Aufgabe 1 (Komplexe Zahlen) Berechnen Sie die folgenden komplexe Zahlen:

Transkript

1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im SoSe 24 Lösungsvorschläge zur Klausur im SoSe 24 Aufgabe (Komplexe Zahlen) Berechnen Sie die folgenden komplexe Zahlen: z = ( + i) 2 w = + i. Stellen Sie jeweils das Ergebnis sowohl in der Form a + bi mit reellen Zahlen a und b als auch in der Form r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) mit positivem r und ϕ < 2π dar. Lösung zu Aufgabe a) Es gilt: ( + i) 2 = + 2 i = i. Die Polarkoordinaten ergeben sich aus r = ( ) = 4 und ϕ = arctan = π. b) Man erhält i = i ( + i)( i) = i i = i. Die Polarkoordinaten ergeben sich aus r = somit ϕ = 7 4 π = 2 2 und arctan ( ) = π 4 Aufgabe 2 (Lineares Gleichungssystem) Sei das folgende lineare Gleichungssystem auf dem R 7 gegeben. (8 Punkte) x x 2 +2x +x 4 +x 5 2x 6 +x 7 = 4 2x +x 2 x x 4 +2x 5 x 6 +x 7 = x 2x 2 +x +2x 4 x 5 x 6 =. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems und geben Sie eine Basis des Lösungsraums des zugehörigen homogenen Systems an. Lösung zu Aufgabe 2 Wir lösen das Gleichungssystem indem wir an der zugehörigen erweiterten Matrix Zeilenumformungen durchführen

2 Aus der letzten Matrix kann man die Lösungsmenge berechnen: 7 t t + t 4 2t 5 ( 5 + 5t + t 2 t 4 + t 5 ) t t 2 t... t 5 R. t t 4 t 5 Als Basis des Lösungsraums des homogenen Systems erhält man z.b Aufgabe (Inverse Matrix) Seien die reellen Matrizen A = B = gegeben. Entscheiden Sie in beiden Fällen ob die inverse Matrix A bzw. B existiert und berechnen Sie diese gegebenenfalls. Lösung zu Aufgabe a) Mit dem übliche Verfahren (Umformen der mit der Einheitsmatrix erweiterten Matrix A) erhält man: Durch Vertauschen der zweiten und dritten Zeile ergibt sich nun die Inverse von A nämlich: A =. b) Die Matrix B ist nicht invertierbar da beim Anwenden des Gaußverfahrens Nullzeilen entstehen.

3 Aufgabe 4 (Kapitalentwicklung) Jemand zahlt 2 Jahre lang jedes Jahr zu Jahresanfang 2. e in einen Sparvertrag ein. Das Guthaben wird jeweils zum Jahresende mit 2% verzinst. a) Wie hoch ist nach zwanzig Jahren der Kontostand? b) Wie viele Jahre müsste der Sparvertrag bei sonst gleichen Konditionen laufen damit am Ende mindestens eine Million Euro auf dem Konto sind? Lösung zu Aufgabe 4 a) Die Formel für den Endwert einer vorschüssigen Rente lautet K n = r q qn q. In der Aufgabe haben wir r = 2. q = 2 und n = 2. Damit ergibt sich K 2 = Der Kontostand nach 2 Jahren beträgt also e. b) Wir lösen die obige Formel für den Endwert einer vorschüssigen Rente nach n auf. K n = r q qn q (q )K n = r q (q n ) (q )K n = r q n+ r q q n+ = q K n + q ( ) r q n = log q K n + q r Damit erhalten wir ( n ln 2.. ) / ln(2) 45. Der Vertrag müsste mindestens 5 Jahre Laufzeit haben. Aufgabe 5 (Folgen und Reihen) a) Seien die Folgen a n := n b n := 2 n + c n := n 2 n 2 + n + gegeben. Geben Sie für jede der drei Folgen jeweils an ob es sich um eine konvergente Folge handelt und was gegebenenfalls der Grenzwert ist. b) Betrachten Sie nun die Reihen n= a n n= b n und n= c n. Entscheiden Sie ob diese konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Lösung zu Aufgabe 5 a) Die Folgen a n und b n sind Nullfolgen für die Folge c n gilt c n = n 2 n 2 + n + = + n + n 2.

