Lösungsvorschläge zur Klausur für mach, umw, fmt, bau, immo, tema, und zugehörige Technikpädagogik

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1 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Lösungsvorschläge zur Klausur für mach, umw, fmt, bau, immo, tema, und zugehörige Technikpädagogik Aufgabe : 8 Punkte Gegeben ist A : v : Bestimmen Sie die Lösung f des Differentialgleichungssystems Y AY, die das Anfangswertproblem f v löst. Lösungsvorschlag zu Aufgabe : Rezept 4. zur Lösung des Anfangswertproblems: v, Av, A v v, Av sind linear unabhängig, v, Av, A v sind linear abhängig: A v+v y + y HLDGL } f j v j Bestimme Lösung von HLDGL mit den Anfangswerten f j Av j,...,4: j Fundamentalsystem für HLDGL : Polynom pξ ξ + hat keine reellen Nullstellen. Daher bilden gemäß Hilfssatz.7 cosx,sinx ein FS für HLDGL. Zugehörige Wronski-Matrix Mx cosx sinx, M sinx cosx Damit hat die gesuchte Lösung des Anfangswertproblems die Form f j xr j cosx+r j sinx mit r j,r j T Lösungen der linearen Gleichungssysteme r j b j, j,...4, b, b, b 3, b 4, also Damit ist r j f x, f x cosx sinx, f 3 x, f 4 x cosx+sinx. fx cosx sinx cosx + sinx die Lösung des Anfangswertproblems für das Differentialgleichungssystem. Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite

2 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Aufgabe : Punkte Gegeben ist die Differentialgleichung Bestimmen Sie den Lösungsraum. y y + y e x e x +xsinx. Lösungsvorschlag zu Aufgabe : homogene Lösung: Polynom pξ ξ ξ + ξ. Nach Hilfssatz.6 bilden die Funktionen e x, xe x ein FS des Lösungsraums. inhomogene Lösung, Ansatzfunktionen: Lösen der inhomogenen DGl mittels Superpositionsprinzip 3.9: hx h x+h x. zu h x e x : Verwende Rezept 3.6 mit qx, d, µ. Wegen pµ liegt Resonanzfall vor. pξ pξξ m mit m, pξ Ansatz ˆf p x x s e x. Einsetzen in DGl mit h x als Störfunktion ergibt e x! ˆf p x ˆf px+ ˆf px x s e x { xs e x + x s e x} + s e x + 4xs e x + x s e x s e x x + x+ Damit ist s und ˆf p x x e x. zu h x +xsinxe x : Verwende Rezept 3.8 mit q x, q x +x, d, δ, µ. Da rξ ξ + kein Teiler von p ist, liegt der Nicht-Resonanzfall vor. Ansatz ˆf p x {s x+s sinx+t x+t cosx}e x. Einsetzen in DGl mit h x als Störfunktion ergibt h x! ˆf p x ˆf px+ ˆf px { s x+s sinx+t x+t cosx } e x { s sinx+s x+s cosx+t cosx t x+t sinx +s x+s sinx+t x+t cosx } e x + { s cosx+s cosx s x+s sinx t sinx t sinx t x+t cosx + [ s sinx+s x+s cosx+t cosx t x+t sinx ] +s x+s sinx+t x+t cosx } e x { s x+s + t sinx t x+t s cosx } e x Koeffizientenvergleich liefert s + t, s, t + s, t, also s, s, t, t und ˆf p x {+xsinx+cosx}e x. Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite

3 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Partikuläre Lösung nach dem Superpositionsprinzip: ˆf p x ˆf p x+ ˆf p x { x ++xsinx+cosx } e x inhomogene Lösung, Variation der Konstanten Ansatz der Variation der Konstanten führt auf das Gleichungssystem e x xe x c x e x +xe x c x e x +xsinx Umformungen ergeben x c x c x +xsinx Die Lösung dieses Systems ist c x x+x+x sinxdx x x + x cosx++xsinx, c x +xsinxdx x++xcosx sinx. Man erhält also die partikuläre Lösung via ˆf p x c x e x + c x xe x { x ++xsinx+cosx } e x. Lösungsraum der inhomogenen DGl. { r e x + r xe x + { x ++xsinx+cosx } e x r,r R } Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite 3

