B. Die z-transformation

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Waldemar Holzmann
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1 B. Die -Transformation Die -Transformation ist eine im Wesentlichen eineindeutige Zuordnung von Folgen von Funktionswerten f k u Funktionen einer komplexen Variablen. Im Rahmen der einseitigen -Transformation werden nur Folgen von kausalen Zeitfunktionen betrachtet, für die gilt f k 0 für k < 0. Definition B. -Transformation. Es sei angenommen, dass die Folgenwerte f k, k 0,,... der Ungleichung f k Mγ k B. für geeignete positive Konstanten γ und M genügen. Dann ist die Summe f Z {f k } f k k B.2 für alle mit > γ absolut konvergent. Man nennt die Funktion f auch die - Transformierte von f k und das Gebiet C γ { C > γ} den Existenbereich von f. Als Beispiel berechne man die -Transformierte f der Einheitssprungfolge gemäß Abbildung B. f k k,,,... B.3 und bestimme den ugehörigen Existenbereich. Über die Auswertung von B.2 mittels der geometrischen Reihe erhält man unmittelbar das Ergebnis f Z { k} k k B.4 für < oder > und damit den Existenbereich C γ { C > }. In der etwas älteren Literatur wird die -Transformation auch als diskrete Laplace- Transformation beeichnet. Um den Zusammenhang wischen der - und der Laplace- Transformation u erläutern, betrachte man die Folge von Abtastwerten f k in Form einer Impulsfolge f k f kt a δ t kt a B.5 und transformiere diese in den Laplace-Bereich L {f k } f k e ktas k f k e sta. B.6

2 J B.. Eigenschaften und Korrespondenen der -Transformation Seite 239 B 6 6! 6 Abbildung B..: Sprungfolge k. Führt man nun eine neue komplexe Variable e sta B.7 ein, so gelangt man über B.6 unmittelbar ur Definition der -Transformation B.2. Die Rücktransformation einer -Transformierten f in den Folgenbereich f k erfolgt über die Theorie der Laurent-Reihen. Dau sei angemerkt, dass jede komplexwertige Funktion f, die in einem Gebiet C γ { C > γ} holomorph ist, eindeutig in eine in diesem Gebiet absolut konvergente Laurent-Reihe um den Punkt 0 f f k k mit f k f k d 2πI C γ B.8 entwickelbar ist, wobei durch das Wegintegral das Gebiet C γ im mathematisch positiven Sinne Gegenuhreigersinn umlaufen wird. B.. Eigenschaften und Korrespondenen der -Transformation I. Linearität: Zeitbereich: c f,k + c 2 f 2,k, c, c 2 C c f, + c 2 f 2, II. Erster Verschiebungssat Rechtsverschiebung: Zeitbereich: f k n, n N + n f + n j f j j bw. f k n, n N + n f für f j 0, j < 0 III. Zweiter Verschiebungssat Linksverschiebung: Zeitbereich: f k+n, n N + n f n j0 f j j

3 B.. Eigenschaften und Korrespondenen der -Transformation Seite 240 IV. Dämpfungssat: Zeitbereich: c k f k, c C und c 0 f c V. Differenenbildung Vorwärtsdifferen: Zeitbereich: f k+ f k f f 0 VI. Differenenbildung Rückwärtsdifferen: Zeitbereich: f k f k f f VII. Summenbildung: kj0 Zeitbereich: f j f VIII. Umkehrung u V bw. VI: Zeitbereich: kt a f k T a d d f IX. Umkehrung u VII: Zeitbereich: 0 für k 0 und T a f σ σ dσ fk kt a für k > 0 X. Faltungssat: Zeitbereich: f,k f 2,k k j0 f,k j f 2,j k j0 f,j f 2,k j f, f 2, XI. Grenwertsäte: nur anwendbar, wenn die Grenwerte auch existieren Anfangswertsat: f 0 lim f Endwertsat: lim k + f k lim f

4 B.. Eigenschaften und Korrespondenen der -Transformation Seite 24 Die Berechnung der -Transformation und insbesondere auch der inversen -Transformation erfolgt im Allgemeinen nicht über die Beiehungen B.2 bw. B.8, sondern mit Hilfe geeigneter Korrespondentabellen unter Verwendung der Eigenschaften der -Transformation. In Tabelle B. sind einige wesentliche Korrespondenen usammengefasst: Nr. s-bildbereich Zeitbereich Abtastfolgen -Bildbereich ˆf s f t f k f { für k 0 I δ t δ k 0 für k > 0 II σ t k s T a III s 2 t kt a 2 IV e at e akta s a e ata V n! s a n+ t n e kt at a n n e akta a n e ata VI b sin bt a s 2 + b 2 sin bt sin bkt a 2 2 cos bt a + VII s cos bt a s 2 + b 2 cos bt cos bkt a 2 2 cos bt a + VIII IX b s a 2 + b 2 e at sin bt s a s a 2 + b 2 e at cos bt e ata sin bt e akta a sin bkt a e akta cos bkt a 2 2e ata cos bt a + e 2aTa e ata cos bt a 2 2e ata cos bt a + e 2aTa Tabelle B..: Korrespondentabelle einiger wichtiger Funktionen. Aufgabe B.. Berechnen Sie u den Folgen f k der Zeitfunktionen f t von Tabelle B. die jeweiligen -Transformierten f und weisen Sie somit die Gültigkeit dieser Korrespondenen nach. Hinweis: Verwenden Sie unter anderem die Euler-Formeln sin bkt a eibkta e IbkTa 2I cos bkt a eibkta + e IbkTa 2 in Kombination mit der Linearitätseigenschaft I der -Transformation.

