TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Diplomvorprüfung HÖHERE MATHEMATIK I und II für Maschinenwesen und Chemie-Ingenieurwesen

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1 Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik Diplomvorprüfung HÖHERE MATHEMATIK I und II für Maschinenwesen und Chemie-Ingenieurwesen Prof. Dr. J. Hartl September 27, 9: 2: Uhr Hörsaal: Reihe: Platz: Hinweise: Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe: 5 Aufgaben Bearbeitungszeit: 8 min Erlaubte Hilfsmittel: vier selbsterstellte DIN A4 Blätter Bei Multiple-Choice-Aufgaben sind immer alle zutreenden Aussagen anzukreuzen. Bei Aufgaben mit Kästchen werden nur die Resultate in diesen Kästchen berücksichtigt Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von bis Vorzeitig abgegeben um Besondere Bemerkungen: Musterlösung (mit Bewertung) I Erstkorrektur II Zweitkorrektur

2 . Vollständige Induktion (ca. 2 Punkte) Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion. (a) ( + x) n + nx für x [, [ und n N ( Bernoulli-Ungleichung ) n (b) j x j + n xn x = xn ( x) 2 für x R \ {} und n N j= (a) Induktionsbeginn für n = : ( + x) + x Induktionsschluss: ( + x) n+ = ( + x)( + x) n ( + x)( + nx) = + (n + )x + }{{} nx 2 + (n + )x (4) (b) Induktionsbeginn für n = : + x x = x ( x) 2 = x Induktionsschluss: n j= j x j + (n + )x n + (n + ) xn+ }{{ x } x n = (n + ) x = n j x j + n j= xn x } {{ } = xn ( x) 2 + xn x = xn+ ( x) 2 (4)

3 2. Supremum und Infimum (ca. 6 Punkte) Sei A R nichtleer und nach unten beschränkt, und sei s = inf A das Infimum von A. (a) Wie ist s definiert? s ist die größte obere Schranke von A. X s ist die größte untere Schranke von A. s ist die kleinste obere Schranke von A. s ist die kleinste untere Schranke von A. Keine der vorhergehenden Definitionen trifft zu. (b) Sei r eine untere Schranke von A. Dann gilt in jedem Fall: X r s r s r A r = s r > s r A (c) Sei nun A = {x R : x 3 > 3}. A besitzt kein Infimum, weil A nicht beschränkt ist. A besitzt kein Infimum, weil 3 3 keine rationale Zahl ist. A besitzt kein Infimum, weil 3 3 A. 3 ist eine untere Schranke von A. X 3 3 ist eine untere Schranke von A. X 3 3 ist das Infimum von A.

4 3. Darstellende Geometrie (ca. 8 Punkte) Gegeben sind die zwei Ebenen E und E 2 in Koordinatenform, E : x + 2x 2 + 2x 3 =, E 2 : 2x + 2x 2 + x 3 =. Ihre Schnittgerade werde mit g bezeichnet, g = E E 2. (a) Wie groß ist der Abstand von E zum Ursprung? 9 5 X (b) Wie lauten die Koordinaten des Punktes P (, y, z), der auf der Geraden g liegt? y = 3 2 z = 2 (c) Geben Sie einen auf die Länge normierten Richtungsvektor n der Schnittgeraden g an. n = ± (d) Berechnen Sie den Abstand d von g zum Ursprung. d = 2 (a) Die Hesse-Normalform von E ist Also ist der Abstand zum Ursprung 3. 3 x x x 3 = 3. (b) Abziehen der beiden Gleichungen voneinander ergibt x + x 3 = 2. Für P gilt x =, also x 3 = 2 und damit x 2 = 3 2. (c) Jeder Richtungsvektor steht senkrecht auf den beiden Flächennormalen. Wir berechnen = 3, auf normiert ergibt sich v = ± (d) g hat die Parameterform g : OP + t v. Der Abstand zum Ursprung ist also d = OP v = 2 v = = 2

