2 Koordinatentransformationen

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1 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. $Id: transform.tex,v.8 //4 :9: hk Exp $ Koordinatentransformationen. Lineare Koordinatentransformationen Wir überlegen uns dies zunächst im Spezialfall das = [, ] n der n-dimensionale Standardwürfel ist. Wir denken uns T als eine n n Matrix, deren Spalten wir mit v,..., v n bezeichnen. as ild des Würfels unter T ist dann T ( = {T (x x } = {x v + + x n v n x,..., x n } das sogenannte von den Vektoren v,..., v n aufgespannte Parallelepiped. v w u v Parallelepiped von u, v (Parallelogram u Parallelepiped von u, v, w (Spat Wie wir schon in 8. im ersten Semester bei der Einführung der eterminante festgehalten haben, ist das Volumen dieses Parallelepipeds genau der etrag der eterminante von T. Im allgemeinen Fall haben wir dies nur gesagt, aber für die beiden kleinen imensionen hatten wir diese Tatsache auch begründet (für n = in. und für n = in.. Für den Einheitswürfel ist damit vol(t ( = det T = det T vol( da vol( = ist. amit haben wir unsere Volumenformel für den Einheitswürfel eingesehen. Hieraus folgt die Formel dann auch für beliebige achsenparallele Würfel. Ist nämlich ein solcher Würfel mit Kantenlänge c > und linker unterer Ecke in u R n und bezeichnet W = [, ] n den Einheitswürfel, so haben wir = u + c W und es folgt vol(t ( = vol(t (u + c T (W = c n vol(t (W = c n det T = det T vol( da vol( = c n ist. urch die übliche Approximationsüberlegung ergibt sich die Volumenformel dann auch für beliebige beschränkte, Jordan-meßbare Mengen. Haben 7-

2 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. wir eine solche Menge gegeben, so nähern wir sie durch eine aus achsenparallelen Würfeln zusammengesetzte Menge an, und haben dann auch eine Näherung vol( vol(. a aus achsenparallelen Würfeln zusammengesetzt ist und sich das Volumen jedes dieser Würfel bei Anwendung von T mit det T multipliziert, ist auch insgesamt vol(t ( = det T vol(. Andererseits ist T ( auch eine Näherung für T (, und somit vol(t ( vol(t ( = det T vol(. Führen wir jetzt den Grenzübergang durch, nehmen also immer mehr, immer kleinere Würfel, so konvergieren vol( gegen vol( und vol(t ( gegen vol(t (, und wir erhalten die gewünschte Gleichung vol(t ( = det T vol(. ies war zwar kein exakter eweis, die Überlegung kann aber zu einem solchen ausgebaut werden. Nun ist es leicht das Verhalten des Rieman-Integrals unter linearen Koodinatentransformationen zu ermitteln. Angenommen es sind eine beschränkte und Jordanmeßbare Menge R n und eine lineare Abbildung T : R n R n gegeben. ann ist auch T ( R n beschränkt und Jordan-meßbar. Weiter sei eine Rieman-Integrierbare Funktion f : T ( R gegeben. Eine Rieman-Summe für das Integral f(x dx T ( hat die Form S = f(y i vol(e i wobei T ( in Teile E, E,... zerlegt ist und y i E i sind. Wird die Zerlegung in die E, E,... immer feiner, so konvergieren diese Rieman-Summen gegen das Integral T ( f(x dx. Schreiben wir dann E i = T ( i und y i = T (x i mit x i i, so wird in die Teile,,... zerlegt und wir haben S = f(t (x i vol(t ( i = f(t (x i det T vol( i Nun ist S := f(t (x i vol( i = det T f(t (x i vol( i. eine Rieman-Summe der Hintereinanderausführung f T und unsere obige Formel liest sich als S = det T S. Konvergiert die Zerlegung E, E,... gegen T (, so konvergiert,,... gegen, also lim S = f(t (x dx. amit folgt f(x dx = lim S = lim det T S = det T lim S = det T T ( 7- f(t (x dx.

