆx 2 (ω) ˆf(σ) ˆx(ω σ) dσ ˆf(ω σ) ˆx(σ) dσ x(τ)dτ ˆx(ω) sin(ωt ) ωt Tabelle 7: Rechenregeln ur Fourier Transformation. 8

Umkehrung u V VIII. Faltung IX. Fenster X.

9 Zeitbereich x(t) Frequenbereich ˆx(ω) δ(t) 2πδ(ω) e jω 0t 2πδ(ω ω 0 ) sin(ω 0 t) jπ(δ(ω + ω 0 ) δ(ω ω 0 )) cos(ω 0 t) π(δ(ω + ω 0 ) + δ(ω ω 0 )) sgn(t) σ(t) 2 jω jω + πδ(ω) Tabelle 8: Weitere Korrespondenen ur Fourier Transformation. 9

10 Einige Trigonometrische Beiehungen sin(0) = 0 cos(0) = sin( π 2 ) = 2( 3 ) 4 sin( π 6 ) = 2 sin( π 2 4 ) = 2 sin( π 3 3 ) = 2 sin( 5π 2( 3 + ) 2 ) = 4 sin( π 2 ) = cos(π 2 ) = 0 cos( π 2( 3 + ) 2 ) = 4 cos( π 3 6 ) = 2 cos( π 2 4 ) = 2 cos( π 3 ) = 2 cos( 5π 2( 3 ) 2 ) = 4 tan(0) = 0 tan( π 2 ) = 2 3 tan( π 6 ) = 3 3 tan( π 4 ) = tan( π 3 ) = 3 tan( 5π 2 ) = tan( π 2 ) = 0

3 + ) 2 ) = 4 cos( π 3 6 ) = 2 cos( π 2 4 ) = 2 cos( π 3 ) = 2 cos( 5π 2( 3 ) 2 ) = 4 tan(0) =

11 Literaturvereichnis [Bartsch] [Bronstein] [Springer] Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipig Köln. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main. Rade und Westergren: Springers mathematische Formeln, Springer Verlag.

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