Stabwerkslehre - WS 11/12 Prof. Dr. Colling
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- Josef Gerstle
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1 Fachhochschule Augsburg Studiengang Bauingenieurwesen Stabwerkslehre - WS 11/12 Name: Prof. Dr. Colling Arbeitszeit: Hilfsmittel: 90 min. alle, außer Rechenprogrammen 1. Aufgabe (ca. 5 min) Gegeben: Statisches System eines Tragwerks. Gesucht: Ist dieses Tragwerk statisch bestimmt? (Berechnung!) 2. Aufgabe (ca. 25 min) Gegeben: Statisches System und Belastung eines Fachwerksträgers. 10 kn 1 20 kn 20 kn 20 kn 2 3 II III IV kn 5 kn V 15 2,5 m I 8 IX A 7 VIII 6 VII 5 VI B 4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m Gesucht: Hinweis: 1. Auflagerkräfte 2. Stabkräfte S 1 und S 8 rechnerisch mittels Knotenpunktverfahren. 3. Stabkräfte S 2 und S 7 rechnerisch mittels Ritterschnitt. 4. Stabkräfte S 9 und S 10 zeichnerisch. Kräftemaßstab: 5 kn = 1 cm Geben Sie jeweils an, ob es sich um eine Zug- oder Druckkraft handelt.
2 3. Aufgabe (ca. 35 min) Gegeben: Statisches System einer Überdachung. g li = g re = 1,2 kn/m² s k = 1,1 kn/m² Der Schnee kann ungehindert abrutschen. w li = 0,8 kn/m² (Winddruck) w re = 0,5 kn/m² (Windsog) K 0, m A a = 0,8 m B? 2,0 1,0 1,2 4,5 m 2,0 1,0 Gesucht: 1) Hochgeklappte Ersatzlasten für die Berechnung der Auflagerkräfte. Zeichnen Sie eine Skizze mit den resultierenden Ersatzlasten. 2) Berechnung der Auflagerkräfte. 3) Kontrolle mit M (K) = Aufgabe ( 10 min) Gegeben: Statisches System und Belastung eines Durchlaufträgers Belastung: - Eigengewicht g = 2,2 kn/m² - Nutzlast p = 2,5 kn/m² a = 1,2 m A B C C B A 4,5 m 4,5 m 4,5 m 4,5 m 4,5 m Gesucht: 1) Größte Auflagerkraft. 2) Größtes Moment. Hinweis: Skizzieren Sie die jeweils maßgebenden Belastungen. 2
3 5. Aufgabe (ca. 25 min) Gegeben: System und Belastungen eines Trägers. 10 kn 3 kn/m Me = 4,0 knm 30 1 A 2 3 B 1,2 m 2,5 m 1,5 m 2,0 m Gesucht: 1) Berechnung der Auflagerkräfte. 2) Ergänzen Sie die unten abgebildeten Schnittgrößenverläufe (Berechnungen!). Tragen Sie die Verläufe in die nachfolgenden Diagramme ein. Hinweise: Falls die Auflagerkräfte nicht richtig berechnet wurden, darf mit folgenden Werten gerechnet werden: A = 15,23 kn, B V = 0,87 kn, B H = 8,66 kn. Führen Sie alle Rechnungen auf der Grundlage von kleinen Skizzen durch. -8,66 - N -5 6, ,6-0,87 Q -8, ,96 M 3
4 6. Aufgabe (ca. 5 min) Gegeben: Gesucht: Statisches System und Belastung Qualitative Schnittgrößenverläufe für Q und M Q M 4
5 Lösung Aufgabe 1 Variante 1: Pendelstab als einwertiges Auflager betrachtet Anzahl der Stäbe: n = 3 Anzahl der Auflagerreaktionen: r = = 5 Anzahl der Verbindungsreaktionen: v = = 4 3 n = r + v: 3 3 = 9 = = 9 statisch bestimmt Variante 2: Pendelstab als Bauteil (Stab) betrachtet Anzahl der Stäbe: n = 4 Anzahl der Auflagerreaktionen: r = = 6 Anzahl der Verbindungsreaktionen: v = = 6 3 n = r + v: 3 4 = 12 = = 12 statisch bestimmt Lösung Aufgabe 2 1. Auflagerkräfte M (A) = 0 = ,5 B 12 B = 25,625 kn V = 0 = A V ,625 A V = 54,375 kn H = 0 = A H 5 A H = 5 kn tanα = 2,5/4 α = Stabkräfte S 1 und S 8 10 kn Knoten I: S1 V = 0 = S 1 sin32 S 1 = 18,87 kn (Zug) S8 H = 0 = S 1 cos32 + S 8 S 8 = - 16,00 kn (Druck) 3. Stabkraft S 2 und S 7 20 kn II S2 10 kn S10 2,5 m M (II) = 0 = ,5 S 7 2,5 S7 S 7 = -21,00 kn (Druck) AH AV 4,0 m 5
