Künzer Samstag, Mathematik für Wirtschaftswissenschaften. Lösung zur Klausur

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1 Künzer Samstag, 282 Aufgabe I Es ist f (x = ( x 2 e x2 /2 Mathematik für Wirtschaftswissenschaften Lösung zur Klausur Für x R ist f (x = genau dann, wenn x {, +} ist Somit sind dies die einzigen Flachstellen von f(x auf R Entscheiden wir nun noch, ob jeweils eine Maximal- oder Minimalstelle vorliegt Es ist f (x = ( x + x e x2 /2 Fall x = Es ist f (x = 2e /2 > Also liegt bei x = eine Minimalstelle vor Fall x = + Es ist f (x = 2e /2 < Also liegt bei x = + eine Maximalstelle vor Aufgabe I2 Es ist K =, K n = 2, R = und q =,2 Dabei ist n gesucht Nach Formel ist ( ( Kn + R q 2 +,2 n = ln K + R / ln(q = ln + / ln(,2 TR 77,529 q,2 nach 78 Monaten erstmals ein Kapital von mindestens 2 Euro erreicht Eine nicht aufgerundete näherungsweise reelle Angabe wie zb n = 77,2 Monate zählt ebenfalls als richtige Antwort Aufgabe I Zu A 2 A 2 = ( ( = ( Zu A Wir formen um ( ( ( ( A = ( Aufgabe I4 Induktionsanfang n = 2 Wir haben in der Tat 2 k=2 (4k 7 = (4 2 7 = = Induktionsschritt Sei n Sei die Gleichheit für n bekannt Wir haben sie für n zu zeigen n k=2 (4k 7 = (4n 7 + n k=2 (4k 7 IV = (4n 7 + 2(n 2 5(n + = 4n 7 + 2n 2 4n + 2 5n = 2n 2 5n +

2 Aufgabe I5 Wir suchen A, B, C R mit (x + 2(x + 2! = A x Durchmultiplizieren mit (x + 2(x + 2 gibt die Bedingung Wir formen das für ( AB C ( B x + + C (x + 2 =! A(x 2 + 2x + + B(x 2 + x C(x + 2 entstehende lineare Gleichungssystem um ( A =, B = und C = Folglich wird (x+2(x+ dx = 2 x+2 dx ( 4 2 x+ dx + ( (x+ 2 dx = [ln(x + 2] x= [ln(x + ] x= + [ (x + ] x= = ln( TR,22 Aufgabe I6 Wir erhalten u x sin(x dx = [x( cos(x]u x= u = u cos(u + u cos(x dx ( cos(x dx = u cos(u + [sin(x] u x= = u cos(u + sin(u Aufgabe II f(x = 2 x/ f (x = 2 x/ ( ln(2 f (x = 2 x/ ( ln(22 E f (x = f (x f(x x = ln(2 x E f (x = f (x f (x x = ln(2 x Überprüfen wir die Voraussetzungen unseres Lemmas Es ist f(x = 2 x/ > für x R > Es ist f (x = 2 x/ ( ln(2 < für x R > Es ist E f (x = E f (x für x R >, und somit insbesondere nie zugleich E f (x 2 und E f (x

3 Also können wir unser Lemma anwenden Demgemäß nimmt der Gesamtgewinn G(x = x f(x bei x R > sein Maximum an, falls E f (x = ist, dh falls ln(2 x = ist, dh bei x = ln(2 TR 44,27 Euro pro Tonne Aufgabe II2 Es ist f(x = x 2 cos(x f (x = 2x + sin(x f (x = 2 + cos(x Überprüfen wir die Voraussetzungen für das Newtonverfahren Es ist f( 2,6276 < und f(,4597 > Es ist f (x = 2x + sin(x > für x [ 2, ], da dort sowohl 2x als auch sin(x positiv sind, letzteres, da < 2 < < π Es ist f (x = 2 + cos(x 2 > für x [ 2, ] Dies zeigt, daß die Voraussetzungen für das Newtonverfahren erfüllt sind Wir führen das Newtonverfahren durch Es ist x = Wie oben ist f(x,4597 > Also müssen wir fortsetzen x 2 = x f(x f (x = cos( (, , sin( Es ist f(x 2 = x 2 2 cos(x 2,82 > Also müssen wir fortsetzen x = x 2 f(x 2 f (x 2 = x 2 x2 2 cos(x 2 (, ,8242 2x 2 + sin(x 2 Es ist f(x = x 2 cos(x,26 Also können wir n = und x n = x,8242 verwenden Hier können sich Rundungsfehler fortpflanzen Das Ergebnis wird als richtig gewertet, sofern der Lösungsweg nachvollziehbar ist und f(x n ist Aufgabe II ( Es ist und somit (,, eine Flachstelle von f Ferner ist f (x, y, z = f (,, = H f (x, y, z = ( 2x+z+yz 2y+xz x+2z+xy (, ( 2 z +y z 2 x +y x 2