4 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Aufgabe 3: 5 Punkte Gegeben ist die Menge B : { x,y R x + y,x+y } und das Vektorfeld g: R R : x,y x + yy,x. Die mit einer positiv orientierten, regulären Parametrisierung versehene Randkurve von B sei mit K bezeichnet. Bestimmen Sie: gs ds. K Lösungsvorschlag zu Aufgabe 3: Variante: direkte Lösung K gsds β α gct C tdt Kurvenparametrisierung C : [ 3π,] R Ct { cost,sint t [ 3π, t,t t [, C t { sint,cost t [ 3π,, t [, Damit ist gsds K + 3π/ 3π/ 3π/ cost + sintsint sint dt cost cost t +tt dt t sint sint t dt + 3t + cost cost t sint+sin t+cos t dt + t + t dt [ ] [ t ] cost+t + 3π/ t π π dt Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite 4

5 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Variante: mit Satz von Green K gsds I rotgx,ydxdy mit I B B B, B B /, { π } B r cosϕ,r sinϕ r,, ϕ,π, sowie B {x,y x, y, x+y } rotgx,y g x x,y g x,y y y. y Polarkoordinaten-Transformation für B führt auf π ψ,,π B : r,ϕ r cosϕ,r sinϕ, cosϕ r sinϕ detjψr,ϕ det r sinϕ r cosϕ Damit ist das gesuchte Integral rotgx,ydxdy I ydxdy+ B ydxdy B π/ r sinϕr dϕ dr+ [ rϕ + r cosϕ ] π π/ dr+ 3rπ + r dr+ y dy [ 3πr + r3 3 ] + [ y 3 3 ] y ydxdy [ yx] y dy π Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite 5

6 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Aufgabe 4: 7 Punkte Gegeben ist das Vektorfeld: g: R R : x x e x x Stellen Sie Phasen-Differentialgleichungssysteme auf und gewinnen Sie damit ein erstes Integral u auf R. Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4: Lösungsweg a Wähle B {x,x R x }; dann ist g x für alle x B. Phasendifferentialgleichungssystem: x x g x,x g x,x ex x Dieses wird mittels Trennung der Veränderlichen gelöst: x dx e x dx also x e x + const. Ein mögliches erstes Integral ist damit die Funktion ux,x x ex, und zwar sogar auf ganz R. Lösungsweg b Wähle B R ; dann ist g x für alle x B. Phasendifferentialgleichungssystem: x g x,x x g x,x x e x Dieses wird mittels Trennung der Veränderlichen gelöst: e x dx x dx also e x x + const. Ein mögliches erstes Integral ist damit die Funktion ux,x e x x. Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite 6

7 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Aufgabe 5: 8 Punkte Gegeben ist die Funktion f : R R: x π + cos x. Entwickeln Sie f in eine Fourier-Reihe. Geben Sie hierzu eine Definition der Fourier- Koeffizienten a sowie a m und b m für m N an, und bestimmen Sie diese explizit. Lösungsvorschlag zu Aufgabe 5: f ist nicht π-periodisch: x+π fx+π π + cos f ist 4π-periodisch: x+4π fx+4π π + cos x x π + cos + π π cos fx x x π + cos + π π + cos fx Setze also α π. Die Definition der α-periodischen Fourierreihe ist mit nπ α n : fx a + a n cos n nx + b n sin nx. Die Funktion f hat bereits die Form einer Fourier-Reihe. Die Fourier-Koeffizienten lassen sich also direkt ablesen. Alternativ können sie natürlich durch Rechnung bestimmt werden: a m π b m π mx dx fxcos + x π cos cos cosmξdξ + π mx dx fxsin + x π cos sin sinmξdξ + π mx dx + π cosξ cosmξdξ π + π m cosξcosmξdξ + π π m + m mx dx + π cosξ sinmξdξ cosξsinmξdξ m N, Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite 7

8 Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 wobei wir die Orthogonalitätsrelationen { π für m n N sinmx sinnx dx für m n sinmxcosnxdx m,n N, sinmxdx cosmxdx } m N cosmx cosnx dx genutzt haben. Einsetzen liefert tatsächlich fx a + a cos x + sin x + n cos nx + sin nx Prof. Dr. B.Kaltenbacher Seite 8