5 B.. Eigenschaften und Korrespondenen der -Transformation Seite 242 Aufgabe B.2. Zeigen Sie, dass im Sinne des Anfangswertsates sämtliche Folgenwerte über die Vorschrift f lim f f 0 f 2 lim 2 f f 0 f rekursiv ermittelbar sind, sofern diese existieren.. Analog ur inversen Laplace-Transformation hat es sich auch bei der inversen -Transformation als sinnvoll erwiesen, die rationalen Funktionen f mit Hilfe der Partialbrucherlegung siehe Sat A. in eine Summe einfacherer Ausdrücke u erlegen und diese dann mit Hilfe der Korrespondentabelle B. in den Folgenbereich urückutransformieren. Als Beispiel betrachte man die -Transformierte f B.9 Die ugehörige Partialbrucherlegung berechnet man über den Ansat f A B + C B.0 in der Form f B. Um direkt die Korrespondenen von Tabelle B. nuten u können, empfiehlt es sich, in B. jeweils Zähler und Nenner um u erweitern, d. h. f }{{} f, }{{} f 2,. B.2 Die Rücktransformation des ersten Terms f, lautet demnach mit der Eigenschaft II der -Transformation und der Korresponden IV von Tabelle B. f,k k für k > 0. B.3 Aus dem Nenner von f 2, und den Korrespondenen VIII und IX von Tabelle B. folgen die Gleichungen 0.5 e 2aTa sowie 2e ata cos bt a B.4 bw. e ata 2 und bt a π 4. B.5 Schreibt man nun den Zähler von f 2, in der Form f 2, B.6

6 B.. Eigenschaften und Korrespondenen der -Transformation Seite 243 um, so kann aus der Korresponden unmittelbar die Rücktransformation k π k π f 2,k 6 2 cos 4 k sin 4 k angegeben werden. für k > 0 B.7 Aufgabe B.3. Bestimmen Sie mit Hilfe der -Transformation die Lösung der Differenengleichung y k+2.5y k y k u k für u k k und y 0 0 sowie y. Lösung von Aufgabe B.3. Die Lösung lautet k y k k. 2 Hinweis: Benuten Sie in Maple die Befehle trans, invtrans sowie rsolve. In vielen Fällen werden die Laplace- und die -Transformation gleicheitig benutt. Möchte man beispielsweise ur Laplace-Transformierten ˆf s eines Zeitsignals f t die -Transformierte der Folge f k wissen, dann berechnet sich diese nach der Vorschrift f Z {L } t+kta ˆf s. B.8 Die Beiehung B.8 besagt, dass im ersten Schritt u ˆf s über die inverse Laplace- Transformation L das Zeitsignal f t bestimmt wird, dieses wird dann abgetastet, also f k f kt a und anschließend -transformiert. Um in weiterer Folge die Schreibweise abuküren, wird die Transformationsvorschrift B.8 wie folgt f Z ˆf s : Z {L } t+kta ˆf s B.9 angeschrieben. Beispiel B.. Als Beispiel berechne man um Laplace-transformierten Zeitsignal ˆf s s s + 2 B.20 die ugehörige -Transformierte, also f Z ˆf s. In einem ersten Schritt ermittelt man die Partialbrucherlegung ˆf s s s + 2 s + 2 s + 2 B.2 und über die inverse Laplace-Transformation folgt das Zeitsignal u f t L ˆf s e t 2te t. B.22

7 B.2. Literatur Seite 244 Durch Abtastung mit der Abtasteit T a erhält man aus f t die Folge von Abtastwerten f k f kt a 2kT a e kta B.23 und mit der -Transformation ergibt sich f e Ta 2 T ae Ta e Ta 2 + 2T a e Ta e Ta 2. B.24 Man beachte, dass das Ergebnis direkt aus der Korrespondentabelle B. abgelesen werden kann. B.2. Literatur [B.] [B.2] [B.3] G. Doetsch, Anleitung um praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der -Transformation. München: Oldenbourg, 967. G. F. Franklin, J. D. Powell und M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems. California: Addison Wesley, 998. F. Gausch, A. Hofer und K. Schlacher, Digitale Regelkreise. München: Oldenbourg, 99.

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