Höhere Mathematik III
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- Michaela Gerstle
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1 Blatt 9 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik III el, kyb, mecha, phys Gruppenübungen Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math. K. Sanei Kashani 6..4 Aufgabe 4. (schriftlich (4P Gegeben ist die Funktion f ( die -periodisch auf R fortgesetzt wird. { für < für <, a Skizzieren Sie die Funktion, bestimmen Sie eventuell vorhandene Symmetrien von f und ermitteln Sie ihre Fourier-Reihe F(. b Berechnen Sie die Summe der unendlichen Reihe (n, indem Sie die Funktion aus a an einer geeigneten Stelle auswerten. a Skizze: y Die Funktion ist wegen f ( f ( symmetrisch zur y-achse, d.h. die Funktion ist gerade, damit ist die zugehörige Fourier-Reihe eine reine Kosinus-Reihe (b n. Zunächst ist wegen der Symmetrie a f (d d [ ].
2 F"ur den Koeffizienten a n (n > gilt mit partieller Integration a n f (cos(nd cos(nd [ ] n sin(n sin(n d n n (cos( n ( ( n. Da a n für alle geraden n ist, lautet die Fourier-Reihe also F( a + n cos(n a 4 [ ] n cos(n (n cos( (n b f ( ist stetig für alle R, also konvergiert F( überall gegen f (. Wird in die Funktion und ihre Fourierreihe eingesetzt, so ergibt sich oder f ( F( 4 cos( (n 4 (n 8. (n, Aufgabe 4. Gegeben ist f ( cosh, für [,, und f ( + f (, für alle R. a Bestimmen Sie die komplee Fourier-Reihe von f. b Geben Sie die reellen Fourier Koeffizienten a n,b n von f an. a Mit cosh( ( e + e ergibt sich folgende Rechnung für die Kompleen Fourier Koeffizienten: c n 4 e in coshd 4 [ ] e ( in in e( in + in sinh ( n ( in + + in e ( in + e ( in d ( n 4 sinh [ e e in e e ] + in ( n + n.
3 b Die rellen Fourier Koeffizienten lassen sich aus den oben berechneten kompleen herleiten: a c sinh a n Rec n sinh(( n ( + n b n Imc n. Aufgabe 4. Die Funktion sei mit der Periode fortgesetzt. f ( a Berechnen Sie die Fourier Reihe von f. { für < 3 für < b Für welche R konvergiert die Fourier Reihe gegen f (? c Berechnen Sie den Wert der Reihe (n , indem Sie die Fourier Reihe an den Stellen und auswerten. a Fourier-Koeffizienten a Durch mehrfache partielle Integration erhält man a n 3 cos(nd [( 3 (n 6 (n 4 3( ( n ( n + b n 4 n 4 3 sin(nd 3 d 8 [ 4 ] 8 ( 3 cos(n + n 6 ] (n 3 sin(n [( 3 (n 6 ( 3 (n 4 sin(n n 6 ] (n 3 cos(n ( n 6 ( n (n 3 6 n 3 n 3 ( n. 3
4 und somit die Fourier-Reihe ( ( n ( n + 4 n 4 cos(n + 6 n 3 n 3 ( n sin(n b Die Funktion ist nur in den Punkten n, n Z unstetig, dort nimmt Sie den Wert / an. Für alle anderen R konvergiert die Fourierreihe gegen f (. c Die Auswertung der Fourier-Reihe liefert : ( ( n ( n + 4 n 4 : ( ( n ( n + 4 n 4 ( n. Die Summe der beiden Gleichungen ergibt ( ( n ( n + ( ( n 4 n (n 4 (n (n, also (n 4. 4
5 Aufgabe 43. (Ehemalige Klausuraufgabe Die 4-periodische Funktion f : R R sei gegeben durch { +, [, f ( :., [, a Skizzieren Sie f auf dem Intervall [ 8, 8. b Entwickeln Sie f in eine reelle Fourierreihe. c Bestimmen Sie für alle R den Grenzwert der Fourierreihe. d Entwickeln Sie die reelle Fourierreihe für cos(5. a Skizzieren von f : y b Bestimmung der Fourierreihe: ( Weil f ungerade ist gilt a n für alle n N {}. ( Lösung mit Berücksichtigung der Symmetrie: Mit T 4 und ω T erhalten wir für die Koeffizienten durch Integration: b n 4 T T f ( sin(nωd b n ( sin( d cos( [ ] cos( [ + + 4sin( 4n + 5 sin( d cos( d + 4cos( ] [ 4cos( sin( d ] 4.
6 Alternative Lösung ohne Berücksichtigung der Symmetrie: Mit T 4 und ω T erhalten wir für die Koeffizienten b n T T f ( sin(nωd T durch Integration: b n f (sin( d sin( d + cos( [ ] [ cos( cos( [ [ cos( ( n (3 Die Fourierreihe von f ist + ] + sin( d [ cos( cos( d ] sin( + n ] [ cos( + ( n f ( ] ] sin( d + ( n + ( n 4. k 4 ( sin. c Die Funktion f ist stetig differenzierbar in den Intervallen (4k 4,4k (k Z mit endlichen links- bzw. rechtseitigen Grenzwerten sowohl für f als auch f in allen Punkten {4k k Z}. Da die Funktion f insbesondere stetig ist in (4k 4, 4k (k Z, konvergiert die Fourierreihe in diesem Bereich also gegen f (. In den Punkten {4k k Z} hingegen macht f einen Sprung der Höhe 4, sodass sich der Grenzwert dort berechnet als ( lim f ( + lim f ( (. 4k+ 4k d Wir betrachten cos(5 als 4-periodische Funktion. cos(5 a + a k cos( k k + b k sin( k Mit den bekannten Orthogonalitätsrelationen für cos(5 sieht man, dass 6
7 {,k a k (δ,k,k, k N, b k k N. Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am..5 in den Übungsgruppen.. 7
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