Integration (handgestrickt)

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1 Integration (handgestrickt) C c (R n ) :={f : R n R; f stetig, Träger(f) beschränkt}. B + b (Rn ) := { f : R n R; abei bedeutet f m konvergiert. J (R n ) := {f; a) f beschränkt, b) Träger(f) beschränkt, c) es existiert Folge f m C c (R n ) mit f m f. } f, dass f m monoton wächst und gegen f punktweise Ist R n und f : R, so definiert man es existieren g, h B + b (Rn ) mit f = g h}. f : R n R, f(x) = { f(x) für x, 0 sonst und mit dieser Bezeichnung J () := {f : R; f J (R n )}. Man definiert das Integral I(f) für f C c (R n ) durch... f(x 1,..., x n )dx 1... dx n (iteriertes Integral einer Variablen). Man dehnt I aus auf B + (R n ) durch und auf J (R n ) durch I(f) := lim m I(f m) I(g) I(h). Man hat zu zeigen, dass diese efinitionen unabhängig von der Wahl der Folge f m beziehungsweise von der Wahl von g und h sind. Schließlich definiert man I( f), für f J () und verwendet dafür die suggestive Schreibweise f(x)dx = I(f). Grundlegende Eigenschaften J () ist ein Vektorraum, das Integral ist linear und positiv, das letztere bedeutet f 0 = I(f) 0. ußerdem gilt der Satz von Fubini, d.h.: Sei f J (R n ). ann ist f(x 1, x 2,..., x n ) für festes x 2,..., x n in J (R) und R f(x 1,..., x n )dx 1 liegt in J (R n 1 ). Man kann daher dieses Integral über x 2 integrieren, u.s.w. und es gilt... f(x 1,..., x n )dx 1... dx n (n-faches eindimensionales Integral). 1

2 Reichhaltigkeit Man kann zeigen: Ist U R n beschränkt und offen, f : U R beschränkt und stetig, so gilt f J (U). Ist K R n kompakt und f : K R stetig, so gilt f J (K). Transformationsformel Sei ϕ : ein iffeomorphismus zwischen zwei offenen Teilen des R n und f J ( ). ann ist x f(ϕ(x)) det J(ϕ, x) in J () enthalten und es gilt f(ϕ(x) det J(ϕ, x) dx = f(y)dy. amit ist dieses Integral für alle praktischen Belange, insbesondere die Berechnung von Volumina (vol() := dx) völlig ausreichend. Man hat also das Volumen von beliebigen kompakten und beschränkten offenen Mengen definiert. us dem Satz von Fubini folgt, dass man Volumina stets induktiv nach dem Cavalierischen Prinzip berechnen kann (Zerschneiden in (n 1)-dimensionale Scheiben und ufsummieren deren (n 1)-dimensionale Volumina per Integration.) Nachteil Es gelten keine guten Stabilitätseigenschaften bei Grenzübergängen. azu sollte man die größere Klasse der Lebesgue-integrierbaren Funktionen einführen. as bedeutet mehr ufwand, man muss in der efinition der Baireschen Klasse auf die Beschränktheitsvoraussetzungen verzichten und die richtige Bairsche Klasse B + einführen. Lebesgue-integrierbare Funktionen lassen sich nur außerhalb einer Menge vom Maß Null als ifferenz Bairescher Funktionen schreiben. ies bedingt weitere Schritte bei der Konstruktion der Klasse der Lebesgue-integrierbaren Funktionen. 2

3 as Integral auf C c (R) n Zu den Beweisen... f(x 1,..., x n )dx 1... dx n ist nur scheinbar uneigentlich. Es ist ein Spezialfall des Integrals bn a n... b1 für stetige Funktionen auf einem Quader a 1 f(x 1,..., x n )dx 1... dx n f : Q R, Q = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ]. Was man wissen muss, ist, dass man stetige Funktionen einer Variablen auf einem abgeschlossenen Intervall integrieren kann und dass nach usführung der Integration über x 1 die Funktion in den restlichen Variablen x 2,..., x n stetig bleibt. ies ist eine einfache nwendung des Satzes von der gleichmäßigen Stetigkeit. er entscheidende Punkt bei dem vorgeschlagenen Zugang ist die Wohldefiniertheit des Integrals auf B + b (Rn ). Man zeigt etwas mehr (und beweist dann gleichzeitig die Positivität mit), nämlich Seien f, g B + b (Rn ) und f m, g m C c (R n ) mit f m f, g m g. Es gelte f g. ann gilt lim I(f m) lim I(g m). (ie Existenz der beiden Limiten sollte klar sein.) er Beweis ist kurz aber etwas trickreich. Man hält zunächst einen Index m 0 fest und stellt fest: g m0 f m g m0 0. n dieser Stelle greift der Satz von ini,, welcher besagt, dass eine eine Folge h m C c (R n ) mit h m 0 sogar gleichmäßig konvergiert. Hieraus folgt nun a m 0 beliebig war, folgt nun lim I(f m) lim I(f m g m0 ) = I(g m0 ). lim I(f m) lim I(g m). ie Wohldefiniertheit des Integrals auf J (R n ) ist nun eine Banalität. Sei f = g 1 h 1 = g 2 h 2 mit steigen Funktionen mit kompaktem Träger g 1, g 2, h 1, h 2. ann gilt g 1 +h 2 = g 2 +h 1. Offenbar ist I auf B + b (Rn ) additiv, also z.b. I(g 1 )+ I(h 2 ) = I(g 1 + h 1 ). Hieraus folgt I(g 1 ) I(h 1 ) = I(g 2 ) L(h 2 ) und somit die Wohldefiniertheit. 3

