Zusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie

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1 Zusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie Das Lebesguesche Integral verallgemeinert das Riemannsche Integral. Seine Vorteile liegen für unsere Anwendungen vor allem bei den wichtigen Konvergenzsätzen, die Kriterien für die Vertauschbarkeit von Limes und Integral angeben, und dem Satz von ubini, der für die Vertauschung von Integrationen in mehrfachen Integralen relevant ist. Die zugrundeliegende Idee ist der Begriff des Masses. Literatur. H. Royden, Real Analysis, Macmillan Hewitt and K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer 1965 P. Halmos, Measure theory, van Nostrand 1950 / Springer Masstheorie Definition 1.1. Sei X eine Menge. ine Menge A von Teilmengen von X heisst σ-algebra, falls (i) A A A c (:= X \ A) A, (ii) (A n ) n=1 olge in A n=1 A n A. Ist A eine σ-algebra und A, B A, dann ist auch A B A (Nehme A 1 = A, A i = B, i 2). benso A B = (A c B c ) c, X = A A c, = X c, A \ B = A B c. Ist (A n ) n=1 eine olge in A, so ist n=1 A n = ( n=1 Ac n) c A. Definition 1.2. in Mass auf einer σ-algebra A von Teilmengen von X ist eine unktion µ : A [0, ] mit den igenschaften (i) µ( ) = 0 (ii) (A i ) olge in A mit A i A j = (i j) µ ( A i) = µ(a i) Beispiel 1.3. A = P(X) = alle Teilmengen von X} Anzahl lemente von A, falls A endlich ist, µ(a) = sonst. 1

2 2 ZUSAMMNASSUNG DR LBSGU-INTGRATIONSTHORI Dieses Mass heisst Zählmass. Lemma 1.4. Sei µ ein Mass auf A. Dann (i) A, B A, A B µ(a) µ(b) (ii) (A i ) olge in A µ ( A i) µ(a i) Sei von jetzt an X = R n. in Rechteck ist eine Menge der orm R = [a 1, b 1 ] [a n, b n ], a i b i. Das Volumen von R ist R = n (b i a i ). Definiere die unktion µ (A) : P(R n ) [0, ] durch µ (A) = inf R i R i Rechtecke, } R i A. ine Menge A mit µ (A) = 0 heisst Nullmenge. µ ist das Lebesguesche äussere Mass. s ist kein Mass, aber hat die igenschaften, die äussere Masse definieren: (i) µ ( ) = 0 (ii) A B µ (A) µ (B) (iii) µ ( A i) µ (A i ) s existieren aber ( pathologische ) paarweise disjunkte olgen mit µ ( A i) µ (A i ). Definition 1.5. ine Menge R n heisst (Lebesgue-)messbar, falls A R n µ (A) = µ (A ) + µ (A c ) gilt. Satz 1.6. (i) Die Lebesgue messbaren Mengen bilden eine σ-algebra A. (ii) Die inschränkung µ von µ auf A ist ein Mass. (iii) Alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen sind Lebesgue messbar und µ(r) = R für alle Rechtecke R. (iv) Nullmengen sind messbar und haben Mass null. Das Mass µ von Satz 1.6 heisst Lebesguesches Mass. Ist R n messbar, so ist die inschränkung von µ auf die messbaren Teilmengen von ein Mass, das Lebesguesche Mass auf. Bemerkung 1.7. Aus den Axiomen fr ein Mass folgt, dass das Lebesguesche Mass eines Produkt von beliebigen (geschlossenen, halboffenen oder offenen) Intervallen ebenfalls das Produkt ihrer Längen ist.