6 S2 20 kn 20 kn 10 kn 5 kn S10 2,5 m M (VIII) = 0 = -S 2 2, ,5 25,625 8 S7 VIII S 2 = -23,00 kn (Druck) B 4,0 m 4,0 m 4. Stabkräfte S 12 und S 13 Knoten II: Angreifende Stäbe: Bekannt sind S 1 und S 2 S1 II 20 kn S2 S10 S9 Knoten II 20 18,87 23 S9 S10 Abgelesen: S kn (Zug) S 9 54,5 kn (Druck) 6
7 Lösung Aufgabe 3 1. Hochgeklappte Ersatzlasten Linker Bereich: tan α li = 3,15/4,5 α li = 35 g li = 1,2 0,8 = 0,96 kn/m s li = s k = 0,667 1,1 0,8 = 0,587 kn/m (Schnee kann ungehindert abrutschen) w li = 0,8 0,8 = 0,64 kn/m (Winddruck: ) Ersatzlasten: g G = g/cosα = 0,96/cos35 = 1,172 kn/m s G = s = 0,587 kn/m w G = w = 0,64 kn/m q V,li = 2,399 kn/m w A = w q H = 0,64 kn/m Linker Bereich: tan α re = 2/2 α re = 45 g re = 1,2 0,8 = 0,96 kn/m s re = s k = 0,400 1,1 0,8 = 0,352 kn/m (Schnee kann ungehindert abrutschen) w re = 0,5 0,8 = 0,40 kn/m (Windsog: ) Ersatzlasten: g G = g/cosα = 0,96/cos45 = 1,358 kn/m s G = s = 0,352 kn/m w G = w = - 0,40 kn/m q V,re = 1,310 kn/m w A = w q H = 0,40 kn/m Skizze mit Ersatzlasten: 2,399 kn/m 1,310 kn/m 0,64 kn/m 2,0 m B 0,40 kn/m A 1,99 m 7
8 2. Auflagerkräfte M (B) = 0 = 0,64 2,0 2/2 0,64 1,99 1,99/2 2,399 5,7 (5,7 + 2) 1,31 2 2/2 + 1,31 1 1/2 + 0,4 2 2/2 0,4 1,0 1,0/2 + A 6,5 A = + 10,41 kn V = 0 = -2,399 5,7 + 10,41 1, B V B V = 7,19 kn H = 0 = 0,64 (3,15 + 0,84) + 0,4 (2 + 1) - B H B H = 3,754 kn 3. Kontrolle M K = -0,64 (3,15 + 0,84)²/2 2,399 (4,5 + 1,2)²/2 + 10,41 4,5 + 1,31 (2 + 1)²/2 0,40 (2 + 1)²/2-7,19 2,0 + 3,754 2,0 = 0, Lösung Aufgabe 4 g = 2,2 1,2 = 2,64 kn/m p = 2,5 1,2 = 3,0 kn/m 1. Größte Auflagerkraft Maßgebend: Auflager B max B = 1,132 2,64 4,5 + 1,218 3,0 4,5 = 28,89 kn 2. Größtes Moment Maßgebend: negatives Moment über Auflager B min M B = -0,105 2,64 4,5² - 0,120 3,0 4,5² = - 12,90 knm 8
9 Lösung Aufgabe 5 1. Auflagerkräfte F V = 10 sin30 = 5,0 kn F H = 10 cos30 = 8,66 kn M (B) = 0 = -5,0 7,2 + A 6,0-3 3,7 (3,5 + 3,7/2) + 4,0 A = 15,23 kn V = 0 = ,23-3 3,7 + B V B V = 0,87 kn H = 0 = 8,66 - B H B H = 8,66 kn ( ) 2. Schnittgrößenverlauf Querkraft-Nulldruchgang: Pkt x 0 : x 0 = Q/q = 6,63/3,0 = 2,21 m 5 kn 8,66 3 kn/m 15,23 1,2 m 2,21 m = 0 = - 5,0 3 3, ,23 Q x0 Q x0 = - 0 kn M = 0 = - 5 3,41 3 3,41²/2 + 15,23 2,21 M x0 M x0 = - 0,83 knm Pkt 3li: 5 kn 3 kn/m 8,66 15,23 1,2 m 2,5 m 1,5 m = 0 = 8,66 + N 3li N 3li = - 8,66 kn = 0 = - 5,0 3 3,7 + 15,23 - Q 3li Q 3li = - 0,87 kn M = 0 = - 5 (3,7+1,5) 3 3,7 (1,5+3,7/2) + 15,23 4,0 - M 3li M 3li = - 2,265 knm Stelle 3re: N 3re = N 3li + 0 = - 8,66 kn Q 3re = Q 3li + 0 = - 0,87 kn M 3re = M 3li + M e = - 2, ,0 = + 1,735 knm Letzte Etappe mittels Flächenmethode N B = N 3re + N = - 8, = - 8,66 kn (= - B H ) Q B = Q 3re + Q = - 0, = - 0,87 kn (+ B V = 0 ) M B = M 3re + M = 1,735 + (-0,87 2,0) = -0,005 0 (Gelenk) 9
10 3. Schnittgrößenverlauf -8,66 - N -5 6, ,6 Q -0,87-0,87-8,16 - quadr. lin. -0,83-0,96-2,265 kein Knick +1,735 M Lösung Aufgabe Q M = lin quadr. M 10
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