3 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. Auch dies ist natürlich kein exakter eweis dieser Formel, aber er kann durch etwas gründlichere uchhaltung zu einem exakten eweis ausgebaut werden. ies wollen wir hier aber nicht durchführen. Man kann das Argument auch noch etwas ausbauen, um zusätzlich einen Translationsanteil zu berücksichtigen. amit erhält man den folgenden Satz Satz. (Lineare Transformationsformel Seien T : R n R n eine lineare Abbildung, u R n und betrachte die affine Abbildung ϕ : R n R n ; x T (x + u. Sei R n beschränkt und Jordan-meßbar. ann ist auch ϕ( R n beschränkt und Jordan-meßbar mit vol(ϕ( = det T vol(. Ist f : ϕ( R Rieman-integrierbar, so ist auch f ϕ Rieman-integrierbar und es gilt f(x dx = det T f(ϕ(x dx. ϕ( urch komponentenweise etrachtung kann man diese Aussage natürlich auch auf Integrale vektorwertiger Funktionen f : ϕ( R m ausdehnen. Wir wollen diesen Satz einmal dazu benutzen um auch das Verhalten des Schwerpunkts unter linearen Transformationen zu untersuchen. azu benötigen wir allerdings einen kleinen weiteren Satz, der das Verhalten des Rieman-Integrals unter linearen Abbildungen beschreibt: Satz. (Linearität des Rieman-Integrals Sei R n beschränkt und Jordan-meßbar und sei f : R p eine Riemanintegrierbare Funktion. Ist dann T : R p R q eine lineare Abbildung, so ist auch T f wieder Rieman-integrierbar und es gilt ( T (f(x dx = T f(x dx. ies ist klar nach.satz 5.(b,c da eine lineare Abbildung R p R q in jeder Komponente eine Summe von Vielfachen der Argumente x i ist. Satz. (Verhalten von Schwerpunkten unter linearen Abbildungen Sei R n beschränkt und Jordan-meßbar mit Schwerpunkt S. Weiter seien u R n und T : R n R n linear. ann ist T (S + u der Schwerpunkt von T ( + u. 7-

4 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. eweis: Mit Satz und Satz ergibt sich S T (+u = p dp = vol(t ( + u T (+u vol( ( = T (p dp + = T vol( ( vol( p dp (T (p + u dp u dp + vol( ( dp u = T (S + u. Nehmen wir als ein eispiel einmal die Ellipse } E := {(x, y R x a + y b mit a, b >. etrachten wir die lineare Abbildung ( a T :=, b b y a x so ist E = T ( das ild des Einheitskreises, und somit ergibt sich für die Fläche der Ellipse die Gleichung vol(e = det(t vol( = πab. er Schwerpunkt des Einheitskreises ist in Null, und damit ist auch der Schwerpunkt von E im Nullpunkt. Wir wollen dieses eispiel noch auf eine andere Ellipse ausdehnen. Wir betrachten die Menge E := {(x, y R x + y xy + x y a} R mit einer Konstanten a >. Ist dies eine Ellipse und was sind in diesem Fall ihr Schwerpunkt und ihre Fläche? Zu diesem Zweck betrachten wir die quadratische Funktion f(x, y = x + y xy + x y und wenden auf diese die Hauptachsentransformation an (siehe 6. aus dem letzten Semester. In Matrixform ist f(x = (Ax x + b x mit ( ( A = und b =. as charakteristische Polynom von A ist χ A (x = x x

5 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. also sind die Eigenwerte von A gegeben durch ± 4 = ± sind also λ = und µ =. a beide Eigenwerte positiv sind, ist E tatsächlich eine Ellipse. ie erechnung der Eigenvektoren liefert für λ = = x = y und für µ = = x = y also normiert u = (, v = (. Als Koordinatenursprung müssen wir jetzt den Punkt z := ( b u λ u + b v µ v = µ v = ( v = verwenden. Ist also so ist f ( S :=, ( ( x S y für alle x, y R. etrachten wir also die Menge { := (x, y R x + } y a = so ist + z = x + y { (x, y R a x + a y S (E z{x R Sx + z E} = = E = S( + z. Wie wir bereits gesehen haben, hat den Schwerpunkt Null und die Fläche vol( = π a a = πa. Folglich hat E den Schwerpunkt z und die Fläche vol(e = det S vol( = vol( = πa. }, 7-5

