Mathematik III für Physiker. Übungsblatt 15 - Musterlösung

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1 Aufgabe 5.. a) Mathematik III für Physiker Wintersemester /3 Übungsblatt 5 - Musterlösung sin n n n j j+ j +)! )j 3 3! + 5 5!... ) n 3! +... n 3 5! n 5 Die Funktion hat einen Pol der Ordnung n. Der Hauptteil der Laurentreihe ergibt sich damit u. Fall: n gerade Sete n m. f ) n 3! + + ) m. n 3 m )!. Fall n ungerade Sete n m +. f ) )m + + n 3! n 3 m )!. b) Wir bestimmen unächst die Laurentreihe von sin : sin +...) g), g), 3! wobei g holomorph in. Die Laurentreihe kann also geschrieben werden als sin +a +a x+... sin n n +a +a n +...

2 Die Laurentreihe von + hat einen verschwindenden Hauptteil in, da sie dort holomorph ist. Um die Taylorkoeffiienten von u bestimmen, beobachten wir ) ) j, < Der Hauptteil der Laurent-Reihe von j ) j+ j. j ist also +)sin n n ) j+ j. n j Es handelt sich also um eine n )-fache Polstelle. c) cos/) sin/) / sin/), es handelt sich um eine wesentliche Singularität. Der Hauptteil der Laurentreihe ist ) j j j +)! j+). j d) Aus Übungsaufgabe.5 wissen wir ) k Also ) n jk jk+ ) j j k+. k ) j nj k+) k Das geht aber nur für >, also n <! Somit würden wir auf diesem Weg nur die Laurent-Entwicklung auf der Kreisscheibe B, Wir sind aber an der Laurent- Entwicklung auf der Kreischeibe B,r ) für ein r > interessiert. Also VORSICHT. Um die Entwicklung in B,r ) u bekommen, machen wir folgendes: n ) k n n ) k nk ) k n ) k ÜA.5 nk ) k jk j k ) nj k+).

3 Daraus können wir ablesen, dass der Hauptteil verschwindet. Es liegt also ein hebbare Singularität vor. Aufgabe 5.. a) +i 4 + +i +i) i) i e iπ/4 ) +e iπ/4). Also sind e iπ/4 und e iπ/4 Pole erster Ordnung und es gilt ) Vorlesung Resf e iπ/4 4 4 i, ) Vorlesung Resf e iπ/ i. b) Der Punkt ist ein Pol erster Ordnung, ein Pol dritter Ordnung. Resf e + /+ 3 /3!+... lim. ) 3 ) 3 d e Resf 3) Vorlesung d e e ) 4 e ) 3 3 e )+) 3 6 e 3. c) ) cos ) e i/ ) +e i /) Entwicklung in einer Reihe ergibt ) cos e iik k! +ei i)k k! k e i e i/ +e i e i/ ). Also ist eine wesentliche Singularität, denn für k gerade sind die Koeffiienten der Reihe verschieden von. d) ) Resf e ii +ei i ) k Die Singularitäten sind, 3i und 3i, wobei es sich in allen drei Fällen um einfache Pole handelt. 3

4 Resf ) Vorlesung Resf 3i ) Vorlesung Res 3i ) Vorlesung , 9 +9, 4 +3i) 3i i) 3i e) Die Funktion e/ ) hat eine wesentliche Singularität in und einen Pol erster Ordnung in. Entwicklung des Nenners und des Zählers in eine Reihe ergibt e j [ ) ] j j j! ) j j b j ) j. Wir bestimmen den Koeffiienten b, da dieser das Residuum Res f liefert. b ) j j +)! j ) j+ j +)! j ) j j! e. Also Res f /e. j Resf lim e/ ) e e. Bemerkung Wie bekommt man die Partialbrucherlegung in a) und d), wo wir einfache Pole haben. Die Residuen berechnen sich nach Formel ) aus der Vorlesung u a)f) lim a)f). a a Das ist genau die SZuhaltemethodeßur Bestimmung der Koeffiienten in der Partialbrucherlegung. Genauer, es gilt mit A i Res i f)/g). N f) g) i 4 A i i