5 4. Interpolation (ca. 8 Punkte) Gegeben seien die vier Stützstellen mit den entsprechenden Stützwerten x =, x = 2, x 2 = 3, x 3 = 4, y = 2, y = 3, y 2 = 6, y 3 = 5. Sei f : R R das zugehörige Interpolationspolynom. (a) Bestimmen Sie die Koeffizienten in der Darstellung von f, (4) f(x) = α + α (x x ) + α 2 (x x )(x x ) + α 3 (x x )(x x )(x x 2 ). α = 2 α = α 2 = α 3 = (b) Sei nun zusätzlich x 4 = 5 und y 4 = f(5). Das Interpolationspolynom zu den fünf Punkten (x, y ),..., (x 4, y 4 ) sei mit g(x) bezeichnet. Bestimmen Sie die Differenz von g und f. g(x) f(x) = (c) Welche Asymptotik hat f(x) für große x? f(x) α 3 x 3 (= x 3 ) (a) Um die Koeffizienten zu bestimmen, benutzen wir das Newton-Schema der dividierten Differenzen: Daraus lesen wir ab, also f(x) = 2 + (x ) + (x )(x 2) (x )(x 2)(x 3), α () = 2, α () =, α 2 () =, α 3 () =. (b) Es gilt offenbar g(x) = f(x), da das Interpolationspolynom eindeutig bestimmt ist. (c) Die höchste von Null verschiedene Potenz von x ist α 3 x 3, also f(x) α 3 x 3 = x 3 für große x. Volle Punktzahl falls α 3 oder Zahlenwert für α 3 aus (a)

6 5. Trigonometrie (ca. 6 Punkte) Leiten Sie die folgende Formel her. 4 cos 3 x = cos(3x) + 3 cos x cos(3x) = cos(x + 2x) = cos x cos(2x) }{{} sin x sin(2x) }{{} = 4 cos 3 x 3 cos x = 2 cos 2 x = 2 sin x cos x (6)

7 6. Komplexe Wurzeln (ca. 8 Punkte) Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen von (z ) 7 i. Wieviele sind es? Wir suchen sieben Lösungen der Gleichung (z ) 7 = i. Zunächst bestimmen wir die Lösungen von w 7 = i. Eine Lösung ist w = e iπ 4, denn w 7 = eiπ/2 = i. Multiplikation mit den siebten Einheitswurzeln e iπ 2k 7, k =,..., 6, ergibt dann alle Nullstellen, w k = e iπ( 4 + 2k 7 ), k =,..., 6. Ist nun w eine Nullstelle von w 7 i, so ist z = + w eine Nullstelle von (z ) 7 i. Somit lauten die sieben Nullstellen von (z ) 7 i, z k = + e iπ( 4 + 2k 7 ), k =,..., 6.

8 7. Grenzwerte (ca. 8 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. ( 4x (a) 2 + 2x 2x) lim x 2 5 X 2 3 existiert nicht (b) lim x cos x 2 cos x X existiert nicht (c) lim x + xx ( cos 2 ) (d) lim cosh x x x 2 X 2 existiert nicht e π X existiert nicht (a) Wir erweitern. ( lim 4x 2 + 2x 2x) = lim x x = lim x ( 4x ) ( 4x 2 + 2x 2x 2 + 2x + 2x) 4x 2 + 2x + 2x 2x ( ) 2x ( ) = 2x + + 2x 2 4x 2 (b) Wir wenden zweimal de l Hospital an. lim x cos x 2 cos x = 2 lim x sin x 2 sin x = 4 lim x cos x 2 cos x = 4 (c) Wir benutzen die Stetigkeit der Exponentialfunktion und de l Hospital, lim x xx = lim + x ex ln x = e lim x + x ln x ln x limx + = e /x = e lim x + ( x) = + (d) Wir benutzen die Stetigkeit von cosh x und die Majorante cos 2 x/x 2 /x 2. ( cos 2 ) lim cosh x x x 2 ( = cosh lim x cos 2 ) x x 2 = cosh =