3 2. DAS LBSGUSCH INTGRAL 3 2. Das Lebesguesche Integral Sei eine feste messbare Teilmenge von R n und µ das Lebesguesche Mass auf. Definition 2.1. f : R heisst messbar, falls f 1 (I) = x f(x) I} messbar ist für alle Intervalle I. f : C heisst messbar, falls Realteil und Imaginärteil messbar sind. Satz 2.2. Stetige unktionen sind messbar. Summen und Produkte von messbaren unktionen sind messbar. Punktweise Grenzwerte von olgen messbarer unktionen sind messbar. Definition 2.3. Die charakteristische unktion einer Menge A R n ist die unktion 1 falls x A, χ A (x) = 0 falls x A. unktionen der orm m ϕ(x) = λ i χ i (x), i j =, i j, wobei λ i R und i messbare Mengen sind, heissen einfach. Das Lebesguesche Integral wird zuerst für einfache unktionen definiert. Definition 2.4. Sei ϕ(x) = m λ iχ i (x) eine einfache unktion mit µ( i ) < für i = 1,..., m. Das Integral von ϕ ist die Zahl m ϕ(x) dx := λ i µ( i ). Mann zeigt, dass das Integral von ϕ nur von ϕ abhängt, und nicht von ihrer Darstellung als Linearkombination von charakteristischen unktionen. alls ϕ = m λ iχ i mit positiven Koeffizienten λ i und µ( i ) = für ein i, dann setzt man ϕ(x) dx =. Beispiel 2.5. Sei ϕ : [a, b] R eine Treppenfunktion, m ϕ = λ i χ [ai,a i+1 [, a a 1 < < a m+1 b. Dann ist ϕdx = λ i (a i+1 a i ) wie in der Riemannschen Theorie. Lemma 2.6. Seien ϕ 1, ϕ 2 : R einfache unktionen, und es gelte für alle x ϕ 1 (x) ϕ 2 (x). Dann ist ϕ 1 dx ϕ 2 dx

4 4 ZUSAMMNASSUNG DR LBSGU-INTGRATIONSTHORI Lemma 2.7. Sei f 0 messbar. Dann existiert eine olge ϕ i von einfachen unktionen mit 0 ϕ i (x) ϕ i+1 (x) und lim ϕ i (x) = f(x) für alle x. Lemma und Definition 2.8. Sei f 0 messbar, ϕ i eine olge wie in Lemma 2.7. Der Grenzwert f(x) dx = lim ϕ i (x) dx [0, ] ist unabhängig von der Wahl der olge ϕ i. Ist f(x) dx <, dann heisst f (Lebesgue-) integrierbar und f(x) dx das Lebesguesche Integral von f. Definition 2.9. Sei f : R messbar und sei f ± (x) := max±f(x), 0}. Die unktionen f ± sind messbar und nicht negativ. f heisst (Lebesgue-) integrierbar, falls f ± integrierbar sind. Das Integral von f ist dann f(x) dx = f + (x) dx f (x) dx. Definition f : C heisst integrierbar, falls Realteil und Imaginärteil integrierbar sind. Das Integral von f ist f(x) dx = Re f(x) dx + i Im f(x) dx. Lemma Sei f : C messbar. Dann ist f messbar und f ist genau dann integrierbar, falls f integrierbar ist, d.h. wenn f(x) dx <. Alternative Notationen: f(x) dx = f(x 1,, x n ) d n x = f(x 1,, x n ) dx 1 dx n. Definition ine igenschaft P (x) von Punkten in gilt fast überall (f.ü.), falls µ (x P (x) gilt nicht}) = 0. Satz Seien f, g integrierbar, α, β C. Dann gilt (i) αf + βg ist integrierbar und (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx (ii) f g f(x) dx g(x) dx

5 4. DR SATZ VON UBINI 5 (iii) f(x) = g(x) f.ü. f(x) dx = g(x) dx (iv) f(x) dx = 0 f(x) = 0 f.ü. (v) f(x) dx f(x) dx (vi) Ist messbar, so ist die inschränkung von f auf ebenfalls integrierbar, und es gilt f(x) dx = f(x)χ dx. (vii) f Riemann integrierbar auf [a, b] f Lebesgue integrierbar und Lebesgue und Riemann Integrale stimmen überein. (viii) ür alle affinen Transformationen x Ax+b von R n, ist x f(ax+b) messbar und es gilt f(x)dx = det A f(ax+ R n R n b)dx. Uneigentliche Riemannsche Integrale werden in den Übungen diskutiert. 3. Konvergenzsätze Sei wiederum eine feste messbare Teilmenge von R n. Alle unktionen seien auf definiert. Satz 3.1. (B. Levi, Satz von der monotonen Konvergenz) Sei f i eine olge integrierbarer unktionen mit 0 f i (x) f i+1 (x) f(x)(i ) für alle x. Ist die olge f i(x) dx beschränkt, so ist f integrierbar und es gilt lim f i (x) dx = f(x) dx. Satz 3.2. (H. Lebesgue, Satz von der dominierten Konvergenz) Sei f i eine olge integrierbarer unktionen mit lim f i (x) = f(x) und es existiere eine integrierbare unktion g mit f i (x) g(x) i, x. Dann ist f integrierbar und es gilt lim f i (x) dx = f(x) dx. 4. Der Satz von ubini Seien R n und R m feste messbare Mengen. Wir betrachten messbare unktionen auf R n+m. Lemma 4.1. Sei f : C messbar. Ist f(x, ) für alle x (bzw. f(, y) für alle y ) integrierbar, so ist die unktion y f(x, y) dx (bzw. x f(x, y) dy) messbar. xistiert eins der folgenden Integrale ( ) ( ) f(x) dx, f(x, y) dx dy, f(x, y) dy dx,