4 b) Die erste Reihe ist eine geometrische Reihe n= qn mit q =. Diese konvergiert für q <. Für den Limes gilt nach der Summenformel für die geometrische Reihe n= qn = q = 2. Die zweite Reihe divergiert denn bekanntlich divergiert die har-. Die dritte Reihe divergiert ebenfalls da c n n keine Nullfolge monische Reihe n= ist. Aufgabe 6 (Funktionsgrenzwerte) Bestimmen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte: e x x 2 4 a) lim b) lim x sin(x) x 2 x 2. Lösung zu Aufgabe 6 a) Mit der Regel von L Hôpital: e x lim x sin(x) = lim e x x cos(x) = =. b) Mit der dritten binomischen Formel erhält man: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2)(x 2) = lim x + 2 = 4 x 2 x 2 x 2 Alternativ: Auch das Anwenden der Regel von L Hôpital führt hier zum Ziel. Aufgabe 7 (Definitheit) Welche der folgenden reellen symmetrischen Matrizen sind positiv definit welche sind negativ definit? A= B= C= 2 2 D= Begründen Sie Ihre Antworten. Lösung zu Aufgabe 7 a) Wir berechnen zuerst die Determinante der Matrix A. Dazu führen wir Zeilenumformungen durch: Es gilt also det(a) = = 6. Die beiden anderen Hauptminoren sind 4 und = 8. Da alle Hauptminoren positiv sind ist die Matrix positiv definit. b) Die Matrix B ist negativ definit denn eine Diagonalmatrix ist negativ definit wenn ihre Diagonaleinträge alle negativ sind. c) Die Matrix C ist weder positiv noch negativ definit da der erste Hauptminor gleich Null ist. d) Die Matrix D ist weder positiv noch negativ definit denn der erste Hauptminor ist negativ und der zweite auch: ( ) ( ) 2 2 =.

5 Aufgabe 8 (Lokale Extrema) Gegeben sei die Funktion f(x y) = x 2 + x + 2 y2 + y + xy auf R 2. a) Berechnen Sie den Gradienten f(x y) und die Hessematrix Hessf(x y). b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion. Lösung zu Aufgabe 8 a) Der Gradient von f berechnet sich zu ) f (x y) = ( f(xy) x f(xy) y Die Hessematrix von f ist konstant gleich Hessf(x y) = ( 2 f(xy) x x 2 f(xy) y x = ( ) 2x + y +. x + y + 2 f(xy) x y 2 f(xy) y y ) = ( ) 2. (8 Punkte) b) Zunächst bestimmen wir die lokalen Flachstellen von f indem wir den Gradienten gleich Null setzen. Dies führt auf die Gleichungen 2x + y + = x + y + =. Abziehen der unteren von der oberen Gleichung ergibt x = woraus y = folgt. Die einzige Lösung des Gleichungssystems und somit der einzige Flachpunkt von f ist also (x y) = ( ). Die (konstante) Hessematrix ist positiv definit da die Hauptminoren 2 und also beide positiv sind. Also liegt in ( ) ein lokales Minimum der Funktion f vor und dies ist das einzige lokale Extremum der Funktion. Aufgabe 9 (Flachstellen unter Nebenbedingung) Sei die Funktion f(x y z) = x 2 y z für positive reelle Zahlen x y z definiert. Finden Sie alle Flachstellen von f unter der Nebenbedingung x + y + z = 2. Lösung zu Aufgabe 9 Sei g(x y z) := x + y + z 2. Wir berechnen die Gradienten von f und g: f (x y z) = 2xy z y 2 x 2 z und g (x y z) = x 2 y Damit eine Lösung von f (x y z) = λ g (x y z) vorliegt muss also 2xy z = y 2 x 2 z = x 2 y gelten. Nun erhält man z.b. aus 2xy z = x 2 y dass x = 2z gilt und aus y 2 x 2 z = x 2 y dass y = z gilt. Aus der Nebenbedingung folgt damit 2z + z + z = 2 somit z = 2. Schließlich erhalten wir x = 2z = 4 und y = z = 6. Die einzige Flachstelle ist somit (4 6 2). Aufgabe (Taylorpolynom) Sei die Funktion f(x) = e x(x+) für reelle x gegeben. Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung am Entwicklungspunkt x =.

6 Lösung zu Aufgabe Das Taylorpolynom p(x) hat die Form f (k) () p(x) = x k. k! Die Ableitungen f (k) () berechnen sich zu k= f () (x) = e x2 +x f () () = f () (x) = e x2 +x (2x + ) f () () = f (2) (x) = e x2 +x (2x + ) 2 + e x2 +x 2 f (2) () = f () (x) = e x2 +x (2x + ) + e x2 +x 4(2x + ) + e x2 +x 2(2x + ) f () () = 7. Wir erhalten also p(x) = + x + 2 x x am Entwicklungs- als Taylorpolynom dritter Ordnung für die Funktion f(x) = e x(x+) punkt x =. Aufgabe (Differentialgleichung) Finden Sie eine Lösung des folgenden Anfangswertproblems: y = exp(x) y y() =. Lösung zu Aufgabe Setze f(x) := exp(x) und g(y) := y. Damit erhalten wir F (x) := und H(y) := y x Die gesuchte Lösung erhält man wenn man exp(t) dt = [exp(t)] x = exp(x) t dt = [ln(t)] y = ln(y) ln() = ln(y). H(y(x)) = ln(y(x)) = exp(x) = F (x) nach y(x) auflöst: y(x) = exp(exp(x) ).