9 8. Maximales Volumen (ca. 8 Punkte) Aus einer Kugel mit Radius R soll ein Zylinder mit maximalem Volumen geschnitten werden. (a) Welche Beziehung besteht zwischen der Höhe h und dem Radius r des Zylinders? (b) Wie groß ist das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe h? (c) Bestimmen Sie, mit Begründung, die optimale Höhe des Zylinders. (d) Wie groß ist für den optimalen Zylinder der Quotient aus Höhe h und Radius r? (a) R 2 = r h2 () (b) V (h) = πr 2 h = π(r 2 4 h2 )h = π(r 2 h 4 h3 ) (c) Es ist h 2R. Kandidaten für das Maximum von V (h) sind die Randpunkte h = und h = 2R, jeweils mit V (h) = und die stationären Punkte mit V (h) = π(r h2 ) =, 4 bzw. h = 3R. Wegen V (h) > für < h < 2R muss dies das absolute Maximum von V : [, 2R] R sein. (3) (d) Für h = 2 3 R gilt r = R 2 4 h2 2 = 3 R, also h r = 2.

10 9. Integration (ca. 8 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Integrale. (a) (b) e x e x dx ln(2 /e) ln(e ) 2 ln(e/2) X ln((e + )/2) + ln + x + x dx 2 + 2(2 + ln 2) 2(2 + ln 2) X 2 2(2 ln 2) 2( + 2) Hinweis: Substituieren Sie y = + x und integrieren Sie anschliessend partiell. (c) Beweisen Sie, dass das uneigentliche Integral sin x x dx existiert. Hinweis: Integrieren Sie partiell und benutzen Sie das Majorantenkriterium. (a) Wir umgehen die Partialbruchzerlegung indem wir bemerken, dass der Zähler proportional zur Ableitung des Logarithmus des Nenners ist, e x + e x = d dx ln( + ex ). Wir erhalten also e x e x + dx = [ln( + ex )] = ln( + e) ln 2 = ln((e + )/2). (b) Wir substituieren y = ( + x) /2. Dann finden wir dy/dx = /(2y) und somit ln + x + x dx = 2 2 ln y dy Das letzte Integral können wir durch partielle Integration ermitteln: ln y dy = ln y dy = y ln y = y(ln y ) Wir finden also 2 2 ln y dy = 2 [y(ln y )] 2 = 2( 2(ln( 2) ) + ) = 2 2(2 ln 2). (c) Wir integrieren zuerst partiell. [ sin x dx = cos x ] x x 2 }{{} = cos Das Integral auf der rechten Seite ist konvergent, weil Majorante konvergiert. cos x dx x3/2 (3) cos x x 3/2 und weil das Integral der x3/2 (3)

11 . Länge der Archimedischen Spirale (ca. 8 Punkte) Sei a > und r : [, 2π] R + die Parametrisierung der Archimedischen Spirale in Polarkoordinaten, r(ϕ) = ϕ. (a) Welche der folgenden Formeln beschreibt die Länge der Archimedischen Spirale? 2π ϕ( + ϕ) /2 dϕ 2π ( + 2ϕ + ϕ 2 ) 3/2 dϕ X 2π ( + ϕ 2 ) /2 dϕ 2π ϕ 2 3/2 dϕ (b) Substituieren Sie ϕ = sinh t in (a). Wie lautet die Länge ausgedrückt durch die Koordinate t? (2?) 2π cosh t dt X arsinh(2π) cosh 2 t dt arsinh(2π) sinh 2 t dt π cosh(2t) dt (c) Wie lang ist schliesslich die Archimedische Spirale? (4?) X π( + 4π 2 ) /2 + arsinh(2π)/2 π 2 ( + 2π) /2 ( + 2π 2 ) 3/2 + arsinh(2π)/2 π( + 4π 2 ) 3/2 Hinweis: Integrieren Sie partiell. (a) Die Formel für die Länge L einer Kurve in Polarkoordinaten r(ϕ) lautet L = 2π (r(ϕ) 2 + r (ϕ) 2 ) /2 dϕ = 2π ( + ϕ 2 ) /2 dϕ. (b) Unter Anwendung der Substitution ϕ = sinh t erhalten wir aus (a), 2π ( + ϕ 2 ) /2 dϕ = arsinh(2π) ( + sinh 2 t) /2 cosh t dt = arsinh(2π) cosh 2 t dt. (c) Wir integrieren partiell. cosh 2 t dt = sinh t cosh t } sinh {{ 2 } t dt = cosh 2 t cosh 2 t dt + sinh t cosh t + t Wir erhalten also arsinh(2π) cosh 2 t dt = sinh t cosh t 2 }{{} +t (+sinh t ) /2 arsinh(2π) = 2 ( ) 2π ( + 4π 2 ) /2 + arsinh(2π), da arsinhx die Umkehrfunktion von sinh x ist.