6 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8..4 ie Transformationsformel Wir wollen jetzt die lineare Transformationsformel des Satz auf allgemeine Koordinatentransformationen ausdehnen. er exakte eweis ist technisch etwas aufwendig, auf der heuristischen Ebene ist er aber nur eine kleine Erweiterung unserer Argumentation im letzten Abschnitt. Gegeben sei eine Koordinatentransformation ϕ : U V zwischen offenen Mengen U, V R n. Weiter sei U eine beschränkte, abgeschlossene und Jordan-meßbare Menge. ann ist auch das ild ϕ( V beschränkt und Jordan-meßbar. Schließlich sei f : ϕ( R eine Rieman-integrierbare Funktion. Wie beim linearen Transformationssatz betrachten wir eine Riemansumme S = f(y i vol(e i zu ϕ( f(x dx, wobei ϕ( in Teile E, E,... zerlegt ist und y i E i sind. Weiter schreiben wir dann E i = ϕ( i und y i = ϕ(x i. Jetzt müssen wir uns an die edeutung der totalen Ableitung erinnern. Wir hatten im letzten Semester unter anderen den Approximationsstandpunkt erwähnt, dieser besagt das für x nahe bei x i eine Gleichung ϕ(x = ϕ(x i + ϕ (x i (x x i + τ(x x i besteht, wobei der Approximationsfehler τ(x x i proportional zu x x i klein wird, und wir für x ausreichend nahe bei x i auch die Proportionalitätskonstante beliebig klein machen können. amit ist auch das ild E i = ϕ( i näherungsweise gleich ϕ(x i + ϕ (x i ( i, und auch für das Volumen erhalten wir mit Satz die Näherung vol(e i = vol(ϕ( i vol(ϕ(x i + ϕ (x i ( = det ϕ (x i vol( i. Folglich ist S näherungsweise gleich S = f(y i vol(e i f(ϕ(x i det ϕ (x i vol( i =: S, und S ist eine Riemansumme der Funktion (f ϕ ϕ (x. eim Grenzübergang wird damit f(x dx = lim S = lim S = f(ϕ(x det ϕ (x dx. ϕ( amit haben wir die allgemeine Transformationsformel zwar nicht bewiesen aber zumindest heuristisch begründet. Satz.4 (Transformationsformel für Integrale Seien U, V R n offen und ϕ : U V eine Koordinatentransformation. Weiter sei U eine kompakte, Jordan-meßbare Menge und f : ϕ( R eine Riemanintegrierbare Funktion. ann ist auch (f ϕ det ϕ eine Rieman-integrierbare Funktion und es gilt f(x dx = f(ϕ(x det ϕ (x dx. ϕ( 7-6

7 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. In diesem Zusammenhang nennt man die eterminante det ϕ (x oft auch die Funktionaldeterminante von ϕ. Als ein erstes eispiel bezeichne ϕ die Polarkoordinaten ϕ(r, φ = (r cos φ, r sin φ. Streng genommen müssen wir ϕ für r > und φ < π betrachten, da aber nur Nullmengen hinzukommen schadet es nichts auch r = oder φ = π zuzulassen. Wir haben ( cos φ r sin φ ϕ (r, φ = = det ϕ (r, φ = r cos φ + r sin φ = r, sin φ r cos φ und damit wird die Transformationsformel für Polarkoordinaten zu f(x, y d(x, y = rf(r cos φ, r sin φ d(r, φ. ϕ( Rechnen wir als ein eispiel einmal das Integral x d(x, y, := {(x, y R x + y R }. ann ist = ϕ([, R] [ π, π], also x d(x, y = [,R] [ π,π] ( R r cos φ d(r, φ = = ( 4 r4 R ( π r dr cos φ dφ π ( φ + sin φ cos φ π π = 4 πr4, wobei wir das unbestimmte Integral cos x dx in. im letzten Semester berechnet haben. Als ein zweites eispiel rechnen wir x ln( + x + y d(x, y über := {(x, y R x + y R, x }. ie Menge ist die rechte Hälfte des Kreises mit Radius R > und Mittelpunkt in, und für die Polarkoordinaten schreibt sich diese Menge als r R und x = r cos φ, also φ π/. Mit := [, R] [ π/, π/] ist somit ϕ( =, also x ln( + x + y d(x, y = r cos φ ln( + r d(r, φ ( R ( π/ = r ln( + r dr cos φ dφ π/ R = r ln( + r dr. 7-7

8 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. Nun ist und wir haben d dr r ln( + r = r ln( + r + r4 + r r 4 + r = r4 r r = r + + r = d dr ( r r + arctan r, also insgesamt r ln( + r dr = ( r r + r ln( + r arctan r, und somit ist R x ln( + x + y d(x, y = r ln( + r dr ( = r r + r ln( + r arctan r = 4 R 4 9 R + R ln( + R 4 arctan R. R 7-8