5 Aufgabe 5.3. f) i+)+ 3 i i+)+ i). ist eine einfache Nullstelle des Nenners, i eine doppelte. Beide sind keine Nullstellen des Nenners. Wir folgern, dass f auf B i) holomoroph ist. Der Hauptteil der Laurentreihe verschwindet daher. Um den regulären Teil u bestimmen, führen wir unächst eine Partialbrucherlegung durch: f) A + B i + C i) Wir berechnen A, C, sowie B. Nun ur Laurententwicklung in B i): f) +i i + +i i + +i i) + ) + i ) i i ) +i +i i +i i i k +i) k i) k +i) k i i i 4 k k d +i ) d i) k +i) k ki) k +i) k i k k k +)i) k+) +i) k. k Also ist für + i < die Laurentreihe gegeben durch [ ) ] k+ f) i k+) k +)i) k +i) k. i 4 k d i ) +i i Jett u B, i). Wir verwenden erneut die Partialbrucherlegung von oben. f) + i + i) +i i + +i i + +i i) +i i/ +i) + +i i/ +i) + +i) i/ +i)) Für den leten Term nuten wir wieder ) k +)ν k, ν < ν k 5 )

6 siehe ÜA.5). Wir seten ν i. Damit gilt +i f) k [ i k +i) k ] +i) k+) + lk+ weite Summe l k +)i) k +i) k+) k [ i l +i) l +li) l ] +i) l+). Aufgabe 5.4. a) Substition e it, ż ie it i, π sin n tdt /) n i) n i i) n i n+ ) n. Sete f) ) k k+. Wir haben eine Polstelle in. Um das Residuum u berechnen, benötigen wir den Koeffiient von n in ) n. Zunächst gilt π sin n tdt i) n i πires f. ) n n k ) n k ) n k. k Im Falle n gerade gibt k n/ den Vorfaktor von n. Daraus folgt ) n Resf ) n/. n/ Im Falle n ungerade folgt Res f. Wir schließen π π n sin n tdt n/), wenn n gerade n., wenn n ungerade Für das weite Integral erhalten wir analog π ) n +/ cos n tdt i πi n i Res mit f) +/)n +) n. Analog ergibt sich n+ ) n Resf n/ f 6

7 im Falle das n gerade ist. Also π π n cos n tdt n/), wenn n gerade n., wenn n ungerade b) π dt +sint) i i wobei f) +4i ) und + / i 3i i, i 4i + +4i 4πiRes f, 3i i die Polstellen erster Ordnung von f sind. Beachte, dass im Einheitskreis liegt, dagegen nicht. Res f )f) 3i. ) Vorlesung Daraus folgt π dt +sint 4πi 3i π. 3 c) siehe letter Abschnitt in der Vorlesung) dx πi x 6 + N x 6 + dx j Res j f, wobei { } N j die Singularitäten in der oberen Halbebene beeichne. j x 6 + hat 6 Nullstellen auf dem Einheitskreis, davon liegen 3 in der oberen Halbebene. ) Res. f +Res e iπ/6 i f + Res e i5/6π f [ d Die Nullstellen sind einfache Pole, d.h. 6 + ]. Wir nehmen nun Formel j ) aus der Vorlesung und erhalten Resf. j 6j 5 7

8 Also dx πi x 6 + 6e + ) i5/6π 6i + 5 6e i5/6π5 3 π. d) Wir betrachten unächst die Funktion im Integrand f) 4 +. Es gibt 4 rein-komplexe Nullstellen des Nenners, davon liegt eine im ersten Quadranten. Sei C R der in der Abbildung dargestellte Weg, damit ist f) πiresf ) Vorlesung πi eiπ/4 π/. C R e iπ/4 4ei3/4π Wir betrachten jett das Integral über den Viertelkreis. π/ f) V R Re iϕ R 4 e i4ϕ + ireiϕ dϕ π/ R R 4 e i4ϕ + dϕ π R R 4. R π/ R R 4 dϕ Jett betrachten wir das Integral über die imaginäre Strecke. Mit der Parametrisierung it, t R schreibt sich das Integral wie folgt: Also ir f) C R f) R R Der Grenübergang R liefert iti R it) 4 + dt t R t 4 + dt f). f) + f) V R Ri R f) + f) π/ V R f) π/4. f) π/. Aufgabe 5.5. a) Die Gleichung e re iϕ hat die Lösungen n lnr +iϕ +nπ), n N. 8

9 Also hat e / die Lösungen n lnr +iϕ +πn). Klar, n für n. Damit folgt Behauptung a). b) Wir betrachten die Folge n, n N. Dann gilt iπn e /n e iπn ) n e /n } Die Folge {e /n n is aber nicht konvergent. Bemerkung Interessanter wäre es eigentlich, die Funktion f) e / u betrachten. Auf der reellen Achse gilt lim x fx) nicht. Im Komplexen können wir aber die Folge n πne iπ/4 betrachten, für die gilt Also gilt e / n, aber } {e /n n n e / n ) n. konvergiert nicht. 9