4. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 3. Wintersemester 2015/ , E 2 := (x, y, z) R 3 4z M := Z E 1 E 2.

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1 Dr. F. Gaspoz, Dr. T. Jentsch, Dr. A. Langer, J. Neusser, J. Schmid. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 3 Wintersemester 1/16 Apl. Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 1. Wir betrachten im R 3 die Mengen bilden mit diesen die Menge Z : x, y, z) R 3 x ) + y }, E 1 : x, y, z) R 3 z x } 1, E : x, y, z) R 3 z y } 1, M : Z E 1 E. a) Bestimmen Sie das Volumen von M den Flächeninhalt von M durch Integration. Lösungshinweise hierzu: Begrenzen wir den geraden Kreiszylinder Z durch die beiden Ebenen A 1 : z x 1 A : z y 1, so erhalten wir die Menge M. Bestimmung von V M) : Um das Volumen V M) per Integration zu bestimmen, benötigen wir eine Parametrisierung von M. Aus den beiden in der Definiton von E 1, E auftauchenden Gleichungen können wir auf die folgende Bedingung für z schließen: y + z 1 x ) +. Mit dieser Information definieren wir [ Φ : [, π] [, ] r sin ϕ +, ] 1 r cos ϕ + R 3 mit Φϕ, r, z) : + r cos ϕ, r sin ϕ, z). Die Abbildung Φ ist stetig differenzierbar parametrisiert offenbar M. Mit Hilfe der Transformationsformel unter Berücksichtigung dass detjφ)ϕ, r, z) r

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik 3 ist können wir das Volumen von M berechnen: V M) 1 dx dy dz detjφ) ϕ, r, z) dϕ dr dz M 1 r cos ϕ+ r sin ϕ+ Φ 1 M) r dz dr dϕ r cos ϕ r sin ϕ + r dr dϕ [ 1 r3 cos ϕ r3 sin ϕ + ] r dϕ 1 3 cos ϕ sin ϕ + 3 [ 1 3 sin ϕ + cos ϕ + 3 ϕ dϕ ] π π. [zr] r cos ϕ+ 1 r sin ϕ+ dr dϕ Bemerkung: Dieses Ergebnis können wir aufgr der relativ) einfachen Geometrie von M elementargeometrisch mit der Volumenformel V πr h für gerade Kreiszylinder mit Radius r Höhe h nachprüfen: Die Ebenen A 1, A schneiden nämlich jeweils 1/ 1/ des Gesamtvolumens von Z ab machen Sie sich dazu am Besten eine Skizze). Somit ist: V M) V Z) 1/+1/)V Z) V Z) hr π 1 π π π. Bestimmung von OM) F M) Die Randfläche M von M können wir Aufgr der auftretenden Schnittkanten nicht stetig differenzierbar parametrisieren. Sie lässt sich aber offenbar in drei Komponenten aufteilen: Mantel M M, Boden M B Deckel M D mit M M : x, y, z) R 3 x + y, y + z x + 1 M B : M D : x, y, z) R 3 x + y, z y + } x, y, z) R 3 x + y, z x + 1 } für welche wir eine stetig differenzierbare Parametrisierung angeben können: M) Mantel Eine Parametrisierung des Mantels erhalten wir durch [ Φ M : [, π] sin ϕ +, ] 1 cos ϕ + R 3 },

3 . Gruppenübung Höhere Mathematik 3 mit Φ M z ϕ, z) cos ϕ, sin ϕ, z). Damit ist Somit erhalten wir D) Deckel Φ M ϕ ϕ, z) sin ϕ, cos ϕ, ), Φ M z ϕ, z),, 1) Φ M ϕ ϕ, z) Φ M z ϕ, z) cos ϕ, sin ϕ, ). F M) 1 cos ϕ+ sin ϕ+ cos ϕ+ 1 sin ϕ+ [z] cos ϕ+ 1 sin ϕ+ M ϕ ϕ, z) Φ M z ϕ, z) dz dϕ dz dϕ dϕ cos ϕ sin ϕ + [ sin ϕ + cos ϕ + ϕ dϕ ] π π. Durch Φ D : [, ] [, π] R 3 mit Φ D r, ϕ) r cos ϕ, r sin ϕ, 1 r cos ϕ + parametrisieren wir den Deckel M D. Damit ist ) Φ D r r, ϕ) cos ϕ, sin ϕ, cos ϕ), Φ D ϕ r, ϕ) r sin ϕ, r cos ϕ, r sin ϕ) Φ D r r, ϕ) Φ D ϕ r, ϕ) ) r,, r 16 r + r r 1. Somit erhalten wir F M D ) D r r, ϕ) Φ D ϕ r, ϕ) dr dϕ [ 1 r r dr dϕ ] dϕ dϕ 1π.

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik 3 B) Boden Durch Φ B : [, ] [, π] R 3 mit Φ B r, ϕ) r cos ϕ, r sin ϕ, r sin ϕ + ) parametrisieren wir den Boden M B. Damit ist Φ B r r, ϕ) cos ϕ, sin ϕ, sin ϕ), Φ B ϕ r, ϕ) r sin ϕ, r cos ϕ, r cos ϕ) B r r, ϕ) Φ B ϕ r, ϕ), ) r, r 6 r + r r. Somit F M B ) B r r, ϕ) Φ B ϕ r, ϕ) dr dϕ π r dr dϕ. Damit ergibt sich insgesamt die Oberfläche von M: F M) F M M ) + F M D ) + F M B ) + ) 1 + π. Bemerkung: Auch die Oberfläche lässt sich elementargeometrisch herleiten: Die Schnittflächen S 1, S M D, M B der Ebenen A 1, A mit Z sind Ellipsen. Daraus folgt F S 1 ) π 1 + 1π F S ) π 1 + ) π, wobei wir die Flächenformel für eine Ellipse E mit den Halbachsen a, b benutzt haben: F E) abπ. Für die Mantelfläche benutzen wir die Formel für die Fläche eines geraden Kreiszylinders F rhπ mit Radius r Höhe h schließen analog wie beim Volumen: F M M ) F Z) rhπ π π, wobei wir wieder für h 1 r gesetzt haben. Addieren wir die drei Flächengrößen, so erhalten wir erwartungsgemäß das gleiche Ergebnis wie bei der Integration.

5 . Gruppenübung Höhere Mathematik 3 b) Berechnen Sie den Ausfluss des Vektorfelds f : R 3 R 3 mit durch M. fx, y, z) yz + yx, y + zx, x 3 y yz ) Lösungshinweise hierzu: Wir können den Integralsatz von Gauß benutzen: Af, M) f n do M divf dx dy dz M divf) Φϕ, r, z) detjφϕ, r, z) dϕ dr dz Φ 1 M) 1 r cos ϕ+ r sin ϕ+ [ zr sin ϕ ] r cos ϕ+ 1 r sin ϕ+ r sin ϕ r dz dr dϕ dr dϕ r3 sin ϕ cos ϕ r3 sin ϕ + r sin ϕ dr dϕ [ 16 r sin ϕ cos ϕ 3 r sin ϕ + ] 1 r3 sin ϕ dϕ sin ϕ cos ϕ 1 sin ϕ sin ϕ dϕ π.