4 H f (,, = ( Es ist M (H f (,, = 2 >, M 2 (H f (,, = 4 > und ( 2 ( 2 M (H f (,, = det = det = det ( 2 2 = ( ( 2 = 6 > (,, eine lokale Minimalstelle von f und so insbesondere eine lokale Extremstelle von f (2 Zunächst ist in der Tat g (,, = + = Es ist, wie in (, Es ist Da nur eine Nebenbedingung vorliegt, ist Folglich ist f (,, = f (x, y, z = f (,, = g (x, y, z = ( 2x+z+yz 2y+xz x+2z+xy ( ( y+z x x N(,, = g (,, = ( = ( ( = N(,, ρ, und der Lagrangemultiplikator ergibt sich eindeutig zu r = ( ρ = ( Wegen g (,, = und wegen der eindeutigen Existenz des Lagrangemultiplikators ist (,, eine Flachstelle von f unter Nebenbedingung g = Wir lösen nun N(,, t u = für u R Die erforderliche Umformung in Zeilenstufenform besteht nur aus einer Multiplikation der einzigen Zeile, nämlich ( ( Wir erhalten gemäß Algorithmus die allgemeine Lösung und also U = ( { u R : N(,, t u = } = { λ ( ( + λ 2 : λ, λ 2 R } Auch jede andere Matrix, deren Spaltentupel eine Basis des Lösungsraums ist, kann hier als U Verwendung finden Weiter wird Folglich ist und also F (x, y, z = f(x, y, z ρ g (x, y, z = (x 2 + y 2 + xz + z 2 + xyz (xy + xz = x 2 + y 2 2xz + z 2 + xyz xy + H F (x, y, z = Diese Matrix ist positiv definit, da M ( H F (,, = U t H F (,, U = ( ( 2 z 2+y z 2 x 2+y x 2 ( ( , = 2 9 > und M 2( ( = 7 > ist (,, eine lokale Minimalstelle von f unter der Nebenbedingung g =

5 Aufgabe II4 In Standardnotation ist a(x = und b(x = e 2x cos(x In Standardnotation ist x = und y = A(x = x dt = x Mit der Eulerschen Formel wird F (x = x b(t e A(t dt = x et cos(t dt = x et 2 (eit + e it dt x (et(+i + e t( i dt = 2 = 2 [ +i et(+i + i et( i ] x t= = 2 [ i 2 et(+i + +i 2 et( i ] x t= = 2 [ i 2 et (cos(t + i sin(t + +i 2 et (cos( t + i sin( t] x t= = 2 [ i 2 et (cos(t + i sin(t + +i 2 et (cos(t i sin(t] x t= = 2 [ et (cos(t i i sin(t] x t= = 2 [ et (cos(t + sin(t] x t= ( e x (cos(x + sin(x e (cos( + sin( = 2 = 2 ex (cos(x + sin(x 2 Als Lösung erhalten wir y(x = e A(x (F (x + y = e x ( 2 ex (cos(x + sin(x 2 = 2 e2x (cos(x + sin(x 2 ex Aufgabe II5 In Standardnotation ist a =, b = und c(x = x 2 In Standardnotation ist x =, y = und y = Wir suchen eine spezielle Lösung der Form ŷ(x = λx 2 + µx + ν mit λ, µ, ν R, welche die inhomogene Differentialgleichung ŷ (x + 2ŷ (x + ŷ(x = x 2 erfüllt Es sollte also x 2! = ŷ (x + 2ŷ (x + ŷ(x = (2λ + 2(2λx + µ + (λx 2 + µx + ν = λx 2 + (4λ + µx + (2λ + 2µ + νx sein Koeffizientenvergleich liefert (auch ohne Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme bei x 2, daß λ = ist, dann bei x, daß µ = 4λ = 4 ist, dann bei x, daß ν = 2λ 2µ = 6 ist Insgesamt ist also ŷ(x = x 2 4x + 6 Wir suchen die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung u + 2u + u = Es ist a 2 = = b für alle r, s R eine Lösung von u + 2u + u = u(x = e ax (r + sx = e x (r + sx Wir bestimmen die Parameter r und s durch Einsetzen der Anfangswertbedingungen

6 Es soll die Lösung y(x = ŷ(x + u(x = x 2 4x e x (r + sx von y + 2y + y = x 2 die Anfangswertbedingungen erfüllen Zunächst wird Es sollte also sein y (x = 2x 4 e x (r + sx + e x s = 2x 4 + e x ((s r sx y = y =! = y( = 6 + r! = y ( = 4 + s r Es ergibt sich (auch ohne Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme aus der ersten Bedingung, daß r = 6 ist, aus der zweiten sodann, daß s = r = ist Insgesamt erhalten wir die Lösung y(x = x 2 4x e x ( 6 x unserer inhomogenen Differentialgleichung y +2y +y = x 2 unter den gegebenen Anfangswertbedingungen y( = und y ( =