12 . Konvergenz von Reihen (ca. 8 Punkte) Welche Aussagen treffen für die folgenden Reihen bzw. ihren Grenzwert zu? ( (a) 3) 2 n ist nicht konvergent X ist konvergent X ist absolut konvergent. n= Der Grenzwert ist 3 π X 3 5. (b) n= n n n! X ist nicht konvergent ist konvergent ist absolut konvergent. Der Grenzwert ist e > < e π. (c) n=2 ( ) n ln(2n) ist nicht konvergent X ist konvergent ist absolut konvergent. Der Grenzwert ist < X < > e π 2(ln n + ln 2). (d) n= (2n)! ist nicht konvergent X ist konvergent X ist absolut konvergent. (a) (b) Der Grenzwert ist e 2 X cosh() sinh() cos(). n= n= ( 2 3) n = n n n! ( 2 3 ) = 3 5, (absolut) konvergent, da n= ist divergent, da nn n! = n n n, also keine Nullfolge. ( 2 ) n 3 = 3, bzw. Quotientenkriterium. (c) Die Reihe ist konvergent, wegen des Leibniz-Kriteriums, aber nicht absolut konvergent, da ln(2n) langsamer als n gegen konvergiert. Der Grenzwert liegt immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen, also wegen ( ) n ln(2n) = ln 4 ln 6 + insbesondere zwischen und ln 4 <. n=2 (d) Dies ist die Cosinus hyperbolicus-reihe an der Stelle. Bewertung: Jede korrekte Zeile ein Punkt.

13 2. Potenzreihen, Taylorreihen (ca. 8 Punkte) Gegeben ist die Funktion f(x) = x t + t2 2 dt. (a) Symmetrie: X f ist eine gerade Funktion. f ist eine ungerade Funktion. () (b) Für das Taylor-Polynom T 6 (x, ) = a + a 2 x 2 + a 4 x 4 + a 6 x 6 von f gilt: a = a 2 = 2 a 4 = 8 a 6 = 24 () () () Hinweis: Benutzen Sie die geometrische Reihe. (c) Wie groß ist der Konvergenzradius ρ der Taylorreihe T f (x, )? ρ = 2. (a) Der Integrand ist eine ungerade Funktion, also ist f gerade. (b) Der Integrand kann durch Vergleich mit der geometrischen Reihe entwickelt werden, t + t2 2 = t ( 2 t2 ) = t = t 2 t3 + 4 t5 ±, n= ( 2 t2) n = t ( 2 t2 + 4 t4 ± ) falls 2 t2 <. Aus der Taylor-Entwicklung des Integranden kann man sofort die Taylor- Entwicklung von f ablesen: f(x) = x ( t 2 t3 + 4 t5 ± ) dt = 2 x2 8 x t6 ±. (c) Die Taylorreihe des Integranden konvergiert, wenn 2 t2 < bzw. t < 2 und divergiert, wenn 2 t2 > bzw. t > 2. Der Konvergenzradius ist also 2 und ändert sich nicht durch die Integration.

14 3. Lineare Gleichungssysteme (ca. 8 Punkte) Gegeben ist die Matrix A = (a) Bestimmen Sie den Rang k der Matrix A. k = k = k = 2 X k = 3 k = 4 k = 5 (b) Welche Aussagen gelten für die Gleichung Ax = b mit b R 4? Die Gleichung hat für alle b mindestens eine Lösung. X Es gibt mindestens ein b für das die Gleichung eine Lösung hat. X Es gibt mindestens ein b für das die Gleichung keine Lösung hat. Die Gleichung hat genau dann mindestens eine Lösung, wenn b im Kern von A liegt. X Die Gleichung hat genau dann mindestens eine Lösung, wenn b im Spaltenraum von A liegt. (c) Welche Dimension hat der Lösungsraum von Ax =? X 3 k k 4 k 4 3 (d) Sei nun b = 2 3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge von Ax = b. 4 x : x R X x : x R x x : x R x : x, y R y (a) Wir bringen in Zeilenstufenform A hat also den Rang (b) Damit Ax = b eine Lösung hat, muss b als Linearkombination der Spaltenvektoren von A geschrieben werden können, also im Spaltenraum von A liegen. Dieser ist höchstens dreidimensional und damit ein echter Untervektorraum des R 4. (c) Die Dimension des Kerns von A ist Spaltenzahl-Rang = 3 k =. (d) x = (,, ) löst offenbar das Gleichungssystem. Da das homogene System nur die triviale Lösung hat, gibt es keine anderen Lösungen.