4 Beweis der Reichhaltigkeit Man benötigt folgende Eigenschaft der Baireschen Klasse: Sei f m B + b (Rm ) eine Folge mit der Eigenschaft, dass sie monoton wachsend gegen eine beschränkte Funktion f mit beschränktem Träger konvergiert. ann gilt auch f B + (R n ). Beweis. Man betrachte für jedes m Folgen und bildet dann die Folge f mν f m (ν ) F m (x) := max f µν(x). µ+ν=m Offenbar sind dies stetige Funktionen mit kompaktem Träger und es gilt f m f. Nun zur Reichhaltigkeit. ie charakteristische Funktion χ (a,b) kann man leicht monoton wachsend durch eine Folge von stetigen Funktionen mit kompaktem Träger approximieren (man nehme Trapezfunktionen). Sie ist also in B + b (R) enthalten. Eine leichte Verallgemeinerung besagt, dass die charakterstische Funktion eines offenen (achsenparallenen) Quaders in B + b (Rn ) enthalten ist. Sei nun U eine beliebige offene beschränkte Menge. Ein offener Quader (a 1, b 1 )... (a n, b n ) heißt rational, falls alle a i, b i rational sind. us der Tatsache, dass Q dicht in R liegt, folgt, dass man U durch rationale Quader überdecken kann. a Q und damit die Menge der rationalen Quader abzählbar ist, existiert somit eine Folge von offenen Quadern mit ies kann man auch in der Form U = Q 1 Q χ Q1, χ Q1 χ Q2, χ Q1 χ Q2 χ Q3... χ U schreiben. us trivialen Gründen gilt allgemein f, g B + b (Rn ) = f g, f g B + b (Rn ). amit ist gezeigt, dass χ U in B + b (Rn ) enthalten ist. Man kann nun allgemeiner zeigen, dass für jede stetige und beschränkte Funktion f : U R die durch 0 fortgesetzte Funktion f in B + b (Rn ) enthalten ist, sofern f 0. azu wählt man eine Folge f m C c (R n ) mit f m χ U. Man kann f m 0 annehmen, da man ansonsten f m durch f + m = f m 0 ersetzen kann. Es ist leicht zu sehen, dass f m f auf ganz R n stetig und damit in C c (R n ) enthalten ist. Es gilt f m f und somit f B + b (Rn ) wie behauptet. Ist f eine beliebige stetige und beschränkte Funktion auf U, so kann man sie in einen positiven und negativen Teil zerlegen, f = f + f und erhält so f J (U). 4

5 Vergleich mit dem Regelintegral Im folgenden sei R n eine Teilmenge auf der Funktion konstant 1 integrierbar ist. Man nennt v n () := dx = χ (x)dx R n das n-dimensional Volumen von. Beispielsweise haben beschränkte offene und kompakte Mengen ein Volumen. Sei f J (). ann gilt offenbar die Standardabschätzung f(x)dx v n() f. Hieraus folgt: Ist f m J () eine Folge, welche gleichmäßig gegen f konvergiert und gilt auch f J (), so gilt lim f m (x)dx = f(x)dx. m Hieraus kann man leicht folgern: Ist f : [a, b] R eine Regelfunktion, welche auch in J ([a, b]) enthalten ist, so stimmen das alte Regelintegral und das neu konstruierte überein. Vernachlässigbare Mengen Eine Menge R n heißt Nullmenge, falls die Funktion konstant eins integrierbar ist und falls v n () = 0 gilt. Jede Menge, welche aus nur einem Punkt besteht, ist eine Nullmenge, da man sie in einen Quader beliebig kleiner Kantenlängen einsperren kann. us dem Satz von Fubini folgt allgemeiner, dass niederdimensionale Quader wie beispielsweise [a 1, b 1 ]... [a k, b k ], k < n, Nullmengen sind. Man überlegt sich leicht, dass endliche Vereinigungen von Nullmengen ebenfalls Nullmengen sind. Wer den Begriff der Untermannigfaltigkeit kennt, kann nun mittels der Transformationsformel beweisen: Sei K R n eine kompakte d-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n mit d < n. ann ist K eine n-dimensionale Nullmenge. Beispielsweise ist die Oberfläche der Kugel eine dreidimensionale Nullmenge. Man könnte darauf hoffen, dass allgeminer der Rand einer offenen beschränkten Teilmenge des R n eine n-dimensionale Nullmenge ist. och dies ist im llgemeinen falsch. Für einigermaßen anständige U sollte dies aber immer richtig sein. 5