6 6 ZUSAMMNASSUNG DR LBSGU-INTGRATIONSTHORI so existieren sie alle drei und es gilt ( ) f(x) dx = f(x, y) dx dy = ( ) f(x, y)dy dx, Insbesondere gilt, falls f(x) dx <, dass f(x)dx als mehrfaches Integral ausgerechnet werden kann: R n R n f(x) dx = f(x)dx 1 dx n. R n R R Die Reihenfolge in welcher die einzelnen Integrale ausgeführt werden spielt dabei keine Rolle. 5. L p -Räume Sei R n eine feste messbare Menge. Alle unktionen seien komplexwertig und auf definiert. Analoge Resultate gelten für reellwertige unktionen. Definition 5.1. Zwei integrierbare unktionen f, g heissen äquivalent (f g), falls f(x) = g(x) fast überall. Die Menge der Äquivalenzklassen von integrierbaren unktionen heisst L 1 (): } / L 1 () = f messbar f(x) dx < Allgemeiner für p 1 L p () = f messbar } / f(x) p dx < Gilt f 1 f 2 und g 1 g 2, so ist f 1 + g 1 f 2 + g 2. Also ist die Summe von Äquivalenzklassen wohldefiniert. benso die Multiplikation mit komplexen Zahlen. Man hat dann folgendes Resultat. Lemma 5.2. L p () ist ein Vektorraum über C. Definition 5.3. Sei V ein komplexer Vektorraum. ine unktion : V [0, ) heisst Norm auf V, falls (i) f = 0 f = 0, (ii) αf = α f α C, f V, (iii) f, g V f + g f + g. in Vektorraum, der mit einer Norm versehen ist, heisst ein normierter Vektorraum.

7 Satz 5.4. L p () mit der Norm ( ) 1 f p = f(x) p p dx ist ein normierter Vektorraum. 5. L p -RÄUM 7 (i) und (ii) sind klar. Die Dreiecksungleichung (iii) kann leicht nachgewiesen werden für L 1. ür L p heisst sie Minkowski-Ungleichung und ist etwas subtiler. Definition 5.5. ine olge (f i ) in einem normierten Vektorraum V konvergiert gegen f V, falls lim f i f = 0. Man schreibt in diesem alle lim f i = f. ine olge heisst Cauchy- olge, falls ɛ > 0 N > 0 mit f i f j < ɛ i, j > N. in normierter Vektorraum V heisst Banachraum, falls alle Cauchy- olgen in V konvergieren. Satz 5.6. (Riesz-isher) ür alle p 1 ist L p () ein Banachraum. Definition 5.7. Der Träger einer unktion f : C ist die Menge supp f = x R n f(x) 0}, wobei den Abschluss in (Menge der Häufungspunkte in ) bezeichnet. Wir verwenden die Notation C 0 () := stetige unktionen auf mit kompaktem Träger}. Der Raum C 0 (R n ) besteht beispielsweise aus allen stetigen unktionen f, die ausserhalb einer (von f abhängigen) beschränkten Menge verschwinden. Satz 5.8. Die stetigen unktionen mit kompaktem Träger sind dicht in L p (), d.h. f L p () ɛ > 0 g C 0 () mit f g p < ɛ.