15 4. Lineare Unabhängigkeit (ca. 8 Punkte) Gegeben sind die vier schiefsymmetrischen 3 3-Matrizen 2 2 A =, A 2 =, A 3 =, A 4 =. 2 2 (a) Zeigen Sie, dass A, A 2, A 3, A 4 linear abhängig sind. (b) Welche der folgenden Matrizen liegen in Lin(A, A 2 )? X A X A 2 X A 3 A 4 (c) Welche Matrix kann aus {A, A 2, A 3, A 4 } weggelassen werden, damit die verbleibenden drei Matrizen linear abhängig sind? A A 2 A 3 X A 4 (d) Welche Matrizen bilden eine Basis des Untervektorraums Lin(A 3, A 4 )? (A + A 2, A 3 ) X (A 3, A 4 ) (A A 2, A 3 A 4 ) (A 3 A 4 ) (A A 3, A 2 A 4, A 3 A 4 ) X (A + A 2, A 3 + A 4 ) (a) Alternative : Die vier Matrizen liegen alle im dreidimensionalen Untervektorraum der schiefsymmetrischen Matrizen des Vektorraums R 3 3, daher müssen Sie linear abhängig sein. Alternative 2: Die Null kann nichttrivial dargestellt werden durch A + A 2 2A 3 + A 4 =, also sind A, A 2, A 3, A 4 linear abhängig. (b) A und A 2 sind offensichtlich in Lin(A, A 2 ), A 3 auch, wegen A 3 = 2 (A + A 2 ). A, A 2, A 4 sind linear unabhängig, denn aus = αa (x)+βa 2 (x)+γa 4 (x) = (α+β+γ)x 2 +(2α 2β)x+(α+β γ) folgt α + β + γ = 2α 2β = α + β γ =, also A 4 Lin(A, A 2 ). bzw. α =, β =, γ =, da Rang 2 2 = 3, (c) folgt direkt aus (b) 2 (d) A + A 2 = 2 2 = 2A 3. Beide Matrizen sind also linear abhängig. 2 X A 3 und A 4 sind offensichtlich linear unabhängig, also Basis. 4 (A A 2 = liegt nicht in Lin(A 3, A 4 ). 4 Lin(A 3, A 4 ) ist zweidimensionaler UVR, die Basis muss also genau zwei Vektoren enthalten. Lin(A 3, A 4 ) ist zweidimensionaler UVR, die Basis muss also genau zwei Vektoren enthalten. X A + A 2 = 2A 3 und A 3 + A 4 liegen in Lin(A 3, A 4 ) und sind offenbar linear unabhängig, also Basis.

16 5. Determinanten (ca. 8 Punkte) ( n n + 2 (a) Sei A = n 2 n ), B = ( ) 2. Welchen Wert hat det(ab)? X 2 6n 2 6n 4 + 3n x x 2 (b) Sei f(x) = det x x. x 2 x Welchen Grad hat das Polynom f(x)? () 2 3 X 4 5 Welchen Wert hat f()? () X 2 2 Welche Nullstellen hat f(x)? () X X (c) Welchen Wert hat die Determinante von ? (3) 3 6 X Hinweis: Verwenden Sie elementare Zeilenumformungen. (a) det(ab) = det(a) det(b) = ( n 2 (n 2)(n + 2) ) (4 ) = 4 3 = 2. x x 2 ( ) ( ) ( ) (b) f(x) = det x x x x x x = x x 2 x x x 2 + x 2 x 2 x = ( x 2 ) x(x x 3 ) = 2x 2 + x 4 = ( x 2 ) (c) det = det = det = det =