Apl. Prof. Dr. N. Knarr Höhere Mathematik III Musterlösung , 120min

Transkript

1 Aufgabe 1 8 Punkte Es seien eine Kurve K R mit Parametrisierung C : [ π, π] R und ein Vektorfeld g : R R gegeben durch cos t 4y Ct :, gx, y : sin t 1 05 K a 3 Punkte Berechnen Sie die Zirkulation Zg, K von g längs K Hinweis: sin sin x + cos cos x cos x b 1 Punkt Berechnen Sie rot g c Punkte Ermitteln Sie den Flächeninhalt des von K berandeten Gebietes S Hinweis: Benutzen Sie a und b d Punkte Berechnen Sie den Ausfluss Ag, K von g durch K a Zg, K 4 4 K π g ds π π π gct C t dt 4 sin t sin t dt cos t cos t sint sin t + cost cos t dt cos t dt b rot g 1 g g [sin t] π π 8 c F S 1 dx dy S b 1 rot g dx dy 6 S 1 g ds 6 a 4 3 K Seite 1 von 8

2 d Ag, K 0 K S g n ds div g dx dy Seite von 8

3 Aufgabe 11 Punkte Gegeben ist die Differentialgleichung y 3 y + 4y 8y x e Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Differentialgleichung SCHRITT 1: In einem ersten Schritt löst man die homogene Gleichung y 3 y + 4y 8y 0 Das charakteristische Polynom P X dieser Differentialgleichung ist P X X 3 X +4X 8 Eine offensichtliche Nullstelle von P ist P X X 3 X + 4X 8 X X + 4 X X + ix i und hat die übrigen Nullstellen ±i Die allgemeine homogene Lösung f h ist dann: f h x ae + b cos + c sin mit a, b, c R SCHRITT : In einem zweiten Schritt bestimmt man irgendeine beliebige partikuläre Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung durch einen Ansatz nach Art der rechten Seite Partikuläre Lösung durch Ansatz nach Art der rechten Seite Aufgrund des Superpositionsprinzips bekommt man eine partikuläre Lösung f p von y 3 y + 4y 8y x e, indem man eine partikuläre Lösung f p1 von y 3 y + 4y 8y x + 1 und eine partikuläre Lösung f p von y 3 y + 4y 8y e bestimmt und diese beiden addiert: f p f p1 + f p Zunächst zu y 3 y + 4y 8y x + 1: Weil 0 keine Nullstelle von P ist keine Resonanz, machen wir den Ansatz Dreimaliges Ableiten ergibt f p1 x s 1 x + s x + s 3 f p 1 x s 1 x + s, f p 1 x s 1, f 3 p 1 x 0 Setzt man diese Ableitungen in die Differentialgleichung ein, so erhält man 8s 1 x + 8s 1 8s x + 4s 1 + 4s 8s 3 x + 1 Seite 3 von 8

4 Damit ist s 1 s s 3 /8 Also f p1 x 1 8 x + x + 1 Jetzt zu y 3 y + 4y 8y e : Weil eine einfache Nullstelle von P ist Resonanz, machen wir den Ansatz Dreimaliges Ableiten ergibt f p x αxe f p x αe + αxe, f p x 4αe + 4αxe, f 3 p x 1αe + 8αxe Setzt man diese Ableitungen in die Differentialgleichung ein, so erhält man 8αe e Damit ist α 1/4 Also f p x 1 4 xe Insgesamt erhalten wir f p x f p1 x + f p x 1 8 x + x xe SCHRITT 3: In einem dritten und letzten Schritt muss man schließlich noch die oben bestimmte allgemeine homogene Lösung und die oben bestimmte partikuläre Lösung addieren: mit a, b, c R fx f h x + f p x ae + b cos + c sin 1 8 x + x xe Seite 4 von 8

5 Aufgabe 3 10 Punkte Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des Differentialgleichungssystems 1 e y y e Seien 1 e A : und hx : 1 4 e Das charakteristische Polynom von A ist gegeben durch deta λe λ 5λ + 6 Die Nullstellen dieses Polynoms und damit die Eigenwerte von A sind folglich d h es gilt λ 1/ 5 5 ± ± 4 λ 1, λ 3 5 ± 1, Um einen Eigenvektor zum Eigenwert zu finden, müssen wir folgendes Gleichungssystem lösen: x1 deta λ 1 Ev 1 0, 1 also x 1 + y 1 0 Dies ist beispielsweise durch v 1 erfüllt Für den Eigenwert 3 gilt analog x deta λ Ev 0, 1 1 also x + y 0 Dies ist beispielsweise durch 1 v erfüllt Damit ergibt sich die allgemeine homogene Lösung als 1 y h x c 1 e + c e 3x mit c 1, c R y 1 y Seite 5 von 8

6 Die Wronski-Matrix ist somit gegeben durch e e 3x W x e e 3x Es gilt und folglich Damit erhält man det W x e 5x + e 5x e 5x W x e 5x e 3x e 3x e e e 3x e 3x e e e 3x e 3x e c x W x e e 0 hx e e x Also kann man beispielsweise 0 cx e e x wählen und erhält als eine partikuläre Lösung e e 3x 0 y p x W xcx e 3x e x e e Zusammen ergibt sich die allgemeine inhomogene Lösung zu e e 3x e yx y h x + y p x c 1 + c + e e 3x e mit c 1, c R Seite 6 von 8

7 Aufgabe 4 11 Punkte Gegeben ist die π-periodische Funktion f mit, x π, π, x π, 0 fx 1, x 0, π, x π, π 0, x { π, π, 0, π} und a Punkte Skizzieren Sie f auf dem Intervall π, π b 6 Punkte Bestimmen Sie die reelle Fourier-Reihe von f fx + π fx Hinweis: Terme der Form cosn π und sinn π müssen ausgerechnet werden c 3 Punkte Bestimmen Sie für alle x [ π, π] den Grenzwert der Fourierreihe a Skizze: y 1 π π π π x b 1 Weil fx ungerade ist, gilt a n 0 für alle n N 0 Die Koeffizienten b n für f folgen durch Integration: b n 1 π π π π 0 nπ fx sinnxdx sinnxdx + 4 π π sinnxdx π [ cosnx] nπ [ cosnx]π π nπ 1 cosnπ + 4 nπ cosnπ cosnπ nπ 1 + cosnπ n + nπ k, n k 6, n k 1 nπ Seite 7 von 8

8 3 Die Fourierreihe von f ist fx k1 kπ + 6 k sinkx + sink 1x k 1π Eine weitere Fallunterscheidung nach k gerade/ungerade ist möglich Es folgt die Fourierreihe fx 4 4l + π sin4l + x + 6 sin4l + 1x + π 4l + 1 l1 sin4l + 3x 4l + 3 c Die Funktion f ist stetig differenzierbar in den Intervallen n 1 π, n π n Z mit endlichen links- bzw rechtseitigen Grenzwerten sowohl für f als auch f in allen Punkten { n π n Z} Da die Funktion f insbesondere stetig ist in n 1 π, n π n Z, konvergiert die Fourierreihe in diesem Bereich also gegen fx In den Punkten x 0 { π, π, 0, π, π} hingegen macht f einen Sprung der Höhe 1, oder 4, sodass sich der Grenzwert dort berechnet als 0, x 0 π 1 lim fx + x x 0 +0 lim fx x x 0 0 3, x 0 π 0, x 0 0 3, x 0 π 0, x 0 π Seite 8 von 8